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专题强化一　运动图象问题
目标要求 　1.知道几种运动图象的物理意义.2.会由图象判断物体的运动情况.3.能根据图象判断或求解图象以外的物理量.4.能够把一种运动图象转化为另一种运动图象.
题型一　x－t图象
基础回扣
1.图象的意义：x－t图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律.
2.x－t图象中的“交点”“斜率”“截距”的意义
(1)交点：两图线有交点，说明两物体相遇.
(2)斜率：表示速度的大小及方向.
(3)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置，横轴截距表示位移为零的时刻.
例1 　(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动.甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示.下列说法正确的是(　　)

图1
A.在t1时刻两车速度相等
B.从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C.从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D.在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案　CD
解析　x－t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A项错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确.


1.(x－t图象的理解)(多选)如图2所示是某质点做直线运动的x－t图象，由图象可知(　　)

图2
A.质点一直处于运动状态
B.质点第3 s内的位移是2 m
C.质点前4 s内的位移是2 m
D.质点前6 s内的平均速度大小为1 m/s
答案　CD
解析　位移—时间图象表示位移随时间变化的关系，而不是质点运动的轨迹，从图象可以看出，2 s末到4 s末质点处于静止状态，第3 s内质点的位移为零，选项A、B错误；前4 s内质点的位移为2 m，选项C正确；前6 s内质点的位移为6 m，由平均速度定义可知：v＝ΔxΔt＝66 m/s＝1 m/s，选项D正确.
2.(x－t图象的应用)(2020·合肥市第九中学高三月考)甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图3所示，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则下列说法正确的是(　　)

图3
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0＝60 m处
C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D.5 s时两车相遇，此时甲车速度较大
答案　C
解析　位移－时间图象的斜率表示速度，则知甲车的速度不变，做匀速直线运动，初速度不为零，故A错误；甲车的速度为v甲＝xt＝205 m/s＝4 m/s，乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则在t＝10 s时，乙车的速度为零，反过来看成乙车做初速度为0的匀加速直线运动，则x＝12at2，根据图象可知，x0＝12a·102,20＝12a·52，解得乙车的加速度大小a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，故B错误，C正确；5 s时两车相遇，此时乙车的速度为v乙＝at＝1.6×5 m/s＝8 m/s，乙车的速度较大，故D错误.
题型二　v－t图象
基础回扣
1.图象的意义：v－t图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它只能描述物体做直线运动的情况.
2.图象的斜率：v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度.
斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动.
3.v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移.
t轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点.
例2 　(2020·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上行驶，在t＝0时刻两车正好相遇，在之后一段时间(0～t2)内两车速度—时间图象(v－t图象)如图4所示，则在0～t2这段时间内有关两车的运动，下列说法正确的是(　　)

图4
A.甲、乙两辆车运动方向相反
B.在t1时刻甲、乙两车再次相遇
C.乙车在0～t2时间内的平均速度小于v1＋v22
D.在t1～t2时间内乙车在甲车前方
答案　C
解析　由题图可知，甲、乙两辆车速度均为正值，即二者均向正方向运动，故甲、乙两辆车运动方向相同，故选项A错误；由题图可知，在0～t1时间内，二者位移不相等，即在t1时刻甲、乙两车没有相遇，在该时刻二者速度相等，二者之间的距离是最大的，故选项B错误；若乙车在0～t2时间内做匀变速运动，则平均速度为v1＋v22，如图所示，由v－t图象中图线与t轴所围面积表示位移可知，匀变速运动的位移较大，故乙车在这段时间内的平均速度小于v1＋v22，故选项C正确；由于甲车的初速度大于乙车的初速度，所以开始时甲车在乙车前面，由v－t图象中图线与t轴所围面积表示位移可知在0～t2时间内甲车的位移大于乙车的位移，故整个过程中甲车一直在乙车前面，故选项D错误.

