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[!--downpath--]例21行星蜗杆机构的曲柄OO1受转矩M作用而绕固定铅直轴O转动，并推动蜗杆O1在固定水平蜗杆O上滚动如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长l、重P；蜗杆O1为均质圆盘，直径r、重Q。试求曲柄的角加速度及两蜗杆接触处沿切线方向的力。解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列举定轴转动微分等式OO1MO1OaFnFtRnRtM由运动学关系，有联立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取蜗杆O1剖析，蜗杆O1作平面运动MO1OaFnFtRnRt**忽然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，??0，??0。须要先求出?，再确定约束力。应用定轴转动微分等式应用刚体运动定律?OFOxFOyW=mg由前知，质心对轴z的转动力矩定义为：质心上所有质点的质量与该质点到轴z的垂直距离的平方乘积的算术和。即对于质量连续分布的质心，上式可写成积分方式由定义可知，转动力矩除了与质量有关，并且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动力矩的单位是:kg·m2。
同一质心对不同轴的转动力矩是不同的，而它对某定轴的转动力矩却是常数。因而在谈及转动力矩时，必须指明它是对哪一轴的转动力矩。12.4质心对轴的转动力矩1.均质细杆12.4.1简单形状物体的转动力矩z1dxxxCzdxxxOl设均质细杆长l，质量为m，取微段dx,则2.均质薄圆环对于中心轴的转动力矩设细圆环的质量为m，直径为R。则3.均质圆板对于中心轴的转动力矩设圆板的质量为m，直径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圆板转动力矩为12.4.1简单形状物体的转动力矩在工程上常用回转直径来估算质心的转动力矩，其定义为假如已知回转直径，则物体的转动力矩为回转直径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动力矩不变，则该点到轴的距离就等于回转直径的厚度。对于几何形状相同的均质物体，其回转直径相同。12.4.2回转直径(惯性直径)定律：质心对于任一轴的转动力矩，等于质心对于通过刚体、并与该轴平行的轴的转动力矩，加上质心的质量与两轴宽度离平方的乘积，即证明：因14.4.3平行轴定律y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1由刚体座标公式由定律可知：质心对于所有平行轴的转动力矩，过刚体轴的转动力矩最小。
当座标原点取在刚体C时,yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得14.4.3平行轴定律例11如图所示，已知均质杆的质量为m，对z1轴的转动力矩为J1，求杆对z2的转动力矩J2。解：由，得平行轴定律(1)－(2)得zz1z2abC例12均质直角折杆规格如图，其质量为3m，求其对轴O的转动力矩。解：组合质心的转动力矩例13如图所示，质量为m的均质空心圆锥体直径为R1，外径为R2，求对中心轴z的转动力矩。解：空心圆锥可看成由两个实心圆锥体组成，外圆锥体的转动力矩为J外理论力学动量矩定理ppt，内圆锥体的转动力矩为J内取负值，即设m1、m2分别为外、内圆锥体的质量，则于是组合质心的转动力矩设单位容积的质量为r，则代入前式得注意到rpl(R21－R22)＝m,则得组合质心的转动力矩如图所示，O为固定点，C为质点系的刚体，质点系对于固定点的动量矩为对于任一质点mi于是12.5质点系相对于刚体的动量矩定律因为rir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是质点系相对于刚体的动量矩。
于是得即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于刚体的系统动量mvC对于O点的动量矩再加上此系统对于刚体的动量矩LC(应为矢量和)。12.5质点系相对于刚体的动量矩定律质点系对于固定点O的动量矩定律可写成令展开上式,注意右端项中ri＝rC+ri',于是上式化为上式右端是外力对刚体的主矩，于是得由于于是上式成为质点系相对于刚体的动量矩对时间的行列式，等于作用于质点系的外力对刚体的主矩。12.5质点系相对于刚体的动量矩定律例14均质圆盘质量为2m，直径为r。细杆OA质量为m，长为l＝3r，绕轴O转动的角速率为w、求下述三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆土体；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速率w逆秒针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速率w顺秒针方向转动。解：(a)(b)(c)由质心平面运动理论知：平面运动质心的位置可由基点的位置与质心绕基点的拐角确定。取刚体为基点，如图所示，则质心的位置可有刚体座标和j角确定。质心的运动可分解为陪同刚体的平动和相对刚体的转动两部份。取如图的动座标系，则质心绕刚体的动量矩为JC为质心过刚体且垂直于图示平面轴的转动力矩。
12.6质心的平面运动微分等式y'x'xyOCD设作用在质心上的外力可向质所在平面简化为一平面力系，由刚体运动定律和相对刚体的动量矩定律得上式也可写成12.6质心的平面运动微分等式y'x'xyOCD以上两式称为质心平面运动微分等式。应用时，前一式取其投影式。即12.6质心的平面运动微分等式例15一均质圆锥，质量为m，直径为r，无初速地置于夹角为q的斜面上，不计滚动阻力，求其力偶的加速度。解：以圆锥体为研究对象。圆锥体在斜面上的运动方式，取决于接触处的光滑程度，下边分三种情况进行讨论：(1)设接触处完全光滑此时圆锥作平动，由刚体运动定律即得圆锥刚体的加速度CqCxyOqaCFNmg(2)设接触处足够粗糙此时圆锥作纯滚动，列举平面运动微分等式解得因为圆锥作纯滚动，故F由纯滚动条件有所以，可得这就是圆锥体在斜面上作纯滚动的条件。qCxyaCOFNmg(3)设不满足圆锥体在斜面上作纯滚动的条件设圆锥体沿斜面滑动的动磨擦系数为f'，则滑动磨擦力于是圆锥体在斜面上既滚动又滑动,在这些情况下，aC≠ra例16均质圆锥体A和B质量均为m，直径均为r。
