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[!--downpath--]三角函数的极限
要找到三角函数的极限，我们必须首先查看 $x$ 的大小。
小数情况
我们知道 sin(0) = 0，那么当 x 接近 0 时，sin(x) 会发生什么情况呢？ 从图中我们可以看出：
图片来自《普林斯顿微积分读本》7-1
当 x 非常接近 0 时，sin(x) 的行为与 x 非常相似，并且从数学上讲，它确实有一个极限：
\ lim _{x 0} frac{sin (x)}{x}=1
这个公式非常重要，因为它是解决许多与三角函数相关的微积分问题的关键。
对于余弦，显然：
\ lim _{x 0} cos (x)=1
至于tan(x)，这里的关键是它可以写成sin(x) / cos(x)。 当 x to 0 且分母为 1 时，分子为 x，因此有：
\ lim_{x 0} frac{tan (x)}{x}=lim_{x 0} frac{sin (x)}{frac{cos (x)}{x }}=lim _{x 0}left(frac{sin (x)}{x}right)left(frac{1}{cos (x)}right)=(1 )left(frac{1}{1}right)=1
现在：
\ lim _{x 0} frac{tan (x)}{x}=1
现在我们看一下cos(x)/x的情况，即：
\ lim _{x 0} frac{cos (x)}{x}
直接代入x = 0会得到1 / 0，是无穷大，但要注意符号：
\ lim {x 0^{+}} frac{cos (x)}{x}=infty, quad lim {x 0^{-}} frac{cos (x) {x}=-infty
左右极限不相等，所以这个极限不存在。
解决问题——小数的情况
求：
\ lim _{x 0} frac{sin left(x^{2}right)}{x^{2}}
当x接近0时，x^2也为0，所以这个极限的最终结果是1。用tan代替sin也是如此，但当然不行。 这两个结论可以记住：
\ lim_{x to 0}frac{sin(text{小数})}{相同的小数} = 1
\ lim_{x to 0}frac{tan(text{小数})}{相同的小数} = 1
现在让我们看另一个例子：
\ lim_{x 0} frac{sin (5 x)}{x}
这里分子是 5x，分母是 x，但这并不重要。 您可以除以 5x 再乘以 5x 得到：
\ lim_{x 0} frac{sin (5 x)}{x}=lim _{x 0} frac{frac{sin (5 x)}{5 x} times (5 x)}{x}
应用上面的结论或者方法，显然最终的结果是5。
让我们看一个更复杂的例子：
\ lim _{x 0} frac{sin ^{3}(2 x) cos left(5 x^{19}right)}{x tan left(5 x^{2 }正确的）}
对于复杂的公式，可以先分解。 第一个是 sin ^{3}(2 x)。 这实际上是 (sin (2 x))^{3} 的另一种写法，所以方法和之前一样，只不过这次多了一个立方体。 变得：
\ frac{(sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} times(2 x)^{3}
再看 cos left(5 x^{19}right) ，当 x to 0 时，这显然是 1，所以不需要做任何其他操作。
分母上有一个x。 我还不知道怎么处理，所以暂时不做，tan(5x^2)变成：
\ frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{2}} timesleft(5 x^{2}right)
所以最后我们有：
\ lim_{x 0} frac{sin ^{3}(2 x) cos left(5 x^{19}right)}{x tan left(5 x^{2} right)}=lim_{x 0} frac{left[frac{(sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} times(2 x) ^{3}right] cos left(5 x^{19}right)}{xleft[frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{ 2}} timesleft(5 x^{2}right)right]}
简单总结一下：