例3 　(多选)(2020·山东济南市高三二模)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加.如图5所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图象，驾驶员的反应时间为1 s.下列说法正确的是(　　)

图5
A.从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B.从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C.从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D.从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍
答案　CD
解析　从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x1＝30×1 m＋4×302 m＝90 m
平均速度为v1＝905 m/s＝18 m/s
从t＝0到停下，汽车在干燥路面的位移为x2＝30×1 m＋3×302 m＝75 m
平均速度为v2＝754 m/s＝18.75 m/s，
x1－x2＝15 m，故A错误，C正确；
从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v1′＝302 m/s＝15 m/s，从t＝1 s到停下，汽车在干燥路面的平均速度v2′＝302 m/s＝15 m/s，故B错误；
从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a1＝304 m/s2＝7.5 m/s2，从t＝1 s到停下，汽车在干燥路面的加速度大小a2＝303 m/s2＝10 m/s2，则从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D正确.

3.(v－t图象的理解)(2020·山东青岛市高三二模)质点在某段时间内运动的v－t图象是一段抛物线，如图6所示，关于0～t1和t1～t2两段时间内的运动，下列说法正确的是(　　)

图6
A.两段时间内的速度方向相同
B.两段时间内的平均速度大小相等
C.两段时间内的加速度方向相同
D.0～t1内加速度逐渐减小，t1～t2内加速度逐渐增大
答案　C
解析　0～t1时间内的速度为正，t1～t2时间内的速度为负，故A错误；若0～t1时间内做匀减速直线运动，设运动的位移大小为x，则平均速度大小等于v12，根据速度－时间图线与坐标轴所围“面积”表示位移可知，0～t1时间内的位移大小大于x，所以0～t1时间内的平均速度大于v12，同理可知t1～t2时间内的平均速度大小小于v12，故B错误；根据速度－时间图象的斜率表示加速度，在0～t1时间内，图线的斜率为负；t1～t2时间内，图线的斜率为负，所以两段时间内的加速度方向相同，故C正确；0～t1内、t1～t2内加速度均逐渐增大，故D错误.
题型三　函数与图象
1.a－t图象
由Δv＝aΔt可知，图象中图线与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图7甲所示.

图7

2.匀变速直线运动的xt－t图象
由x＝v0t＋12at2可得xt＝v0＋12at，由此知xt－t图象的斜率为12a，纵轴截距为v0，如图乙所示.
3.v2－x图象
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，故v2－x图象斜率为2a，纵轴截距为v02.
例4 　(多选)(2020·山东临沂市期末联考)某质点做匀变速直线运动，运动时间为t，位移为x，该质点的xt－t图象如图8所示，下列说法正确的是(　　)

图8
A.质点的加速度大小为2cb
B.t＝0时，质点的初速度大小为c
C.t＝0到t＝b这段时间质点的平均速度为0
D.t＝0到t＝b这段时间质点的路程为bc4
答案　ABC
解析　由x＝v0t＋12at2得xt＝v0＋12at，可知xt－t图象的斜率为12a，根据数学知识可得：12a＝
－cb，加速度大小为2cb，初速度为v0＝c，故A、B正确；从t＝0到t＝b这段时间，质点的位移为x＝v0t＋12at2＝cb＋12·(－2cb)b2＝0，则质点的平均速度为零，故C正确；因为从t＝0到t＝b这段时间内质点的位移为零，即质点做往返运动，根据运动的对称性可知整个过程中的路程为从t＝0到t＝b2内位移大小的2倍，所以s＝2[c·b2＋12·(－2cb)·(b2)2]＝bc2，D错误.

4.(a－t图象)(2020·河南信阳市高三上学期第一次教学质量检测)在如图9所示的某物体做直线运动的“a－t”图象中，引入“加速度的变化率”描述加速度变化的快慢.下列说法正确的是(　　)

图9
A.2 s内物体的速度越来越小
B.t＝1 s时，“加速度的变化率”为2 m/s2
C.0～2 s内物体的速度变化量为4 m/s
D.2 s时加速度为0，物体的速度也一定为0
答案　C
解析　由于不知道加速度的方向与速度方向的关系，所以无法确定速度是增大还是减小，故A错误；由a－t图线知，物体加速度的变化率不变，大小为ΔaΔt＝42 m/s3＝2 m/s3，该选项单位错误，故B错误；图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量，则0～2 s内物体的速度变化量Δv＝12×4×2 m/s＝4 m/s，故C正确；2 s时加速度为零，但是速度不一定为零，故D错误.
5.(v2－x图象)如图10所示是某物体做直线运动的v2－x图象(其中v为速度，x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0处运动至x＝x0处的过程分析，其中正确的是(　　)

