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专题强化八　卫星变轨问题　双星模型
目标要求 　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题．
题型一　卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图1所示．

图1
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1 例1 　(2019·北京市通州区期中)如图2所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球E运行，在A点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

图2
A．在轨道1上，卫星在A点的速度等于在B点的速度
B．卫星在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期
C．在轨道1和轨道2上，卫星在A点的速度大小相同
D．在轨道1和轨道2上，卫星在A点的加速度大小不同
答案　B
解析　在轨道1上，卫星由A点运动到B点，万有引力做正功，动能变大，速度变大，故选项A错误；由开普勒第三定律知卫星在轨道2上的周期较大，故选项B正确；卫星由轨道1变到轨道2，需要在A点加速，即在轨道1和轨道2上，卫星在A点的速度大小不相同，故选项C错误；由GMmr2＝ma得a＝GMr2，可知在轨道1和轨道2上，卫星在A点的加速度大小相等，故选项D错误．
例2 　宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　)
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
答案　B
解析　飞船在轨道上正常运行时，有GMmr2＝mv2r.当飞船直接加速时，所需向心力mv2r增大，则GMmr2
1．(卫星变轨)(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.2018年12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图3所示，下列说法正确的是(　　)

图3
A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同
B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小
C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期
D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样
答案　B
解析　嫦娥四号从地月转移轨道的P点进入100公里环月轨道，需点火减速，所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道，嫦娥四号需点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律r3T2＝k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期大于在椭圆环月轨道运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．
2．(飞船回收)2017年9月，我国控制“天舟一号”飞船离轨，使它进入大气层烧毁，残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离大陆的深海区．在受控坠落前，“天舟一号”在距离地面380 km的圆轨道上飞行，则下列说法中正确的是(　　)
A．在轨运行时，“天舟一号”的线速度大于第一宇宙速度
B．在轨运行时，“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度
C．受控坠落时，应通过“反推”实现制动离轨
D．“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行速度不断减小
答案　C
解析　第一宇宙速度是环绕地球圆轨道运行的卫星的最大速度，则“天舟一号”在轨运行时的线速度小于第一宇宙速度，选项A错误；在轨运行时，“天舟一号”的运行半径小于同步卫星的运行半径，根据ω＝GMr3可知，其角速度大于同步卫星的角速度，选项B错误；受控坠落时要先减速，让前部的推进器点火，通过“反推”实现制动离轨，选项C正确；“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行半径逐渐减小，地球的引力做正功，则运行速度不断增大，选项D错误．
题型二　双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图4所示．

图4
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．


图5
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．



　　　　　 双星模型

例3 　(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案　BC
解析　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
Gm1m2l2＝m1ω2r1①
Gm1m2l2＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得Gm1＋m2l2＝ω2l，所以m1＋m2＝ω2l3G，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自的自转角速度无法求解．

　　　　　 多星模型

例4 　(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图6所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)

图6
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为GmR
B．每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3
C．每颗星做圆周运动的周期为2πR33Gm
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案　ABC
解析　每颗星受到的合力为F＝2Gm2R2sin 60°＝3Gm2R2，轨道半径为r＝33R，由向心力公式F＝ma＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，解得a＝3GmR2，v＝GmR，ω＝3GmR3，T＝2πR33Gm，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确，D错误．

3.(双星模型)(多选)(2020·广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是(　　)

图7
A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
答案　BD
解析　双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．
4.(四星模型)(多选)(2019·安徽模拟)如图8为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G.下列说法中正确的是(　　)

图8
A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为4＋2Gm2L3
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变
答案　BD
解析　四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由2Gm2L2＋Gm22L2＝(12＋2)Gm2L2＝mω2·22L，可知ω＝4＋2Gm2L3，故B正确；由(12＋2)Gm2L2＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的12，故C错误；由(12＋2)Gm2L2＝mv222L可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v＝4＋2Gm4L，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
课时精练

1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　)
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量
答案　BD
解析　地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确．
2．(2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则(　　)

图1
A．v1＞v2，v1＝GMr B．v1＞v2，v1＞GMr
C．v1＜v2，v1＝GMr D．v1＜v2，v1＞GMr
答案　B
解析　“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中，只有万有引力做功，因而机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，卫星的势能增加，动能减小，因此v1＞v2；“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知GMmr2＜mv12r，解得v1＞GMr，B正确，A、C、D错误．
3.(多选)如图2为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则(　　)

