共1节课
2.3.2平面向量的正交点... 高中中国人民教育A版2003课程标准版
1 教学目标
构建物理知识与数学知识之间的联系，亲身体验物理定律的实际模型，有助于理解向量正交分解的概念和意义。 通过类比一对有序实数表示的平面笛卡尔坐标系的中点，促使中学生思考如何用笛卡尔坐标系表示平面向量，培养中学生的迁移能力和创新能力意识。
2 学业情况分析
中学生基础差，学习不积极
3 重点难点
向量正交分解和向量坐标表示概念的理解
4 教学过程 4.1 第一小时评论 (0) 新设计
（一）综述介绍：
问题 1. 指出平面向量基本定律的内容和意义
设计意图：为旧知识做准备，为下一步的专精基地、引新课做准备。
师生活动：中学生口头报告、班主任点评。
平面向量的基本定律：如果在同一平面上有两个不共线的向量，那么对于这个平面上的任意向量，存在且只有一对实数λ1，λ2使得=λ1+λ2
注：（1）我们称非共线向量e1、e2为一组表示该平面内所有向量的基；
(2)基不唯一，键不共线；
(3) 根据定律，任意向量a在给定基e1和e2的条件下都可以分解；
(4) 基数给定时，分解方法唯一。 λ1, λ2 是唯一确定的数
(2) 讲解新课：
1.平面向量的正交分解
问题 2. 平面矢量基本定律在化学中的作用是什么？ 尝试一个例子。
设计意图：建立物理知识与数学知识之间的联系，体验物理定律的实际模型，帮助理解向量正交分解的概念和意义。
师生活动：中学生思考并举例。 班主任给出了向量正交分解的定义，并简单说明了它的作用。
力的分解：如图所示，光滑斜坡上的铁块受到重力作用。 这时可以分解为，即=，其中 是平行于斜面的力， 是垂直于斜面的压力。
速度的分解：斜向上抛物体的速度可以分解为水平方向的匀速直线运动的速度和垂直方向的向上抛运动的速度，则=+。
垂直性是两个不共线的向量的重要情况。 将一个向量分解成两个相互垂直的向量称为向量的正交分解。 正交分解是向量分解中常见的情况，这会给我们研究问题带来很大的方便。
2.平面矢量的坐标表示
问题3. 在平面笛卡尔坐标系中，每个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）来表示。 对于笛卡尔坐标平面中的每一个向量，如何表达呢？
设计意图：类比用一对有序实数表示平面笛卡尔坐标系的中点，促使中学生思考如何在笛卡尔坐标系中表示平面向量，培养中学生的迁移能力和创新意识。
师生活动：中学生思考、猜测向量也可以用坐标表示。 根据平面向量的基本规律，分别选取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量作为基。
问题4、如图所示，以与x轴、y轴方向相同的单位向量 为底，用 表示向量。
设计意图：让中学生体验知识生成的过程，从具体问题中理解矢量坐标表示的含义和矢量坐标表示的方法，为学习酱油图像坐标表示的定义做铺垫。
师生活动：学生：；；；
师：根据定律，是的，有一对唯一的实数(2, 3)与之对应，我们称(2, 3)为 的坐标，标记为=(2, 3)
健康：同理心
问题 5. 更一般地，如何定义平面中任意向量的坐标？
设计意图：通过中学生自己具体建构定义的过程，加深对所学知识的理解，同时渗透从具体到具体、从特殊到普通的认知，
师生活动：中学生思考解答，班主任修整提高。
平面向量坐标表示的定义：在笛卡尔坐标系中，以与x轴、y轴同向的单位向量为底，任意向量由平面基本定律可知向量，只有一对实数 x , y ，所以 (x, y) 称为向量的坐标。 写成 = (x, y)。
如图所示，在直角坐标平面中，以原点O为起点，点的位置由 唯一确定。
假设向量的坐标是点的坐标； 反之，点的坐标也是向量的坐标。 因此，在平面笛卡尔坐标系中，每个平面向量都可以由一对唯一的实数表示。
问题 6. ①写出 , 的坐标；
②如图所示，写出坐标，分析它们之间的关系。
设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等的向量坐标是相等的，感受向量与其坐标的一一对应关系，感受向量的坐标与点的坐标相同。
师生活动：中学生思考与解答。 班主任用几何画板拖动矢量使其平移，坐标不变。
非常，，，。
问题7. (1) 若A(x1,y1),O为坐标原点，坐标是多少？
(2) 如果A(x1,y1), B(x2,y2)，这些向量的坐标是多少？
(1) (2)