图10
A.该物体做匀加速直线运动
B.该物体的加速度大小为v02x0
C.当该物体的速度大小为12v0时，位移大小为34x0
D.当该物体的位移大小为12x0时，速度大小为12v0
答案　C
解析　由匀变速直线运动的速度位移关系式v2－v02＝2ax可得v2＝2ax＋v02，可知物体的加速度恒定不变，由于物体的速度减小，故物体做匀减速直线运动，选项A错误；由v2＝2ax＋v02知，v2－x图象的斜率等于2a，由题图可得2a＝－v02x0，则得物体的加速度为a＝－v022x0，加速度大小为v022x0，选项B错误；当该物体速度大小为12v0时，v2＝14v02，可得x＝3x04，选项C正确；当该物体位移大小为12x0时，可得v2＝12v02，速度大小为22v0，选项D错误.
题型四　图象法解决动力学问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在物理中，有些动力学问题根据运动学公式进行计算比较繁琐，我们可以利用图象法使问题直观明了，从而迅速解决问题.
例5 　如图11所示，两个完全相同的小球，从光滑的a管和b管由静止下滑，管径略大于小球直径，设转弯处无能量损失，B、D在同一水平面，ABCD为长方形，两球落到C处的时间分别为Ta、Tb，则(　　)

图11
A.Ta>Tb
B.Ta C.Ta＝Tb
D.无法确定
答案　A
解析　由机械能守恒定律可知，两球从A点滑到底端C时，速度大小相等，由题意可知，两球路程相等，沿a管滑下的小球，在AB段加速度比BC段加速度小，则在v－t图象中AB段图线的斜率比BC段图线斜率小，沿b滑下的小球的v－t图象在AD段斜率比DC段斜率大，且kAD＝kBC，kAB＝kDC，如图所示，若要保证两球的路程相等，即图象中图线与横轴所围的面积相等，则有：Ta>Tb，故A正确，B、C、D错误.

例6 　一静止在光滑水平面的物体从t＝0时刻加速度与时间关系如图12所示，a随t做周期性变化，求t＝0到t＝32 s内物体的位移大小.

图12
答案　32 m
解析　根据题意作出物体的v－t图象，

由v－t图象可知0～3 s内位移Δx1＝12×3×2 m＝3 m
0～30 s内位移为10Δx1＝30 m
30～32 s内位移为Δx2＝12×2×2 m＝2 m
故0～32 s内物体位移为x＝10Δx1＋Δx2＝32 m.
课时精练

1.(2020·浙江高三月考)2020年1月，一种新型冠状病毒引起的肺炎疫情使全国人民猝不及防，专家们也对疫情的扩散模型不断进行修正，来预测“拐点”出现的时间.“拐点”之前每日新增病例成增加的趋势，“拐点”之后每日新增病例成减少的趋势.若将总病例数量类比成直线运动学中的位移，则下列类比关系正确的是(　　)
A.每日新增病例数量可类比成加速度
B.“拐点”可类比成加速度为零时的点
C.“拐点”可类比成速度为零时的点
D.“拐点”可类比成位移为零时的点
答案　B
解析　若将总病例数量类比成直线运动学中的位移，则每日新增病例数量可类比成速度，而 “拐点”可类比成加速度为零时的点，故选B.
2.(2019·贵州部分重点中学质量评测卷(四))甲、乙两物体从同一地点出发沿同一直线运动，它们的位移—时间图象如图1所示，则(　　)

图1
A.前3 s内甲、乙的平均速度相等
B.3 s末甲、乙两物体的速度相同
C.前3 s内甲、乙的运动方向始终相同
D.前3 s内甲、乙两物体的最大距离为1 m
答案　A
解析　因为乙物体的位移—时间图象是过坐标原点的直线，所以乙物体做匀速直线运动，甲物体的位移—时间图象是曲线，所以甲物体做的是变速直线运动.因为两物体同时同地出发，开始时甲的速度大于乙的速度，在第3 s末两图线相交，则位移相等，所以前3 s内甲、乙的平均速度相等，故A正确；由题图可知，3 s末甲、乙两物体的速度方向相反，故B错误；由题图可知，甲在位移达到3 m时速度减小为零，然后反方向运动，故C错误；由题图可知，前3 s内甲、乙两物体的最大距离大于1 m，故D错误.
3.(2021·广东深圳市第一次调研)如图2所示为甲、乙两物体做直线运动的x－t图象，对于0～t1时间内两物体的运动，下列说法中正确的是(　　)