\ lim_{x 0} frac{frac{(sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} cdot cos left(5 x^{19 }right)}{frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{2}}} times frac{(2 x)^{3}}{x左(5 x^{2}right)}=lim_{x 0} frac{left(frac{sin (2 x)}{(2 x)}right)^{3} cos left(5 x^{19}right)}{frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{2}}} times frac{8 x^ {3}}{5 x^{3}}
应用上述结论和方法，我们最终得到8/5。
这是一个稍微复杂的例子：
\ lim _{x infty} x sin left(frac{5}{x}right)
虽然我们不是在求x to 0时的极限，但是当x to infty时，frac{5}{x} to 0，所以这实际上是一个小数极限问题。 最终的结果是5，留给读者去思考。 自己算算吧。
当遇到正割、余割或余切时，最安全的做法是将它们转换为正弦、余弦或正切。
需要特别注意的一件事是，当 x to 0 时，x 的行为非常类似于 sin(x)。 我们在乘积或商的背景下说， lim _{x 0} frac {x-sin (x)}{x^{3}} 不能通过上述方法求解。 这个极限需要稍后使用洛比达定律或麦克劳林级数来解决。
最后，我们找到了一个稍后有用的限制：
\ lim_{x 0} frac{1-cos (x)}{x}
解决这个极限的方法是：
\ begin{} lim_{x 0} frac{1-cos (x)}{x} =lim_{x 0} frac{1-cos (x)}{x} 次 frac{1+cos (x)}{1+cos (x)} =lim_{x 0} frac{1-cos ^{2}(x)}{x} times frac{1}{1+cos (x)}=lim_{x 0} frac{sin ^{2}(x)}{x} times frac{1}{1+cos (x)} 结束{}
sin^2(x) 可以分解为 sin(x) times sin(x)，由于 sin(0) = 0，有：
\ lim {x 0}left(sin (x) times frac{sin (x)}{x} times frac{1}{1+cos (x)}right) =0 times 1 times frac{1}{1+1}=0
人数较多的情况
考虑极限：
\ lim _{x infty} frac{sin (x)}{x}
当x很大时，它的正弦会在1和-1之间来回摆动，因此无法直接确定，但可以利用三明治定理来求解（具体见第3章），即用最基本的三角函数的性质：
\ -1 \sin (x) 1
将不等式的所有部分同时除以 x，则变为：
\ frac{-1}{x} frac{sin (x)}{x} frac{1}{x}
由此算出，当 x to infty, 0 frac{sin(x)}{x} 0 时，即：
\ lim_{x infty} frac{sin (x)}{x} = 0
让我们看另一个例子：
\ lim_{x infty} frac{x sin left(11 x^{7}right)-frac{1}{2}}{2 x^{4}}
因为是x to infty，我们的直觉告诉我们sin(11x^7)可能并不重要，因为最大值是1，所以分子主要是x，分母是x^4，所以这个问题感觉应该是0。下面我们来证明一下：
还是用三明治定理，首先想到的是三角函数-1 sin(11x^7) 1的性质。对于所有0">x > 0，这个不等式可以转化为-x -frac{1 }{2} x sin left(11 x^{7}right)-frac{1}{2} x-frac{1}{2} （请注意，这是x < 0 则不然），显然不等式的左边和右边分别是负无穷大和正无穷大。这似乎证明不了什么洛必达法则的推导过程，所以我们往下看。由于分母大于0（这就是x to infty) 的情况下，有：
\ frac{-x-frac{1}{2}}{2 x^{4}} frac{x sin left(11 x^{7}right)-frac{1} {2}}{2 x^{4}} \frac{x-frac{1}{2}}{2 x^{4}}
应用上一章学到的方法，很容易找到x to infty。 不等式两边的极限都是0，所以极限也是0。
由不等式 -1 sin(x) 1 （也可以使用 cos(x)），我们可以知道 sin(x) 和 cos(x) 可以被视为具有比任何正数更高的次数x 的幂 较低的项，但这仅限于其用于加法和减法运算。 乘法和除法运算不能这样考虑。 对于任何正数 α，它可以写成结论公式：
\ lim_{x to infty } frac{sin(text{任意数})}{x^alpha} = 0
如果换成余弦，上面的结论是一样的。 但如果 x 的次数为 0，那么正弦和余弦就变得很重要。
“其他”情况
求极限：