圆锥A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆锥A上，绳的另一端绕在圆锥B上。求B下落时，刚体C点的加速度。磨擦不计。解：取A剖析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分多项式有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B剖析，受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分多项式有由运动学关系aD＝raA,，而由加速度合成定律有例17均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端顺着水平地面，另一端顺着铅垂墙面，从图示位置无初速地滑下。不计磨擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙面对杆的约束反力。解：以杆AB为研究对象，剖析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB杆作平面运动，设刚体C的加速度为aCx、aCy，角加速度为a。aaCxaCy由质心平面运动微分等式mgBqCAxy以C点为基点，则A点的加速度为再以C点为基点，则B点的加速度为aAaaBaCxaCyatBCatAC在运动开始时,w＝0,故,将上式投影到y轴上，得an＝0AC同理，，将上式投影到x轴上，得an＝0BC联立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由座标法求出(4)、(5)式：运动开始时，，故BqCAxyjAxCB例18如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的倾角为j。
求B端绳断掉瞬时，A端绳的张力。解：取杆剖析，构建如图座标。有AB作平面运动，以A为基点，则jjABFT由于断掉初瞬时,vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA将上式投影到x轴上，得anCAatCAatAanAajAxCBaaCxmg例19长l，质量为m的均质杆AB和BC用合页B连接，并用合页A固定，坐落平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分等式得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAyBC作平面运动，取B为基点，则将以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)联立解得对BC由质心平面运动的微分等式得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxO例20平板质量为m1，受水平力F作用而沿水平面运动，板与水平面间的动磨擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆锥，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。
解：取圆锥剖析，构建如图座标。于是得：FaCFN1F1m2gaaOaxyxyF'N1F'1FN2F2m1gFa取板剖析12动量矩定律质点和质点系的动量矩动量矩定律质心绕定轴转动的微分等式质心对轴的转动力矩质点系相对刚体的动量矩定律质心平面运动微分等式序言由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一质心，此力等于平面力系的主矢，此质心等于平面力系对简化中心的主矩。由质心平面运动理论知：质心的平面运动可以分解为陪同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在刚体上，则动量定律(刚体运动定律)描述了质心陪同刚体的运动的变化和外力系主矢的关系。它阐明了物体机械运动规律的一个侧面。质心相对刚体的转动的运动变化与外力系对刚体的主矩的关系将有本章的动量矩定律给出。它阐明了物体机械运动规律的另一个侧面。1质点的动量矩质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量。12.1质点和质点系的动量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r质点动量mv在oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数目。
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是kg·m2/s。质点的动量矩[MO(mv)]z＝Mz(mv)质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。质点系的动量矩2质点系的动量矩LO=ΣMO(mv)质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴的动量矩的代数和。LO=ΣMz(mv)质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。[LO]z=Lz3平动质心的动量矩质心平移时，可将全部质量集中于刚体，作为一个质点估算其动量矩。质心的动量矩4定轴转动质心的动量矩令Jz＝Σmiri2称为质心对z轴的转动力矩,于是得即：绕定轴转动质心对其转轴的动量矩等于质心对转轴的转动力矩与转动角速率的乘积。例1均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳上端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动力矩为J，直径为r，角速率为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：LO的转向沿逆秒针方向。质点系的动量矩12.2.1质点的动量矩定律设质点对固定点O的动量矩为MO(mv)，斥力F对同一点的矩为MO(F)，如图所示。
12.2动量矩定律xyzOMO(mv)mvrMO(F)F将动量矩对时间取一次求导，得12.2.1质点的动量矩定律由于所以又由于所以xyzOMO(mv)mvrMO(F)F质点对某定点的动量矩对时间的一阶求导，等于斥力对同一点的矩。将上式投影在直角座标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶行列式等于质点所受的力对同一轴的矩。12.2.1质点的动量矩定律例2图示为一单摆（物理摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速率（也称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，构建如图座标。在任刹那时，摆锤的速率为v，摆的偏角为j，则式中减号表示扭矩的正负号恒与角座标j的正负号相反。它表明扭力总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。质点的动量矩定律MyxNvmg由即这就是单摆的运动微分等式。当j很小时摆作微摆动，sinj≈j，于是上式变为此微分等式的解为其中A和a为积分常数，取决于初始条件。