图2
A.甲物体速度方向与加速度方向相同
B.乙物体加速度方向与速度方向相反
C.甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度
D.乙物体位移变小，速度变大
答案　B
解析　x－t图象的斜率表示速度，0～t1时间内甲物体速度减小，做减速运动，所以甲物体速度方向与加速度方向相反，故A错误；0～t1时间内乙物体速度减小，做减速运动，所以乙物体速度方向与加速度方向相反，故B正确，D错误；由于在0～t1时间内甲、乙两物体的位移大小相等，所以它们的平均速度大小相等，故C错误.



4.(多选)(2020·黑龙江鹤岗一中高三月考)如图3是某质点运动的速度时间图象，由图象得到的正确结果是(　　)

图3
A.0～1 s内的平均速度是2 m/s
B.0～2 s内的位移大小是3 m
C.0～1 s内的加速度小于2～4 s内的加速度
D.0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相同
答案　BD
解析　v－t图象与时间轴所围面积表示位移，则0～1 s的位移为x1＝2×12 m＝1 m,0～1 s内的平均速度v＝x1t1＝11 m/s＝1 m/s，故A错误；0～2 s内的位移大小为x2＝1＋22×2 m＝3 m，故B正确；v－t图象斜率表示加速度，则0～1 s内的加速度大小为a1＝21 m/s2＝2 m/s2,2～4 s内的加速度大小为a2＝22 m/s2＝1 m/s2，故C错误；0～1 s、2～4 s两个时间段内速度均为正，表明速度都为正方向，运动方向相同，故D正确.
5.(2019·江西临川第二中学高三月考)如图4所示为某运动员(可视为质点)参加跳板跳水比赛时，其竖直方向的速度随时间变化的图象，以他离开跳板时为计时起点，不计空气阻力，则(　　)

图4
A.t1时刻开始进入水中
B.t2时刻开始进入水中
C.t2时刻达到最高点
D.t1～t2时间内速度方向竖直向上
答案　B
解析　运动员起跳时的速度方向向上，t1时刻速度变为零，t1时刻后速度方向向下，则t1时刻达到最高点，故A、C、D错误；0～t2时间内v－t图象为直线，加速度不变，所以在0～t2时间内运动员在空中，t2时刻后进入水中，故B正确.
6.(2019·安徽合肥市第一次质检)甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动，它们的v－t图象如图5所示，则在0～4 s内(　　)

图5
A.两物体始终同向运动
B.2 s末两物体相距最远
C.两物体平均速度相等
D.4 s末两物体相遇
答案　A
解析　0～4 s内，甲、乙两物体的v－t图象均在横轴的上方，速度均为正，故两物体始终同向运动，A正确；由题意可知，甲、乙两物体同时同地沿同一方向开始运动，在0～4 s内，甲在前，乙在后，甲的速度大于乙的速度，两物体距离越来越大，在4 s时速度相同，此时两物体相距最远，B、D错误；0～4 s内，甲的位移大于乙的位移，即x甲>x乙，根据v＝xt，可知两物体的平均速度v甲>v乙，故C错误.
7.(多选)a、b、c三个物体在同一条直线上运动，三个物体的位移—时间图象如图6所示，c的图象是抛物线的一部分，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法中正确的是(　　)

图6
A.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相等、方向相反
C.在0～5 s的时间内，t＝5 s时，a、b两个物体相距最远
D.物体c做匀加速运动，加速度为0.2 m/s2
答案　BCD
解析　a、b两物体位移随时间均匀变化，速度大小均为2 m/s，速度的方向相反，故A错误，B正确；由题图图象可知，0～5 s内，在t＝5 s时，a、b位置坐标之差最大，知两物体相距最远，故C正确；c的图象为抛物线的一部分，根据x＝kt2知，k＝0.1，根据x＝12at2可得加速度a＝0.2 m/s2，故D正确.
8.一枚火箭由地面竖直向上发射，其速度—时间图象如图7所示，由图象可知(　　)

图7
A.0～ta段火箭的加速度小于ta～tb段火箭的加速度
B.0～tb段火箭是上升过程，tb～tc段火箭是下落过程
C.tb时刻火箭离地面最远
D.tc时刻火箭回到地面
答案　A
解析　结合题干和题图图象可知竖直向上为正方向，则0～ta段火箭匀加速向上运动，ta～tb段火箭匀加速向上运动，且加速度比0～ta段大，故A正确；tb～tc段火箭速度仍大于0，即火箭仍向上运动，而加速度为负值，即加速度与速度方向相反，火箭做减速运动，故B错误；到tc时刻火箭速度为0，此时到达最高点，故C、D错误.

