第一篇：[中学物理证明试卷
九年级(上)单元测试题
第一章证明(二)
(时间90分钟满分100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1、两个直角三角形全等的条件是（）
A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等
2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的依据是（）
A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形斜边长为7，一腰上的中线把其边长分成两部份的差为3，则腰长是（）
A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对
4、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下推论：
(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中推论正确的是（）
A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)
5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）
A、2B、3C、4D、5(第2题图)(第4题图)(第5题图)
6、设M表示直角三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形，Q表示等边直角三角形，则下述四个图中，能表示她们之间关系的是（）
7、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC如图所示ab是圆直径的两个端点，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的边长为（）
A、4cmB、6cmC、8cmD、10cmcm8、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）
A、30°B、36°C、45°D、70°
9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，假如添加一个条件，即可推出AB=AB′，这么该条件可以是（）
A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C
(第7题图)(第8题图)(第9题图)(第10题图)
10、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则
九年级(上)物理单元测试题[1]第1页(共四页)
ABC的大小是（）
A、40°B、45°C、50°D、60°
二、填空题(每小题3分，共24分)
11、如果等边三角形的一个底角是80°，这么内角是度.12、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件.(第12题图)(第13题图)(第15题图)
13、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，则∠C=°.14、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是.15、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为.16、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为cm.17、如图，在等边直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF是三角形.18、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下述推论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的推论是（注：将你觉得正确的推论都填上．）
(第16题图)(第17题图)(第18题图)
三、(每小题6分，共12分)
19、如图，在四个正圆形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…、A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成多少个等边直角三角形？你乐意把得到上述推论的探究方式与别人交流吗?若乐意，请简略写出你的探究过程
20、已知：矩形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将矩形ABCD分割成四个三角形，致使每位三角形都是等边三角形．（作图工具不限，要求画出分割线段；标出才能说明分法所得三角形顶角的度数，没有标出才能说明分法所得三角形顶角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明．）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就觉得是两种不同的分法．
分法一：分法二：分法三：
四、(每小题6分，共18分)
21、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC22、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.23、已知：如图，等边矩形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为矩形外一点，且AE=DE.求证：BE=CE．
五、(每小题8分，共16分)
24、阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB和△AEC中，EBECABEACE
AEAE
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：前面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理按照；若不正确，请强调错在哪一步？并写出你觉得正确的推理过程。
25、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等腰三角形，直线AN，MC交于点F。
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF为等腰三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆秒针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判定第（1）、（2）两小题的推论是否仍旧创立（不要求证明）
第二篇：小学语文-几何证明精典试卷及答案
中学几何证明题
精典题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初中）
D2、已知：如图，P是正圆形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初中）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
A13、如图，已知四边形ABCD、都是正圆形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形是正圆形．（初中）
B4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
精典题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
·
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初中）
·
M2、设MN是圆O外仍然线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初中）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
·
·
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初中）
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的两侧作正圆形ACDE和正圆形CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初中）
精典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正圆形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初中）
2、如图，四边形ABCD为正圆形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初中）
3、设P是正圆形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初中）
P4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的半径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（高中）
精典题（四）
B1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初中）
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初中）
B3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（高中）
A4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初中）
精典困局（五）
1、设P是周长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．
D2、已知：P是周长为1的正圆形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
D3、P为正圆形ABCD内的一点，但是PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正圆形的周长．
A4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．
精典题（一）