设计意图：让中学生理解一个向量的坐标与代表该向量的有向直线的起点和终点坐标之间的关系，感觉向量的坐标与具体的对象无关表示向量 的有向线段的起点和终点的位置，只与其相对位置有关。 同时渗透几个组合的想法，特别是通常的想法。 培养中学生观察、归纳、分析、论证的能力。
师生活动：班主任用几何画板拖出（1）中的A点，中学生归纳得出（1）的推论：而（2）在班主任的指导下结合（ 1）矢量加法三角定律由中学生推理完成。
从原点出发的有向线段所表示的向量的坐标就是其终点的坐标。 即：=(x,y)A(x,y)
矢量的坐标等于表示矢量的有向线段的终点坐标乘以起点坐标。 即：如果A（x1，y1），B（x2，y2）=（x2-x1，y2-y1）
(3) 课堂练习：
1. 以下三种说法： ① 平面内只有一对不共线的向量才能作为平面的基； ②一个平面内有无数对不共线的向量，可以作为该平面内所有向量的基； ③零向量不能作为基数中的向量，正确的说法是（）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
2. 给定向量 e1 和 e2，求向量 -2.5e1+3e2。
e1
e2
3.已知i和j是两个非共线向量。 据了解，【大榕树实体资源网（）可能是中国最大的实体资源网。 ]=3i+2j,[大榕树实物资源网()力的正交分解教案，可能是国内最大的实物资源网。 ]=i+λj,[大榕树实体资源网()，可能是国内最大的实体资源网。 ]=-2i+j，若A、B、D三点共线，求实数λ的值。
4. 如果是向量，则向量的坐标为 。
5.如果=(x-2,3)等于=(1,y+2)，则()
A。 x=1,y=3B． x=3,y=1C。 x=1，y=-5D。 x=5,y=-1
6、如图所示，写出向量的坐标和A点的坐标。
7、如图所示，在正矩形ABCD中，O为圆心，
和=(-1,-1)，求坐标。
.
8、已知向量a=(x+3,x2-3x-4)和【大榕树实体资源网（）可能是中国最大的实体资源网。 ] 相等，其中A(1,2), B(3,2)，求x。
中学生练习，班主任上课批改。
（四）总结
①. 请回答矢量坐标表示的定义和含义。
②. 向量的坐标和点的坐标是什么关系？
设计意图：让中学生养成归纳总结的学习习惯，不断提高反思能力，体验知识产生、发展和应用的过程。
师生活动：在班主任提问的基础上，让中学生自己得出结论，班主任补充建构。
(5) 作业：
教科书 P1141, 2, 3
教学活动
2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示
课程设计 课堂记录
2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示
1 第一学期新设计
（一）综述介绍：
问题 1. 指出平面向量基本定律的内容和意义
设计意图：为旧知识做准备，为下一步的专精基地、引新课做准备。
师生活动：中学生口头报告、班主任点评。
平面向量的基本定律：如果在同一平面上有两个不共线的向量，那么对于这个平面上的任意向量，存在且只有一对实数λ1，λ2使得=λ1+λ2
注：（1）我们称非共线向量e1、e2为一组表示该平面内所有向量的基；
(2)基不唯一，键不共线；
(3) 根据定律，任意向量a在给定基e1和e2的条件下都可以分解；
(4) 基数给定时，分解方法唯一。 λ1, λ2 是唯一确定的数
(2) 讲解新课：
1.平面向量的正交分解
问题 2. 平面矢量基本定律在化学中的作用是什么？ 尝试一个例子。
设计意图：建立物理知识与数学知识之间的联系，体验物理定律的实际模型，帮助理解向量正交分解的概念和意义。
师生活动：中学生思考并举例。 班主任给出了向量正交分解的定义，并简单说明了它的作用。
力的分解：如图所示，光滑斜坡上的铁块受到重力作用。 这时可以分解为，即=，其中 是平行于斜面的力， 是垂直于斜面的压力。
速度的分解：斜向上抛物体的速度可以分解为水平方向的匀速直线运动的速度和垂直方向的向上抛运动的速度，则=+。
垂直性是两个不共线的向量的重要情况。 将一个向量分解成两个相互垂直的向量称为向量的正交分解。 正交分解是向量分解中常见的情况，这会给我们研究问题带来很大的方便。
2.平面矢量的坐标表示
问题3. 在平面笛卡尔坐标系中，每个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）来表示。 对于笛卡尔坐标平面中的每一个向量，如何表达呢？
设计意图：类比用一对有序实数表示平面笛卡尔坐标系的中点，促使中学生思考如何在笛卡尔坐标系中表示平面向量，培养中学生的迁移能力和创新意识。
