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专题强化二　追及相遇问题
目标要求 　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图象分析追及相遇问题.3.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.
题型一　追及相遇问题
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.
2.能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB 3.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
4.常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.
(2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况.
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，说明追不上或不能相遇.
(3)极值法
设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值.
(4)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、求解相关问题.



例1 　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案　2 s　6 m
解析　解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝va＝2 s
Δx＝vt－12at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－12at2
代入已知数据得Δx＝6t－32t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示，

由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
所以有t1＝v1a＝63 s＝2 s，
Δx＝v1t12＝6×22 m＝6 m.

追及与相遇问题的两种典型情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：
(1)初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，二者相距最远.
(2)初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，
①若已超越，则相遇两次.
②若恰好追上，则相遇一次.
③若没追上，则无法相遇.

例2 　(2020·甘肃城关市兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8 m/s，B车的速度大小为v2＝20 m/s，如图1所示.当A、B两车相距x0＝28 m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：

图1
(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；
(2)A车追上B车所用的时间；
(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度.
答案　(1)64 m　(2)16 s　(3)0.25 m/s2
解析　(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v1＝v2－at1
代入数据解得：t1＝6 s
此时，根据位移时间的关系得：xA1＝v1t1
xB1＝v2t1－12at12
Δxm＝xB1＋x0－xA1
代入数据解得：Δxm＝64 m
(2)B车刹车到停止运动所用时间： t0＝v2a＝10 s
发生的位移：xB2＝v222a＝100 m
此时：xA2＝v1t0＝80 m
则：xA2＜x0＋xB2，
可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上B车停止后A车运动时间为：t2＝x0＋xB2－xA2v1＝6 s
故所用总时间为：t＝t0＋t2＝16 s
(3)A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小
v222a＋x0＝v122aA
代入数据解得：aA＝0.25 m/s2.

1.(避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2
解析　(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，
初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x自＝v自t
汽车的位移为：x汽＝v汽t－12at2
假设汽车能追上自行车，此时有：
x汽＝x自＋d′
代入数据整理得：12at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
即得：Δ＝102－20a≤0，
解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度至少为5 m/s2.
(2)设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′
整理得：(12a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
即得：Δ′＝102－20a′－80≤0
解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度至少为1 m/s2.
2.(体育赛事中的追及问题)2019世界田径接力赛男子4×100米接力赛，冠军被巴西队以38秒05获得.如图2所示，这是某一次接力训练.已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在某次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令.已知接力区的长度为L＝20 m.

图2
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离.
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案　(1)6 m　(2)16.7 m　(3)2 s
解析　(1)设乙加速到交接棒时运动时间为t，
则在甲追及乙过程中有：s0＋12at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s，t2≈4.67 s(不符合乙加速最长时间tm＝va＝103 s，故舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝12at12＝6 m
(2)乙加速时间为：t乙＝va＝103 s
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
则在甲追及乙过程中有：s＋12vt乙＝vt乙
代入数据得：s≈16.7 m
(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
所以有：t′＝Lv＝2 s.
题型二　图象法在追及相遇问题中的应用
1.根据两个物体的v－t图象分析追及相遇问题：
(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.
2.根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出v－t图象，再通过定量计算分析得出结果.
利用v－t图象分析追及相遇问题更直观、简捷.
例3 　(多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图3所示.已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)

图3
A.在t＝1 s时，甲车在乙车后
B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案　BD
解析　根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动.t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝12×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝12×3×(10＋25) m＝52.5 m.故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝12×1×10 m＝5 m，x乙′＝12×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确.
例4 　(2020·河北石家庄市模拟)在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)
答案　见解析
解析　方法一　图象法

利用v－t图象求解，先作出A、B两车的v－t图象，如图所示.设经过t时间两车刚好不相撞，
则对A车有vA＝v′＝v0－2at
对B车有vB＝v′＝at
以上两式联立解得t＝v03a
经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝12v0·t＝12v0·v03a＝v026a
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.
方法二　临界条件法
两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等.设从A、B两车相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示.

对A车有xA＝v0t＋12(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t
对B车有xB＝12at2，vB＝at
由两车位移关系有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝6ax
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.
课时精练

1.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图1中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是(　　)

图1
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后，乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
答案　BD
解析　t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确.
2.(2020·广东深圳市第一次调研)可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，t＝0时，甲在乙前方16 m处，它们的v－t图象如图2所示，则下列说法正确的是(　　)

图2
A.甲、乙在t＝2 s和t＝10 s时刻并排行驶
B.甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶
C.在t＝6 s时刻，乙车在甲车前8 m处
D.在t＝6 s时刻，乙车在甲车前18 m处
答案　B
解析　由题图图象可知，甲做初速度为0，加速度为a1＝126 m/s2＝2 m/s2的匀加速运动；乙做初速度为v0＝6 m/s，加速度为a2＝12－66 m/s2＝1 m/s2的匀加速运动；两车相遇时满足：v0t＋12a2t2＝s0＋12a1t2，即6t＋12×1×t2＝16＋12×2t2，解得t1＝4 s，t2＝8 s，即甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶，选项A错误，B正确.在t＝6 s时，甲的位移：x1＝12×2×62 m＝36 m；乙的位移：x2＝6×6 m＋12×1×62 m＝54 m，可知此时乙在甲的前面，Δx＝x2－x1－s0＝54 m－36 m－16 m＝2 m，选项C、D错误.
3.(2020·湖南永州市高三三模)在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图3所示，下列说法正确的是(　　)