1.如右图做GH⊥AB,联接EO。因为GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2.如右图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等腰△，继而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300，因而得出△PBC是正三角形
3.如右图联接BC1和AB1分别找其中点F,E.联接C2F与A2E并延长相交于Q点，联接EB2并延长交C2Q于H点，联接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=
FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,继而可得∠A2B2
C2=900，同理可得其他边垂直且相等，因而得出四边形是正圆形。
4.如右图联接AC并取其中点Q，联接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，因而得出∠DEN＝∠F。
精典题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,因而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)联接OB，OC,既得∠BOC=1200，继而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，联接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
因为，由此可得△ADF≌△ABG，继而可得∠AFC=∠AGE。
又由于PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，继而可得AP=AQ。
4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
继而可得PQ=
=，因而得证。
精典题（三）
1.顺秒针旋转△ADE，到△ABG，联接CG.因为∠ABG=∠ADE=900+450=1350
因而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等腰三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，因而可得∠A
EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。
2.联接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正圆形。
由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，因而可晓得∠F=150，因而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正圆形。
令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。
精典困局（四）
1.顺秒针旋转△ABP
600，联接PQ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
=，即AD•BC=BE•AC，①
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
=，即AB•CD=DE•AC，②
由①+②可得:
AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=
AC·BD，得证。
4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：
=，由AE=FC。
可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定律）。
精典题（五）
1.（1）顺秒针旋转△BPC
600，可得△PBE为等腰三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如右图：可得最小L=；
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。
因为∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP
①
又BP+DP>BP
②
和PF+FC>PC
③
又DF=AF
④
由①②③④可得：最大L<
2；
由（1）和（2）既得：≤L＜2。
2.顺秒针旋转△BPC
600，可得△PBE为等腰三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如右图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF=
=。
3.顺秒针旋转△ABP
900，可得如右图：
既得正圆形周长L
=。
4.在AB上找一点F，使∠BCF=600，联接EF，DG，既得△BGC为等腰三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，FG=GE。
推出
：
△FGE为等腰三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400
①
又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400
②
推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，因而推得：∠FED=∠BED=300。
第三篇：中学语文证明(二)
《证明(二)》单元测试题
一、选择题（每小题3分）、如图，在△ABC中，C90，EF//AB,150，则B的度数为（）A．50B.60C.30D.402、两个直角三角形全等的条件是（）
A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等
3、等腰三角形斜边长为7，一腰上的中线把其边长分成两部份的差为3，则腰长是（）
A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对
4、如图，已知ABAD，这么添加下述一个条件后，仍未能判断△ABC≌△ADC的是（）
A．CBCDB．∠BAC∠DAC
C．∠BCA∠DCAD．∠B∠D90。。。
5、如图所示，A、B、C分别表示三个村落，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村落到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
6、设M表示直角三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形，Q表示等边直角三角形，则下述四个图中，能表示她们之间关系的是（）
7．下述命题是假命题的是（）
A．有两个顶角分别为70°和40°的三角形是等边三角形
B．有两侧长分别为3，4且三周长均为整数的三角形一定是等边三角形
C．任意两个顶角不相等的三角形不是等边三角形
D．有两个内角相等的三角形是等边三角形
8、如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别
为A，B．下述推论中不一定创立的是（）
A．PAPBB．PO平分APB
C．OAOBD．AB垂直平分OPB9、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则内角的度数是()
A.30°B.60°;C.30°或150°D.不能确定
10、下列说法错误的是（）
A.任何命题都有逆命题B.定律都有逆定律
C.命题的逆命题不一定是正确的D.定律的逆定律一定是正确的二、填空题（每小题3分）
11、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为.12、如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10分米，BC=8分米，则点D到直线AB的距离是分米。
3，用经过A，B，C三点的平面截这个正方体，所得截面的边长是cm．
14、我们来探究“雪花曲线”的有关问题：图7（1）是周长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为斜边再作正三角形，之后以其两腰取代斜边，得到第二个图形如图7（2）；再将图7（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图7（3），这么继续下去，得到的第五个图形的边长应等于．
BC
D15、如图，△ABC的边长为32，且ABAC，ADBC于D，△ACD的边长为24，这么AD的长为．
16、如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A等于．
17、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件
.18、三角形两侧的长分别为5和7,则最短周长的取值范围是.19、命题“如果一个四边形的四边都相等,这么这个四边形是矩形”的逆命题是.20、用反证法证明“三角形钝角至多有一个”首先假定
三、解答题：（21题4分，其余每小题8分）
21、如图，三条道路两两相交，有关部门要在此“三角形”区域内修筑一个转运站，使转运站到三条道路的距离相等，怎么确定转运站位置。（要求：用尺规画图，保留画图痕迹，不写已知、求作和作法）
22．如图9是一副三角板拼成的四边形，含45°角那一块的底边正好等于另一块60°角的对边如图所示ab是圆直径的两个端点，试比较这两块三角烩面积的大小，并说明理由．
23．如图1
2，ABCD是一张长圆形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，这么EC等于多少？你能证明你的推论吗？
24、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC25、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.26、已知D是Rt△ABC底边AC的中点，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数.27、已知：如图，在等腰三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．
28、已知：如图，在等腰三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，联结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求
证：BP＝2PQ.
