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第10讲 杠杆
10.1 学习提要
简单机械可以改变力的大小和方向，是人们在生产活动中达到省力、方便的目的。
一根硬棒，在力的作用下如果能够绕着固定点转动，这根硬棒就叫杠杆，如图10-1所示，用硬棒撬动大石块。杠杆是在特定条件下的总名称，硬棒并不一定是直棒，可直可弯，任何形状都可以。

10.1.1 支点、力臂、动力、阻力
1. 支点
杠杆绕着转动的固定点，叫做支点。当有力作用在杠杆上时，杠杆绕其转动。对杠杆本身而言，这一点是固定的。
当物体体积较大时，支点不再是一个点，而成为一个转动轴，比如我们抬起木板时，以其与地面的接触线为转动轴。
2. 力臂
从支点到力的作用线的距离，叫做力臂，用字母L表示。力臂并不一定是杠杆上某一段长度，力臂的大小与其在杠杆上的作用点和动力与阻力的方向都有关。
如图10-2所示，在力F1（或F2或F3）的作用下，硬棒OA处于水平位置静止，同样作用于A点的三个力F1、F2、F3，其方向不同，对应的力臂也不同。在图10-2中，力F1的力臂是L1，力F2的力臂是L2，力F3的力臂是L3。
3. 动力和阻力
许多场合下，动力和阻力不能绝对区分，我们可设其中一个力为动力，则另一个力为阻力，这样的设定并不影响我们的研究。对于一个杠杆而言，动力和阻力对于使杠杆转动作用的方向总是相反的，即若阻力使杠杆顺时针旋转时，动力就必须使杠杆逆时针旋转，杠杆才能平衡。
当杠杆受到两个以上的力的作用时，按使杠杆转动方向区分动力和阻力较为方便。

10.1.2 杠杆的平衡
通常情况下，杠杆是在平衡或非常接近平衡的情况下使用的。所谓杠杆平衡，并非指杠杆一定处于水平位置而静止，而是指杠杆在力的作用下保持静止状态或匀速转动状态。
10.1.3 杠杆平衡的条件
杠杆是否平衡由动力、动力臂、阻力、阻力臂的关系决定，我们由大量实验得出杠杆平衡条件是“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，即
F1∙L1=F2∙L2 或 F1/F2=L2/L1
当杠杆受到多个力的作用而处于平衡状态时，则所有动力与动力臂乘积的和等于所有阻力与阻力臂乘积的和。

10.1.4 杠杆应用的实例
1. 省力杠杆
动力臂大于阻力臂的杠杆，他虽然省力，但要多移动距离，如图10-3所示。例如剪铁片的剪刀、开瓶盖的起子、撬石头的硬棒等都是省力杠杆。
2. 费力杠杆
动力臂小于阻力臂的杠杆。它虽然费力，但可以少移动距离。比如镊子、理发用的剪刀、钓鱼竿等都是费力杠杆。
3. 等臂杠杆
动力臂等于阻力臂的杠杆。它既不省力，也不省距离。例如天平的横梁、公园里的摩天轮等都是等臂杠杆，小孩子玩的跷跷板我们一般也认为是等臂杠杆。

10.2 难点解释
10.2.1 杠杆模型的建立
在实际中由于各种各样的杠杆其具体的形状不同，因此在画示意图时，要从实际的情景中确定出“标准化”的杠杆，然后才能进行分析。
如图10-4所示，生活中常见的钢丝钳就可以看成是由左右两个杠杆组合而成的工具，以此钢丝钳的右边把手为例进行分析：钢丝对钳口的阻力F2的方向向左，手对把手的动力F1的方向也向左，这个杠杆的模型就是图10-4（c）的省力杠杆。