图3
A.甲车的加速度大于乙车的加速度
B.若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m
D.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
答案　C
解析　甲车的加速度大小a1＝Δv1Δt1＝1648 m/s2＝13 m/s2
乙车的加速度大小a2＝Δv2Δt2＝2040 m/s2＝12 m/s2
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
0～24 s内，甲车的位移x1＝16＋82×24 m＝288 m
乙车的位移x2＝20＋82×24 m＝336 m
两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误.
4.(多选)(2020·河北衡水中学高三月考)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v－t图象如图4所示.根据图象提供的信息可知(　　)

图4
A.6 s末乙追上甲
B.在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 m
C.8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 m
D.在0～4 s内与4～6 s内甲的平均速度相等
答案　BC
解析　根据题图图象可知，在0～4 s内甲的平均速度v1＝4＋82 m/s＝6 m/s，在4～6 s内甲的平均速度v2＝8＋02 m/s＝4 m/s，D错误；在0～6 s内，甲的位移x甲＝v1×4 s＋v2×
2 s＝32 m，乙的位移x乙＝6×4 m＝24 m，因此6 s末乙未追上甲，A错误；当两者速度相等时，距离最远，即5 s末距离最远，此时x甲′＝4＋82×4 m＋4＋82×1 m＝30 m，x乙′＝5×
4 m＝20 m，最远距离Δx′＝10 m，B正确；6 s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离出发点32 m，所用时间t＝x甲v乙＝324 s＝8 s，C正确.
5.(2020·江西重点中学协作体第一次联考)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻，甲车在乙车前20 m处，它们的v－t图象如图5所示，下列说法正确的是(　　)

图5
A.甲车启动的加速度大于乙车启动的加速度
B.甲车启动15 s时，乙车落后甲车的距离最大
C.乙车启动时，甲在乙车前方50 m
D.t＝25 s时，乙车正好追上甲车
答案　B
解析　由v－t图象斜率表示加速度可知，甲车启动时的加速度小于乙车启动时的加速度，A错误；10～15 s时间内，乙车在后，较慢，甲车在前，较快，在t＝15 s时，两车速度相等，则此时两车距离最大，B正确；t＝10 s时，乙车启动，在0～10 s内，通过v－t图象中图线与时间轴所围“面积”表示位移可得，甲车的位移x甲＝12×10×10 m＝50 m，t＝0时两车相距20 m，故乙车启动时两车相距(50＋20) m＝70 m，故C错误；0～25 s内，甲车的总位移：x甲′＝50 m＋10×(25－10) m＝200 m，乙车运动的总位移：x乙′＝12×10×20 m＋20×(25－20) m＝200 m，此时x甲′＋20 m>x乙′，甲车在乙车的前方，故D错误.

6.(2019·广东中山市模拟)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化图象如图6所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是(　　)

图6
A.在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动
B.在0～2 s内，两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小
C.在t＝2 s时，甲车的速度为3 m/s，乙车的速度为4.5 m/s
D.在t＝4 s时，甲车恰好追上乙车
答案　C
解析　根据题图图象可知，在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减小的加速直线运动，故A错误；加速度—时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的变化量，当t＝4 s时，两图线与t轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两车的间距最大，故B、D错误；在t＝2 s时，乙车的速度为v乙＝12×(1.5＋3)×2 m/s＝4.5 m/s，甲车速度为v甲＝1.5×2 m/s＝3 m/s，故C正确.
7.(2020·河南高三二模)自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图7所示，某平直公路上一辆自动驾驶汽车正以v1＝40 km/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v2＝5 m/s的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离L1＝5 m，到汽车前沿所在直线的距离L2＝8 m.已知汽车的车长d1＝5 m、车宽d2＝2 m，汽车加速时的加速度大小a1＝4 m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5 m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是(　　)

图7

A.汽车应保持原速通过
B.汽车应刹车减速
C.汽车应加速通过
D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞
答案　C
解析　小狗走过L1距离的时间为t1＝L1v2＝55 s＝1 s
汽车的速度v1＝40 km/h≈11.1 m/s，若保持原速行驶，
则在t1时间内的位移为x1＝v1t1＝11.1 m
因为L2＋d1>x1>L2
则小狗会与车相撞，选项A错误；
若汽车刹车减速，则在t1＝1 s内的位移x2＝v1t1－12a2t12＝8.6 m>L2，
则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；
若汽车加速通过，则在t1＝1 s内的位移
x3＝v1t1＋12a1t12＝13.1 m>L2＋d1＝13 m
则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.
8.在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图8a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是(　　)

图8
A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会追尾
B.在t＝5 s时追尾
C.在t＝3 s时追尾
D.由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
答案　C
解析　根据v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移可知，两车速度相等时(t＝5 s)，小汽车相对于大卡车的位移为35 m>30 m，所以会追尾，选项A错误；在t＝3 s时，小汽车相对于大卡车的位移等于30 m，此时发生追尾，选项C正确，B错误；若刹车不失灵，在t＝2 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移等于20 m，小于开始时的距离30 m，所以刹车不失灵时不会追尾，选项D错误.
9.(2020·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以
10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶.
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m　(3)20 s
解析　(1)赛车3 s末的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝12a1t22
解得t2＝20 s
此时赛车的速度
v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝v0a1＝102 s＝5 s
两车最远相距
Δs＝v0t3＋200 m－12a1t32
＝(10×5＋200－12×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－12a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝va2＝404 s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动.
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足v22a2＝v0t5
解得t5＝20 s.
10.(2020·安徽安庆市怀宁县第二中学高三月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内.求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.
答案　(1)75 m　(2)12 s
解析　(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等.
则：t1＝v1a＝102.5 s＝4 s
x货＝v1t0＋t1＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝12at12＝12×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离
Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s的时间：
t2＝va＝10 s
此时两车的位移分别为
x警′＝v22a＝2522×2.5 m＝125 m
x货′＝v1t0＋t2＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离
Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，
则：Δt＝Δx′v－v1＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车.

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