图2
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
答案　BD
解析　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：GmAmBL2＝mAω2RA, GmAmBL2＝mBω2RB，距离关系为：RA＋RB＝L，联立解得：mAmB＝RBRA，因为RA>RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，轨道半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝2πω，联立可得T＝2πL3GM，所以L一定，M越大，T越小；M一定，L越大，T越大，故C错误，D正确．
4.如图3是一次卫星发射过程，先将卫星发射进入绕地球的较低圆形轨道Ⅰ，然后在a点使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ，再在椭圆轨道的远地点b使卫星进入同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是(　　)

图3
A．卫星在轨道Ⅰ的速率小于卫星在轨道Ⅲ的速率
B．卫星在轨道Ⅰ的周期大于卫星在轨道Ⅲ的周期
C．卫星运动到轨道Ⅰ的a点时，需减速才可进入轨道Ⅱ
D．卫星运动到轨道Ⅱ的b点时，需加速才可进入轨道Ⅲ
答案　D
解析　卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上都做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，A错误；由GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，故轨道半径越大，周期越长，B错误；卫星从低轨道变轨到高轨道需要加速，C错误，D正确．
5．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　　)
A.4π2r2r－r1GT2 B.4πr12GT2
C.4π2r2GT2 D.4π2r2r1GT2
答案　D
解析　取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：Gm1m2r2＝m1(2πT)2r1，得：m2＝4π2r2r1GT2，故D正确．

6.(2020·浙江Z20联盟第三次联考)牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星．图4中Ⅰ、Ⅱ 分别是两颗卫星绕地球运行的轨道，A、B分别是轨道上的两个点．下列关于两颗卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行的描述正确的是(　　)

图4
A．轨道Ⅰ上卫星比轨道Ⅱ的发射速度更大
B．轨道Ⅰ上卫星比轨道Ⅱ的绕行周期更大
C．卫星在A点的加速度比B点更大
D．卫星在A点所受的万有引力比B点更大
答案　C
解析　卫星发射到轨道Ⅱ上比发射到轨道Ⅰ上需要的能量大，故轨道Ⅱ上卫星比轨道Ⅰ的发射速度更大，故A错误；根据开普勒第三定律可知，r3T2＝k，轨道Ⅰ的半长轴(半径)小，则绕行周期小，故B错误；根据牛顿第二定律可知GMmr2＝ma，解得加速度a＝GMr2，卫星在A点的轨道半径r小，则加速度大，故C正确；由于两颗卫星的质量未知，则无法确定所受的万有引力大小，故D错误．
7．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D.nkT
答案　B
解析　设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：GMmL2＝m(2πT)2·r，对质量为M的恒星：GMmL2＝M(2πT)2(L－r)，得GM＋mL2＝4π2T2·L，即T2＝4π2L3GM＋m；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝n3kT，选项B正确．
8.(多选)(2020·福建龙岩市检测)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图5所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是(　　)

图5
A．它们的万有引力大小变大
B．它们的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大
D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小
答案　AC
解析　质量较大的M1和质量较小的M2之间的万有引力F＝GM1M2L2，结合数学知识可知M1＝M2时，M1M2有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，所以万有引力变大，A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有GM1M2L2＝M14π2T2R1，GM1M2L2＝M24π2T2R2，解得两天体质量的表达式M2＝4π2L2GT2R1，M1＝4π2L2GT2R2，两天体总质量的表达式M1＋M2＝4π2L2GT2(R1＋R2)＝4π2L3GT2，两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小质量的黑洞M2质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R1增大，根据v＝2πR1T可知恒星的线速度增大，C正确，D错误．


9.(2020·浙江宁波市二模)一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图6所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动．轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS＝2l.除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态．着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v1、v2、v3，下列说法正确的是(　　)

图6
A．v1 B．着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中速率变大
C．着陆器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点的加速度为v223l
D．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所用的时间等于着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点所用的时间
答案　B
解析　着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要减速，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此v1＞v2＞v3，故A错误；着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中，万有引力做正功，所以速率变大，故B正确；在轨道Ⅱ上P点，根据牛顿第二定律得F向＝ma＝mv2232l，解得a＝2v223l，故C错误；设着陆器在轨道Ⅱ上周期为TⅡ，在轨道Ⅲ上周期为TⅢ，根据开普勒第三定律得TⅡ＞TⅢ，因为tPS＝12TⅡ，tPQ＝12TⅢ，所以tPS＞tPQ，故D错误．

10．(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图7)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)

图7
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GM
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝3125R
D．三角形三星系统的线速度大小为125GMR
答案　BC
解析　直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有GM2R2＋GM22R2＝M4π2T2R，解得T＝4πRR5GM，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2GM2L2cos 30°＝M4π2T2·L2cos 30°，联立解得L＝3125R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝2πrT＝2πL2cos 30°T＝36·3125·5GMR，选项D错误．

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