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[!--downpath--]偏微分方程在理论和数学物理中发挥着巨大的作用。 这一切都始于19世纪，当时通过观察和分析良好的实验结果建立了光的波动理论。 在这里，偏微分方程第一次作为基本物理现实的自然表达出现。 麦克斯韦、法拉第和赫兹开启了理论物理学发展的新时代。 麦克斯韦是这场物理学革命的绝对领导者。 麦克斯韦在他的微分方程中表达了当时关于光和电磁现象的所有思考。 麦克斯韦证明电场和磁场实际上是因变量，重新定义了以前关于电场和磁场的概念。
我们可以这样说：在麦克斯韦之前，物理现实（就其被认为代表自然界的事件而言）被视为一个质点，其变化完全由运动组成，受微分方程的控制。 继麦克斯韦之后，物理现实被视为由机械上不可解且受偏微分方程控制的连续场表示。 现实概念的这种变化是自牛顿以来物理学中最深刻、最富有成效的变化。 - A。 爱因斯坦纪念麦克斯韦诞辰100周年的演讲。 1931 年出版。
面对法拉第的实验结果以及安德烈·马里-安培等其他早期著名物理学家的理论，麦克斯韦对电场和磁场方程的数学形式感到困惑，并以非凡的洞察力解释了他的方程。 一些修改。 今天，麦克斯韦的理论可以用四个方程来概括。 但他的公式采用了 20 个联立方程的形式，包含 20 个变量。 其方程的尺寸部分（X、Y 和 Z 方向）必须单独列出。 他还使用了一些违反直觉的变量。
这里，E、B和J分别是描述电场强度、磁通密度和电流密度的矢量场，ρ描述电荷密度，D是电位移，H代表磁场强度，t是时间。
麦克斯韦的第一个方程是：
对任意体积 V 进行积分，我们得到：
但根据高斯定理，我们得到：
这里，q是体积V中包含的净电荷。S是体积V周围的表面。麦克斯韦的第一个方程表示。 通过封闭体积表面的总电位移等于该体积内的总电荷。
麦克斯韦第二方程为：
对任意体积 V 进行积分，我们得到：
利用高斯散度定理将体积积分转化为表面积分，可得：
麦克斯韦第二方程指出，通过任何闭合表面 S 的总向外磁感应通量 B 等于 0。
麦克斯韦第三方程为：
根据斯托克定理，将左侧的面积分转化为线积分，可得：
麦克斯韦第三方程标记。 闭合路径周围的电动势 (emf e = ∫c E.dI) 等于连接到该路径的磁通量的负变化率（因为磁通量 Φ = ∫s B.dS）。
麦克斯韦第四方程为：
计算以曲线C为界的曲面S上的曲面积分，可得：
利用斯托克定理将上式中LHS上的面积分转化为线积分，可得：
麦克斯韦第四方程指出麦克斯韦四个方程组的物理意义，闭合路径周围的磁力等于通过限制该路径的任何表面的传导电流和位移电流。
然后将一般方程应用于通过非导电场传播的磁扰动的情况，并且它表明唯一可以如此传播的扰动是那些横向于传播方向的扰动，其速度为 v，这是从韦伯的方程中发现的实验 ，表示电磁单元中包含的静电单元的数量。 这个速度非常接近光速，我们似乎有充分的理由得出这样的结论：光本身（包括辐射热和其他辐射，如果有的话）是一种以波的形式通过电磁场传播的电磁扰动。 ——詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，《电磁场的动态理论》（1864），简介。
麦克斯韦方程与汉密尔顿方程非常相似，因为它们描述了相关量随时间的变化率，以及在任何给定时间的值。 在麦克斯韦方程组中，这些量是电场和磁场。 然而，麦克斯韦方程组和哈密顿方程组之间有一个重要的区别。 麦克斯韦方程组是场方程，而汉密尔顿方程组是粒子方程，这意味着在麦克斯韦命题中，需要无限个参数来描述系统的状态麦克斯韦四个方程组的物理意义，而对于汉密尔顿命题来说，需要有限个参数（三点坐标）。
麦克斯韦电磁方程描述了电荷和电流如何产生电场和磁场、它们如何传播以及它们如何相互影响。 这些方程不仅对于帮助制定和解释理论和数学物理的许多领域很重要，而且与洛伦兹力一起量化了我们在日常生活中经历的大多数物理过程。
麦克斯韦方程组可以被认为是量子力学和现代物理学的基本支柱之一，因为它很好地解释了光的传播不需要介质的事实。 19世纪，理论物理学家意识到麦克斯韦方程组有解，其中电场和磁场可以在不带电荷的情况下同时存在。 解决方案是每秒移动米的振荡行波。 后来的一些实验表明，光本身以完全相同的速度移动。 这不是巧合，它们是同一件事。 显然，光不是某种神奇的实体，我们可以通过操纵电荷来创造它。 这导致了无线电（无线电波是光的低能量形式）、激光和同步加速器等人造光源的诞生。 麦克斯韦的电磁学理论源于能量可以通过电磁波从一个地方转移到另一个地方的想法，事实证明它在物理学界具有惊人的吸引力和极其发人深省。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 (James Clerk ) 雕像于 2008 年在爱丁堡乔治街竖立。