\ lim_{x pi / 2} frac{cos (x)}{x-frac{pi}{2}}
这既不是一个大数，也不是一个小数。 如果直接代入，就会得到0 / 0的不定式，所以当遇到xto a的极限，并且a不等于0时洛必达法则的推导过程，有一个常用的方法，就是设t = x - a ，因此极限变为 t to 0 处的极限。因此极限变为：
\ lim {x pi / 2} frac{cos (x)}{x-frac{pi}{2}}=lim {t 0} frac{cos left( t+frac{pi}{2}right)}{t}
这个公式看起来很眼熟，如果是sin(t)就好了。 记住三角函数的一些恒等式， cos left(frac{pi}{2}-xright)=sin (x) ，因此 cos(t + frac{pi}{2} ) = sin(-t)，而正弦函数是奇函数，所以 cos left(frac{pi}{2}+tright)=sin (-t)=-sin (t) ，最后：
\ lim_{x pi / 2} frac{cos (x)}{x-frac{pi}{2}}=lim_{t 0} frac{cos left( t+frac{pi}{2}right)}{t}=lim_{t 0} frac{-sin (t)}{t}=-1
三角函数的导数
我们首先看一下 sin(x) 的导数。 我们将使用之前使用的两个限制：
\ lim _{h 0} frac{sin (h)}{h}=1
\ lim _{h 0} frac{1-cos (h)}{h}=0
现在我们根据正规导数的解来求解，可得：
\ f^{prime}(x)=lim {h 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}=lim {h 0} frac{sin (x+h)-sin (x)}{h}
这里需要三角恒等式：
\ sin (A+B)=sin (A) cos (B)+cos (A) sin (B)
代入上述极限我们得到：
\ f^{prime}(x)=lim {h 0} frac{sin (x) cos (h)+cos (x) sin (h)-sin (x)} {H}
提取公因子给出：
\ begin{} f^{prime}(x) =lim_{h 0} frac{sin (x)(cos (h)-1)+cos (x) sin (h )}{h} =lim_{h 0}left(sin (x)left(frac{cos (h)-1}{h}right)+cos (x)left (frac{sin (h)}{h}right)right) end{}
请注意，这里我们将 x 和 h 分开。 使用本节开头提到的两个先前使用的限制，我们可以得到：
\ f^{prime}(x)=sin (x) times 0+cos (x) times 1=cos (x)
现在：
\ frac{{d}}{{d} x} sin (x)=cos (x)
余弦的导数以同样的方式求解，但所需的三角恒等式为：
\ cos (A+B)=cos (A) cos (B)-sin (A) sin (B)
最终得到：
\ frac{{d}}{{d} x} cos (x)=-sin (x)
一旦知道了正弦和余弦的导数，就可以使用商规则求出正切：
\ frac{{d} y}{{d} x}=frac{v frac{{d} u}{{d} x}-u frac{{d} v} {{d} x}}{v^{2}}=frac{cos (x)(cos (x))-sin (x)(-sin (x))}{cos ^ {2}(x)}
最后一个分子是 1，所以我们有：
\ frac{{d}}{{d} x} tan (x)=sec ^{2}(x)
其余三角函数也可以使用商规则、链式求导规则或乘积规则来计算。 我这里就不详细说了。 使用它们时，您现在可以检查或推断它们。
有一个结论要记住：
\ frac{{d}}{{d} x}(sin (ax))=a cos (ax)
使用求导的链式法则很容易找到，但是记住这个结论就可以节省很多步骤。 另外，这也适用于其他三角函数，即如果把x换成ax，在求导数的时候，前面就会有一个系数a。 例如，tan(x) 对 x 的导数为 sec ^{2}(x)，因此 tan(2x) 的导数为 2 sec ^{2}(2x)； csc (x) 的导数是 - csc (x) cot (x) ，因此 csc (19x) 的导数是 -19csc (19x) cot (19x) 。
最后，我想补充一个有用的结论：
\ 正弦 (x)
但复习笔记中并没有写证明过程。 互联网上有很多信息。
结尾
本章回顾了三角函数的一些极限和导数，下一章回顾了隐函数求导的相关知识。
这个系列主要是我用来记录复习笔记的。 我会继续写下去。 如果您对本系列有什么建议，欢迎提出~
谢谢阅读。 如果您发现任何错误，请告诉我。 谢谢~