师生活动：中学生思考、猜测向量也可以用坐标表示。 根据平面向量的基本规律，分别选取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量作为基。
问题4、如图所示，以与x轴、y轴方向相同的单位向量 为底，用 表示向量。
设计意图：让中学生体验知识生成的过程，从具体问题中理解矢量坐标表示的含义和矢量坐标表示的方法，为学习酱油图像坐标表示的定义做铺垫。
师生活动：学生：；；；
师：根据定律，是的，有一对唯一的实数(2, 3)与之对应，我们称(2, 3)为 的坐标力的正交分解教案，标记为=(2, 3)
健康：同理心
问题 5. 更一般地，如何定义平面中任意向量的坐标？
设计意图：通过中学生自己具体建构定义的过程，加深对所学知识的理解，同时渗透从具体到具体、从特殊到普通的认知，
师生活动：中学生思考解答，班主任修整提高。
平面向量坐标表示的定义：在笛卡尔坐标系中，以与x轴和y轴同向的单位向量为底，任意向量，由平面基本定律可知向量，有且只有一对实数 x , y，所以 (x, y) 称为向量的坐标。 写成 = (x, y)。
如图所示，在直角坐标平面中，以原点O为起点，点的位置由 唯一确定。
假设向量的坐标是点的坐标； 反之，点的坐标也是向量的坐标。 因此，在平面笛卡尔坐标系中，每个平面向量都可以由一对唯一的实数表示。
问题 6. ①写出 , 的坐标；
②如图所示，写出坐标，分析它们之间的关系。
设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等的向量坐标是相等的，感受向量与其坐标的一一对应关系，感受向量的坐标与点的坐标相同。
师生活动：中学生思考与解答。 班主任用几何画板拖动矢量使其平移，坐标不变。
非常，，，。
问题7. (1) 若A(x1,y1),O为坐标原点，坐标是多少？
(2) 如果A(x1,y1), B(x2,y2)，这些向量的坐标是多少？
(1) (2)
设计意图：让中学生理解一个向量的坐标与代表该向量的有向直线的起点和终点坐标之间的关系，感觉向量的坐标与具体的对象无关表示向量 的有向线段的起点和终点的位置，只与其相对位置有关。 同时渗透几个组合的想法，特别是通常的想法。 培养中学生观察、归纳、分析、论证的能力。
师生活动：班主任用几何画板拖出（1）中的A点，中学生归纳得出（1）的推论：而（2）在班主任的指导下结合（ 1）矢量加法三角定律由中学生推理完成。
从原点出发的有向线段所表示的向量的坐标就是其终点的坐标。 即：=(x,y)A(x,y)
矢量的坐标等于表示矢量的有向线段的终点坐标乘以起点坐标。 即：如果A（x1，y1），B（x2，y2）=（x2-x1，y2-y1）
(3) 课堂练习：
1. 以下三种说法： ① 平面内只有一对不共线的向量才能作为平面的基； ②一个平面内有无数对不共线的向量，可以作为该平面内所有向量的基； ③零向量不能作为基数中的向量，正确的说法是（）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
2. 给定向量 e1 和 e2，求向量 -2.5e1+3e2。
e1
e2
3.已知i和j是两个非共线向量。 据了解，【大榕树实体资源网（）可能是中国最大的实体资源网。 ]=3i+2j,[大榕树实物资源网()，可能是国内最大的实物资源网。 ]=i+λj,[大榕树实体资源网()，可能是国内最大的实体资源网。 ]=-2i+j，若A、B、D三点共线，求实数λ的值。
4. 如果是向量，则向量的坐标为 。
5.如果=(x-2,3)等于=(1,y+2)，则()
A。 x=1,y=3B． x=3,y=1C。 x=1，y=-5D。 x=5,y=-1
6、如图所示，写出向量的坐标和A点的坐标。
7、如图所示，在正矩形ABCD中，O为圆心，
和=(-1,-1)，求坐标。
.
8、已知向量a=(x+3,x2-3x-4)和【大榕树实体资源网（）可能是中国最大的实体资源网。 ] 相等，其中A(1,2), B(3,2)，求x。
中学生练习，班主任上课批改。
（四）总结
①. 请回答矢量坐标表示的定义和含义。
②. 向量的坐标和点的坐标是什么关系？
设计意图：让中学生养成归纳总结的学习习惯，不断提高反思能力，体验知识产生、发展和应用的过程。
师生活动：在班主任提问的基础上，让中学生自己得出结论，班主任补充建构。
(5) 作业：
教科书 P1141, 2, 3
教学活动
标签: 2.3.2, 平面, 矢量, 正交, 分解
