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[!--downpath--]题主是高中数学系的学生，所以极限和导数应该理解什么，也许中值定理的证明还没有学过或者只知道有这个公式，那么我们直接从闭区间上连续函数的性质入手，避免使用极限定义等看起来很复杂的工具。（虽然这会导致不那么严格的证明，但它更容易理解）。
0. 预备定理：闭区间内连续函数的性质
为了证明 规则，我们只需要在闭区间上使用连续函数的一个属性：如果 [fleft（ x right）] 在区间 [left[
{a，b} right]] 上是连续的，则 [fleft（ x right）] 必须具有最大值 [M] 和最小值 [
m] 在区间 [left[ {a，b} right]] 上。
这种性质在高中应该是未经证实和明显的。让我们进入正题，首先，我们需要证明罗尔定理。
1. 罗尔中值定理
设函数 [fleft（ x right）] 在闭区间 [left[ {a，b} right]] 上是连续的，并且可在开区间 [left（ {a，b} right）] 和 [fleft（ a right） = fleft（ b right）] 上推导，则至少有一个点 [习 in left（
{a，b} right）] 使得 [f'left（ 习 right） = 0]。
证明：
由于 [fleft（ x right）] 在闭区间 [left[ {a，b} right]] 上是连续的，因此 [M = {f_{max }}]
和 [m = {f_{min }}] 存在。如果 [M = m]，那么结论是显而易见的，所以看看 m]“>[M > m] 的情况。因为 [fleft（ a right） = fleft（ b right）] 和 m]“>[
M > m]，所以至少有一个值不是 [fleft（ a right）
]，所以你不妨设置[fleft（ 习 right） = M]，其中[习 in left（ {a，b} right）]。
因为 [fleft（ x right
）] 在 [x = 习 ] 处可推导，存在并相等的左导数和右导数，即：[f'left（ 习 right） = {lim }{Delta x to {0^ + }} frac{{fleft（ {习 + Delta x} right） - fleft（ 习 right）}}{{Delta x}} = {lim }{Delta x to {0^ - }} frac{{fleft（ {习 + Delta x} right）
- fleft（ 习 right）}}{{Delta x}}]
由于 [fleft（ 习 right）] 是
最大值 [fleft（ {习 + Delta x} right） - fleft（ 习 right） le 0] 是常数。因此，持有人数是有限制的[ {lim }{Delta x to {0^ + }} frac{{fleft（ {习 + Delta x} right） - fleft（ 习 right）}}{{Delta x}} le 0] ， [ {lim }{Delta x to {0^ - }} frac{{fleft（ {习 + Delta x} right）
- fleft（ 习 right）}}{{Delta x}} ge 0]
综上所述，[f'left（ 习 right） = {lim }{Delta x to {0^ + }} frac{{fleft（ {习 + Delta x} right） - fleft（ 习 right）}}{{Delta x}} = {lim }{Delta x to {0^ - }} frac{{fleft（ {习 +.） Delta x} right）
- fleft（ 习 right）}}{{Delta x}} = 0]
罗尔定理完成。
2. 柯西中值定理如果函数 [fleft（ x right）] 和 [gleft（ x right）] 满足闭区间 [left[ {a，b} right]
] 上的连续数，则开区间 [left（ {a，b} right）]
是可推导的，对于任何点 [x in left（ {a，b} right）] 满足 [g'left（ x right） ne 0] 。然后至少有一点 [习 in left（ {a，b} right）] 使以下方程成立：[frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ b right） - gleft（ a right）}} = frac{{f'left（ 习 right）}}
{{g'left（ 习 right）}}]
证明：作为助手 [ left（ x right） = fleft（ x right） - frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ b right）
- gleft（ a right）}
} cdot gleft（ x right）]。显然有 [ left（ a right） = left（ b right） = frac{{fleft（ a right）gleft（ b right） - fleft（ b right）gleft（ a right）
}}{{gleft（ b right）
- gleft（ a right）}}] 并且满足使用罗尔中值定理的其他条件洛必达法则的证明过程，因此，使用罗尔定理，我们得到：有一个点 [习 in left（ {a，b} right）] 使得 [ 'left（ 习 right） = f'left（ 习 right） - frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）
}}{{gleft（ b right） - g
left（ a right）}}}g' 左（ 习 右） = 0]即 [frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ b right） - gleft（ a right）}}
= frac{{f'left（ 习 right）}}
{{g'left（ 习 right）}}]。
柯西的中位数定理得到了证明。
3. 洛皮达定律
终于，洛皮达法则的证明已经到来。下面证明了一种情况，另一种情况类似。使用 规则有 3 个条件，需要注意：
在区间 [left（ {a，b} right）]， [fleft（ x right）] 和 [gleft（ x right）] 上
都是可导数和 [g'left（ x right） ne 0] ;并且有 [ {lim }{x to {a^ + }} fleft（ x right） = {lim }{x to {a^ + }} gleft（ x right） = 0] ;和 [ {lim }{x to {a^ + }} frac{{f'left（ x right）}}{{g'left（ x right）}} = L]。然后 [{lim }{x to {a^ + }} frac{{fleft（ x right）}}{{gleft（ x right）}} = {lim }{x
to {a^ + }} frac{{f'left（ x right）}}{
{g'left（ x right）}} = L]。
证明：
由于该函数在开区间内是可推导的，并且存在单侧极限，因此我们可以添加定义 [fleft（ a right） = gleft（ a right） = 0]，使得这两个函数在 [x = a] 处是连续的。
取任意 [x in left（ {a，b} right）]，
则这两个函数满足在区间 [left[ {a，x} right]] 上使用 中值定理的条件，因此有一个 [习 in left（ {a，x} right）]，例如：[frac{{fleft（ x right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ x right） - gleft（ a right）}} = frac{{f'left（ 习 right）}}
{{g'left（ 习 right）}}]
同时，由于我们添加了一个定义 [fleft（ a right） = gleft（ a right） = 0] 的函数，所以有[frac{{fleft（ x right）}}{{gleft（ x right）}} = frac{{f'left（ 习 right）}}
{{g'left（ 习 right）}}]
接下来的证明需要用到极限定义，但是比较复杂难懂，让我们直观感受一下（非严谨证明，不要吧）：
因为[习 in left（ {a，x} right）]，在[x to] 的过程中
{a^ + }]， [习 ] 也从右侧接近 A，其活动范围会越来越小，最后落到长度无限接近 0 的区间。因此，我们可以得到：[ {lim }{x to {a^ + }} frac{{fleft（ x right）}}{{gleft（ x right）}} = {lim }{习 to {a^ + }} frac{{f'left（ 习 right）}}
{{g'left（ 习 right）}}]
最后洛必达法则的证明过程，得到了洛皮达定律的一种形式，类似于其他可以证明的形式，如果受试者有兴趣，可以自己探索。