可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为其实，周期只与l有关，而与初始条件无关。得设质点系内有n个质点，作用于每位质点的力分为外力Fi(e)和内力Fi(i)。由质点的动量矩定律有这样的多项式共有n个，相乘后得因为内力总是成对出现，因而上式右端的底二项12.2.2质点系的动量矩定律上式上端为于是得12.2.2质点系的动量矩定律质点系对某固定点O的动量矩对时间的行列式，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。在应用质点系的动量矩定律时，取投影式质点系对某固定轴的动量矩对时间的行列式，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。12.2.2质点系的动量矩定律1.质点动量矩守恒定理假如作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。12.2.3动量矩守恒定律当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。2.质点系动量矩守恒定理例3转炉运送矿石的绞盘如图。已知鼓轮的直径为R，质量为m1，绕O轴转动。货车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的质心矩为M，鼓轮对转轴的转动力矩为J，轨道夹角为a。
设绳质量和各处磨擦不计，求货车的加速度a。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺秒针为正，则由，有动量矩定律MOm2gNvm1gFOxFOyw因,于是解得若M＞m2gRsina理论力学动量矩定理ppt，则a＞0，货车的加速度沿轨道向下。必须指出的是：为使动量矩定律中各化学量的正负号保持协调，动量矩和扭矩的正负号规定必须完全一致。动量矩定律例4水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用合页与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。原本两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，这系统绕z轴的角速率为w0。如某时此细线扭断，杆AC和BD各与铅垂线成a角。不计各杆的质量，求这时系统的角速率w。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这种力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即其实，此时的角速率w＜w0。解：取系统为研究对象例5均质圆轮直径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动力矩为JO。圆轮在重物P推动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。应用动量矩定律OPWvmgFOxFOyw例6水流通过固定导流茎秆步入轴套，入口和出口的流速分别为v1和v2，两者与轴套外周边和内周边切线之间的倾角分别为?1和?2，水的容积流量为qV、密度为?，水流入口和出口处轴套的直径分别为r1和r2，轴套水平放置。
求水流对轴套的驱动扭矩。解：在dt时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及她们对O轴之矩：重力——由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；相邻水流的压力——忽略不计；轴套的反作用扭力——与水流对轴套的驱动扭矩大小相等，方向相反。abcdabcd应用动量矩定律Mz例7一绳越过定滑轮，其二端吊有质量为m的重物A，另一端有一质量为m的人以速率u相对细绳向下爬。若滑轮直径为r，质量不计，但是开始时系统静止，求人的速率。解：以系统为研究对象，受力如图。设重物A上升的速率为v，则人的绝对速率va的大小为因为SMO(F(e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。由上可知，人与重物A具有相同的的速率，此速率等于人相对绳的速率的一半。假如开始时，人与重物A坐落同一高度，则不论人以多大的相对速率爬绳，人与重物A将一直保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy设质心绕定轴z以角速率w转动，则Lz＝Jzw。12.3质心绕定轴转动的转动微分等式xyzFN1FN2FnF1F2质心受有主动力和轴承约束反力，如不计磨擦，则由质点系动量矩定律得或12.3质心绕定轴转动的转动微分等式质心对定轴的转动力矩与角加速度的乘积，等于作用于质心上的主动力对该轴的矩的代数和。
以上各色均称为质心绕定轴转动的微分等式。应用质心定轴转动的微分等式可以解决动力学两类问题。例6如图所示，已知滑轮直径为R，转动力矩为J，推动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度a。解：由质心定轴转动的微分等式于是得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽有匀速转动，但可忽视滑轮的转动力矩时，越过定滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2ORa定轴转动的转动微分等式例7图示化学摆的质量为m，C为其力偶，摆对转轴的转动力矩为JO。求微小摆动的周期。解：设j角以逆秒针方向为正。当j角为正时，重力对O点之矩为负。由质心定轴转动的微分多项式，有当微摆动时，有sinj≈j，故等式写为此多项式通解为j0为角振幅，a为初相位。它们均由初始条件确定。摆动周期为mg这就表明，如已知某物体的质量和形心位置，并将物体悬挂于O点作微幅摆动，测出摆动周期后即可估算出此物体对于O轴的转动力矩。例8如图，飞轮对转轴的转动力矩为J，以初角速率w0绕水平轴转动，其阻转矩M＝－aw(a为常数)。求经过多长时间，角速率降至初角速率的一半，在此时间内共转多少转?解：以飞轮为研究对象，由质心定轴转动的微分多项式，有Mw0将（1）式变换，有将上式求定积分，得定轴转动的转动微分多项式将(1)式改写为即将上式求定积分，得转过的角度为因而转过的转数例9如图所示，渐开线蜗杆各绕定轴O1、O2转动，其直径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动力矩分别为J1、J2，今在轮O1上作用一扭力M，求其角加速度。
解：分别以三轮为研究对象，受力如图，由质心定轴转动的微分多项式，有由运动学关系，得注意到，联立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nMOFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：FOx=0,FOy=mg/2忽然解除约束瞬时：FOx=？,FOy=？例题10关于忽然解除约束问题**