9.(2019·山东日照市上学期期末)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图象如图8所示.下列说法正确的是(　　)

图8
A.物体运动的最大速度是4 m/s
B.t＝4 s时物体回到出发点
C.t＝4 s时物体开始反向运动
D.t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同
答案　D
解析　a－t图象中图线与时间轴所围“面积”表示速度变化量，由题图可知，物体运动的最大速度为vmax＝12×2×2 m/s＝2 m/s，A错误；0～1 s物体做加速度增大的加速运动，1～2 s物体做加速度减小的加速运动，2～3 s物体做加速度增大的减速运动，3～4 s物体做加速度减小的减速运动，根据对称性可知，物体在4 s末时速度减为零，4 s后物体又重复前面的运动，故B、C错误；由B、C项分析可知，t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同，故D正确.
10.(多选)两辆完全相同的汽车正准备从车站向同一方向发车，已知汽车由静止开始做匀加速直线运动，加速度都为a，经时间t0达到速度v0后匀速行驶，后一辆车在前一辆车刚达到匀速时开始启动，则两车都匀速行驶时两车的距离是(　　)
A.12at02 B.at02
C.12v0t0 D.v0t0
答案　BD
解析　根据题意，作出两车运动的v－t图象，如图所示，两车都匀速运动时，两车间的距离等于v－t图线与t轴所围的面积差，即Δx＝v0t0＝at02，故B、D正确，A、C错误.

11.一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图9所示.下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是(　　)

图9


答案　D
12.(多选)(2019·黑龙江大庆四中高三月考)一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其xt－t图象如图10所示，则(　　)

图10
A.质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/s
B.质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2
C.质点在1 s末速度为2 m/s
D.质点在第1 s内的平均速度为1.5 m/s
答案　CD
解析　由题图可知xt＝1＋0.5t，结合函数表达式xt＝v0＋12at可知，v0＝1 m/s，加速度为a＝
1 m/s2；即质点的加速度不变，做加速度为1 m/s2的匀加速直线运动，故A、B错误；质点的初速度v0＝1 m/s，在1 s末速度为v1＝v0＋at1＝1 m/s＋1 m/s＝2 m/s，故C正确；质点在第
1 s内的位移为x＝v0＋v12t1＝1＋22×1 m＝1.5 m，则第1 s内的平均速度为1.5 m/s，D正确.
13.(多选)(2020·湖南3月模拟)近年来，我国的高速铁路网建设取得巨大成就，高铁技术正走出国门.在一次高铁技术测试中，机车由静止开始做直线运动.测试段内机车速度的二次方v2与对应位移x的关系图象如图11所示.在该测试段内，下列说法正确的是(　　)

图11
A.机车的加速度越来越大
B.机车的加速度越来越小
C.机车的平均速度大于v02
D.机车的平均速度小于v02
答案　BC
解析　由v2＝2ax可知，机车的加速度逐渐减小，故A错误，B正确；由于机车做加速度减小的变加速直线运动，故在该测试段内，其v－t图象如图所示，可知机车的平均速度大于匀加速直线运动的平均速度v02，故C正确，D错误.





14.某质点做直线运动，运动速率的倒数1v与位移x的关系如图12所示，关于质点的运动，下列说法中正确的是(　　)

图12
A.质点做匀加速直线运动
B.四边形BB′C′C面积可表示质点运动时间
C.四边形面积ABB′A′表示质点运动时间
D.1v－x图线斜率表示质点运动的加速度
答案　B
解析　质点的速度和位移关系不满足匀加速直线运动的位移与速度的关系，所以质点做的不是匀加速直线运动，A错误；质点在很短的一段位移内，认为是匀速直线运动，t＝xv，所以在1v－x图象中，图线与横轴围成的面积表示质点运动时间，B正确，C错误；该图象斜率k＝1Δv·Δx，不表示质点的加速度，D错误.

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