10.2.2 力臂实质的理解
力臂的实质，，从数学的角度来看，就是点到直线的距离，当力的作用线正好与杠杆垂直时，力臂在杠杆上，当力的作用线不与杠杆垂直时，力臂不在杠杆上。
注意：对于杠杆是省力杠杆还是费力杠杆的分析，关键点取决于动力臂和阻力臂的大小对比，而不是取决于用眼睛直接看到的支点某测的杠杆的长短对比，这一点是引起同学们对题意理解错误的最常见原因之一。
10.3 例题解析
10.3.1 关于力臂的画法
例1 如图10-5（a）所示，杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂。在图中画出力F1的力臂L1和力F2的示意图。

【点拨】力臂与力总是垂直的。要画力臂，首先要找到支点O，然后由支点O作力的作用线的垂线。而要做力F2的示意图，关键要过力臂L2的端点作L2的垂线，且注意力的作用点是在杠杆上。
【答案】如图10-5（b）所示
【反思】关键点一：作与力臂L2相垂直的作用线（虚线），并做出直角符号（提醒自己是在做到O点距离为L2的直线）。
关键点二：以虚线与杠杆的交点处为起点（提示自己力的作用点在杠杆上）。
关键点三：因F1使杠杆顺时针旋转，则F2使杠杆逆时针旋转，则从交点起沿虚线向上画力的示意图。

10.3.2 关于生活中实际的工具与杠杆抽象模型的对照
例2 如图10-6所示的几种使用杠杆的实例中，属于费力杠杆的是____________、____________、_______________（选填字母）。

【点拨】找出实例中的每一个杠杆的支点，即该杠杆可以绕那一点转动，然后再找动力和阻力，再判断动力臂和阻力臂的大小，只有动力臂小于阻力臂的杠杆，才是费力杠杆。
本题中的镊子和火钳均为两个杠杆组成的组合式杠杆机械，因为是对称性的杠杆，研究时我们只研究其中一个杠杆即可。
独轮车实例中，前轮为支点，所以工人的手提供动力F1，砂石的重力为阻力F2，显然L1>L2，这是一个省力杠杆。
镊子实例中，镊根为支点，人手提供动力F1，物体阻碍镊尖合拢的力为阻力F2，显然L1 脚踏板实例中，脚跟处为支点，脚掌提供动力F1，向上的拉杆阻碍踏板向下移动为阻力F2，显然L1 扳头实例中，扳头左方与瓶盖上方接触处为支点，手提供动力F1，瓶盖阻碍扳头下方的小钩向上移动为阻力F2，显然L1>L2，这是一个省力杠杆。
火钳实例与镊子实例很相似，只是支点在两个钳刃的交叉处，这是一个费力杠杆。
【答案】（b）（c）（e）
【反思】在省力杠杆中，动力作用点所移动的距离都比阻力作用点移动的距离大；而在费力杠杆中，动力作用点所移动的距离都比阻力作用点移动的距离小。这个特点，也可以用来区分省力杠杆和费力杠杆。同学们不妨一试。

10.3.3 杠杆平衡条件的应用练习
例3如图10-7所示，一根长40cm的轻质杠杆，它的一端可以绕固定点转动，另一端A用线竖直向上拉着，在离A点12cm的B点挂一个质量为200g的钩码。当杠杆在水平位置平衡时，线的拉力是多大？
【点拨】在例1我们学会辨认杠杆的五要素，学会画出杠杆的利力臂的基础上，本题中加入了公式的计算。只要足够细心，认清动力、动力臂、阻力、阻力臂，直接代入公式即可得到本题的答案。
【解析】阻力大小等于钩码的重力G，方向竖直向下，因杠杆为水平放置，可以看出阻力臂恰好为OB段的长度，又因为拉力的方向是竖直向上的，所以动力臂为OA段的长度，再来求动力F的大小。
根据杠杆平衡条件可知，
F∙OA=G∙OB
F×40cm=0.2kg×9.8N/kg×（40cm-12cm）
F=1.372N
【答案】拉力为1.372N。
【反思】本题中有两点应引起同学们注意：一是已知物体的质量，而参与计算的物理量却是物体的重力，要用G=mg公式进行计算后方可代入式中；二是阻力臂OB的长度也要进行计算后方可得到。

