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（知识模块Ⅰ：平行线的概念及性质
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线称作平行线，假如直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特点：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，二者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．非常地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用尺子和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条底边与已知直线重合.
②靠：用尺子邻近三角板一条直角边.
③推：顺着尺子平移三角板,使与已知直线重合的底边通过已知点.
④画：顺着这条底边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
3、平行线的基本性质
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行线之间的距离处处相等；
（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值称作这两条平行线间的距离如图所示直线ab与cd的位置关系为，平行线间的距离处处相等．
【例1】下列推论中，正确的个数是（）
①同一平面内不相交的两条直线必平行②同一平面内不平行的两条直线必相交
③同一平面内不相交的两条线段必平行④同一平面内不平行的两条线段必相交
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【例2】判断题：
（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线（）
（2）两条直线不相交则必平行（）
（3）与已知直线平行的直线有且只有一条（）
（4）与已知直线垂直的直线有且只有一条（）
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×．
【例3】如图，经过点P画直线PE∥OA，交OB于点E；画直线PF∥OB，交OA于点F．
【答案】（1）首先，将三角尺的直角边与直线OA重合，将其中一条
直角边靠近尺子，并固定尺子；
（2）将三角尺与直线AB重合的直角边缘尺子平行联通至过点P处；
（3）顺着三角尺的直角边画出过点P的直线PE，
则直线PE即为所求的平行线．
同理，画出直线PF即可．
（知识模块Ⅱ：平行线的三种判别方式
判断方式1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判断方式2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判断方式3：同旁外角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁外角互补，两直线平行）
注意：平行线的判断是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【例4】如图所示，直线c与直线a、b相交，且∠2=∠3，则哪两条直线平行？为何？
【答案】a//b，同位角相等，两直线平行
【例5】如图所示，直线AB与CE交于点D，且∠1+∠E=180°.这么EF与AB平行吗？为何？
【答案】法1：AB//EF，内错角相等，两直线平行
法2：AB//EF，同旁外角互补，两直线平行
【例6】如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上的点，AB⊥BC，∠1＋∠2=90°，∠2=∠3.这么BE//DF吗？为何？
【答案】BE//DF同位角相等，两直线平行
【例7】如图所示，直线AB、CD分别与直线EF相交于点H、M,∠AHF+∠FMD=180°，GH平分∠AHM,MN平分∠DMH,这么GH//MN吗？为何？
【答案】GH//MN内错角相等，两直线平行
【例8】如图如图所示直线ab与cd的位置关系为，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为点O、P,OM平分∠EOB,PN平分∠OPD.假如∠1=∠2，这么（1）OM//PN吗？为何？（2）AB//CD吗？为何？
解：（1）由于∠1=∠2（）
所以//（）
（2）由于OM平分∠EOB,PN平分∠OPD（）
所以∠=
,∠=
（）
又由于∠1=∠2（已知）
所以∠=∠（）
所以//（）
【答案】（1）已知，OM,PN,同位角相等，两直线平行
（2）已知，∠1，∠2，角平分线的意义，
，
，等量代换，AB,CD,同位角相等，两直线平行.
【例9】如图所示，∠AOB的边OB与∠CDF的边DF交于点E，∠AOE＋∠BEF=180°，∠AOE＋∠CDE=180°，这么可以判定哪几组直线相互平行?为何？
【答案】①CD//OB同位角相等，两直线平行
②OA//DF同旁外角互补，两直线平行
【例10】在同一平面内有互不重合的五条直线a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，
a3∥a4，a4⊥a5，这么a1与a5的位置关系是哪些．
【答案】平行
【例11】如图：已知∠A=∠D,∠B=∠FCB,能够确定ED与CF的位置关系？请说明理由？
【答案】
提示：平行线的传递性
【例12】如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，试说明DG∥BA．
【答案】因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
所以EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线相互平行）
所以∠BEF=∠BAD（等量代换）
又由于∠BEF=∠ADG（已知）
所以∠BAD=∠ADG（等量代换）
所以DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
【习题1】如图所示，在下述条件中，能判定AB//CD的是（）
A．
B.
C.
D.
【答案】D
【习题2】如图所示，假如
，这么（）
A．
B.
C.
D.
【答案】D
【习题3】如图所示，能判定AB//CE的条件是（）
A．
B.
C.
D.
【答案】A
【习题4】
如图：
（1）假如∠1=∠B，这么//.根据是.
（2）假如∠4+∠D=180°，这么//.根据是.
（3）假如∠3=∠D，这么//.根据是.
（4）假如∠1+∠=180°，这么AB//CD.根据是.
（5）要使BE//DF,必须∠1=.根据是.
【答案】（1）AB,CD,同位角相等，两直线平行
（2）BE,DF,同旁外角互补，两直线平行
（3）BE,DF，内错角相等，两直线平行
（4）2，同旁外角互补，两直线平行
（5）∠D，同位角相等，两直线平行
【习题5】在铺装铁轨时，两条铁轨必须是相互平行的.如图，已知∠2是直角，这么通过测度图中已标出的那个角，就可以判断两条铁轨是否平行？为何？
【答案】①通过测度∠3的度数，若满足∠2＋∠3=180°，
依据同旁外角互补，两直线平行，就可以得到两条铁轨平行的推论.
②通过测度∠4的度数，若满足∠2=∠4，
按照同位角相等，两直线平行，就可以得到两条铁轨平行的推论.
③通过测度∠5的度数，若满足∠2=∠5，
按照内错角相等，两直线平行，就可以得到两条铁轨平行的推论.
【习题6】如图，直线AB、CD相交于点O，P是直线AB、CD外的一点，经过点P画出直线EF，与直线CD相交于点E，与直线AB平行．
【答案】（1）首先，将三角尺的直角边与直线AB重合，
将其中一条直角边靠近尺子，并固定尺子；
（2）将三角尺与直线AB重合的直角边缘尺子平行联通至过点P处；
（3）顺着三角尺的直角边画出过点P的直线EF，则直线EF即为所求的平行线．
【习题7】
如图，点B在AC上，BD⊥BE,∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方式说明理由.
【答案】法1：通过∠2=∠C，同位角相等，两直线平行
法2：通过∠DBC＋∠C=180°，同旁外角互补，两直线平行
【习题8】
如图，已知直线
被直线
所截，
依据条件，你能找出哪几组直线是相互平行的？请写出，并说明理由.
【答案】
【习题9】如图所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB,试说明DC//AB的理由.
【答案】内错角相等，两直线平行.
【习题10】如图，已知∠1=∠2=∠3，这么可判断什么直线平行，并说明理由.
【答案】
GD//BC,BD//EF
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