10.3.4 力臂变化对杠杆平衡的影响
例4 一根均匀的木棒，可绕O点自由转动，现在A端施加一个与OA方向垂直的力F，使木棒绕O点转动，由位置I，到位置II，再到位置III，如图10-8（a）所示，则F的大小将（ ）

A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大再变小 D.先变小再变大
【点拨】因为力F始终与OA垂直，所以在杠杆旋转的过程中，力F的力臂始终是不变的，且杠杆受到的阻力为杆重也不变，所以在杠杆转动过程中，阻力的力臂如何变化是分析问题的关键点。
【解析】由图10-8（b）所示，阻力的力臂由位置I到位置II是变大，到III的位置再变小，由杠杆的平衡条件F1×L1=F2×L2可知，要想使等式保持成立，也就是说要使杠杆保持平衡，则力F的变化要先变大再变小。
【答案】C
【反思】在动态的杠杆试题中，杠杆上的几个物理量有时会发生变化，尤其是力臂的变化，初学者极不容易分析清楚，在分析时，要根据杠杆的平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，先分析其中哪几个量是不变的，然后根据某个变化量（如本题中的阻力臂L2）的变化情况，确定要判断的另一个物理量。
10.3.5 杠杆平衡的一题多解
例5 如图10-9（a）所示，一根粗细均匀的硬棒AB被悬挂起来，已知AB=8AO，当在一处悬挂120牛的重物G时，杠杆恰好平衡，则杠杆自身的重力为________N。

【点拨】由于要考虑硬棒本身的重力，且支点又不在硬棒的端点，所以本题有不同的考虑和解法。
【解析一】若木棒AB总重为G木，总长度为L木。将OA作为一段硬棒，其重心在OA中心，OA重力为1/8G，力臂为1/16L。将OB作为一段硬棒，其重心在OB的中心，OB重力为7/8G，力臂为7/16L。如图10-9（b）所示，由杠杆平衡条件可知：
G左∙L左=G右∙L右+F∙OA
7/8G木×7/16L木=1/8G木×L木+G×7/8L木
则G木=1/3G
【解析二】分析如图10-9（c）所示。
主要思路是因支点相邻两格的作用相互抵消，不予考虑。
右端所挂物体的重力G只与最左边的6格木棒重力作用相平衡，则
6/8G木×4/8L木=G×1/8L木
G木=1/3G
【解析三】如果将木棒看成一个整体，则这个整体的重力作用是使杠杆沿逆时针方向转动，而外力G的作用是使杠杆沿顺时针的方向转动。分析如图10-9（d）所示。
G木∙3/8L木=G∙1/8L木
则G木=1/3G
G木=1/3G=1/3∙120N=20N
【答案】40N
【反思】局部和整体的分析方法在物理学中是最基本的，而且是常用的方法，在力学的分析中，多个物体受力和一个物体受多个力时，我们常常采用这种方法。从结果上来看，局部和整体的方法是等效的，不存在孰优孰劣的问题，只是从过程上来看，整体法解题往往较为简练。



A 卷
1. __________________________叫做杠杆，这个固定点叫做_________；促使杠杆转动的力叫做__________，阻碍杠杆转动的力叫做__________，这两个力对于使杠杆向哪个方向转动的作用是__________（选填“相同”或“相反”）的；____________叫做力臂。
2. 杠杆的平衡状态是指杠杆处于_________或_________________状态，杠杆的平衡条件是_____________________，数学表达式为_____________________。
3. 动力臂为阻力臂4倍的杠杆是__________杠杆（选填“省力”或“费力”）。若该杠杆受到的阻力为20N，则当动力为__________N时，杠杆处于平衡状态。
4. 如图10-10所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，OA=0.3m，OB=0.2m。A点处挂一个质量为2kg的物体G，B点处加一个竖直向上的力F，杠杆在水平位置平衡，则物体G的重力大小为__________N，力F大小为___________N。

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