第四篇：中学语文三角形证明（例文）
1.如图△ABC，∠AFD＝
158°，求∠EDF的度数。
2.如图，∠C
＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A与∠EFD的度数。
3.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC
4.如图，在△ABC中，已知AD是△
ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度数．
5.如图△ABC的边长为18
cm，BE、CF
分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3cm,AE=2cm，求BD的长.解题思路：
（1）求角度问题要考虑：角平分线、三角形顶角和定律、两顶角之和等于第三角的内角
（2）先列方程，之后按照题目要求除去无关信息，最后采用“消元法”的思路转换解决，求出未知
（3）对于个别题要结合外围图形和条件，例如四边形、三角形全等、直线关系（平行、相交）来解答。
00第八讲三角形证明
（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADECDAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，F求证：∠1=∠2EA8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CABA9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：EAE=AD+如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）解题思路：(1)三角形的证明通常思路是证全等和相像（八年级）（2）剖析题目先看求哪些？之后考虑求未知必须先求哪些？需证明这些量相等，或那个三角形相等之后找出已知条件所能得出的推论，之后看它们能不能证出所要的关系（3）假如不能证出数目关系要考虑添加辅助线来“凑出”条件，然后在证明
11.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，A
17.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求ACBD。求证：ACFBDE。较难
12.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C
13.已知如图，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求证：DE=BD+CE.14.在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E求证：ADC≌CEB
15.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
证：∠C=2∠BCD
BF
18.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平
分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交D
BA的延长线于F．BC
求证：BD=2CE．Q
19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定P
AP与AQ的数目关系和位置关系B
20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判定DE、DF的数目关系，并说明理由．
(附加题)如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=
CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点联通到如图②的位置时，其余条件不变，上述推论能够创立？若创立请给与证明；若不创立请说明理由．
第五篇：中学语文定律证明
中学语文定律证明
物理定律
三角形三条边的关系
定律：三角形两侧的和小于第三边
结论：三角形两侧的差大于第三边
三角形顶角和
三角形顶角和定律三角形三个顶角的和等于180°
结论1直角三角形的两个锐角互余
结论2三角形的一个内角等于和它不相邻的两个顶角和
结论3三角形的一个内角洪水任何一个和它不相邻的顶角
角的平分线
性质定律在角的平分线上的点到这个角的两侧的距离相等
几何语言：
∵OC是∠AOB的角平分线(或则∠AOC=∠BOC)
pE⊥OA，pF⊥OB
点p在OC上
∴pE=pF(角平分线性质定律)
判断定律到一个角的两侧的距离相等的点，在这个角的平分线上
几何语言：
∵pE⊥OA，pF⊥OB
pE=pF
∴点p在∠AOB的角平分线上(角平分线判断定律)
等边三角形的性质
等边三角形的性质定律等边三角形的两底角相等
几何语言：
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等腰对等角)
结论1等边三角形内角的平分线平分斜边而且垂直于斜边
几何语言：
(1)∵AB=AC，BD=DC
∴∠1=∠2，AD⊥BC(等边三角形内角的平分线垂直平分斜边)
(2)∵AB=AC，∠1=∠
2∴AD⊥BC，BD=DC(等边三角形内角的平分线垂直平分斜边)
(3)∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠1=∠2，BD=DC(等边三角形内角的平分线垂直平分斜边)
结论2等腰三角形的各角都相等，而且每一个角等于60°
几何语言：
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°(等腰三角形的各角都相等，而且每一个角都等于60°)
等边三角形的判断
判断定律假如一个三角形有两个角相等，这么这两个角所对的边也相等
几何语言：
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等腰)
结论1三个角都相等的三角形是等腰三角形
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等腰三角形)
结论2有一个角等于60°的等边三角形是等腰三角形
几何语言：
∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)
∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等边三角形是等腰三角形)
结论3在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，这么它所对的直角边等于底边的一半
几何语言：
∵∠C=90°，∠B=30°
∴BC=AB或则AB=2BC(在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，这么它所对的直角边等于底边的一半)
线段的垂直平分线
定律线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)
点p为MN上任一点
∴pA=pB(线段垂直平分线性质)
逆定律和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
∵pA=pB
∴点p在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判断)
轴对称和轴对称图形
定律1关于某条之间对称的两个图形是全等形
定律2假如两个图形关于某直线对称，这么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定律3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，这么交点在对称轴上
逆定律若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称
勾股定律
勾股定律直角三角形两直角边a、b的平方和，等于底边c的平方，即
a2+b2=c
2勾股定律的逆定律
勾股定律的逆定律假如三角形的三周长a、b、c有关系，这么这个三角形是直角三角形
四边形
定律任意四边形的外角和等于360°
六边形顶角和
定律六边形顶角和定律n边形的外角的和等于(n-2)·180°
推测任意五边形的内角和等于360°
平行四边形及其性质
性质定律1平行四边形的对角相等
性质定律2平行四边形的对边相等
推测夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定律3平行四边形的对角线相互平分
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC，AB‖CD(平行四边形的对角相等)
∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对边相等)
AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线相互平分)
平行四边形的判断
判断定律1两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
判断定律2两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
判断定律3两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD=BC，AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
判断定律4对角线相互平分的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线相互平分的四边形是平行四边形)
判断定律5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
圆形
性质定律1方形的四个角都是直角
性质定律2方形的对角线相等
几何语言：
∵四边形ABCD是圆形
∴AC=BD(方形的对角线相等)
∠A=∠B=∠C=∠D=90°(菱形的四个角都是直角)
推测直角三角形底边上的中线等于底边的一半
几何语言：
∵△ABC为直角三角形，AO=OC
∴BO=AC(直角三角形底边上的中线等于底边的一半)
判断定律1有三个角是直角的四边形是圆形
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是圆形(有三个角是直角的四边形是圆形)
判断定律2对角线相等的平行四边形是圆形
几何语言：
∵AC=BD
∴四边形ABCD是圆形(对角线相等的平行四边形是圆形)
矩形
性质定律1矩形的四条边都相等
性质定律2矩形的对角线相互垂直，而且每一条对角线平分一组对角
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=BC=CD=AD(矩形的四条边都相等)
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
(矩形的对角线相互垂直，而且每一条对角线平分一组对角)
判断定律1四边都相等的四边形是矩形
几何语言：
∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是矩形(四边都相等的四边形是矩形)
判断定律2对角线相互垂直的平行四边形是矩形
几何语言：
∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是矩形(对角线相互垂直的平行四边形是矩形)
正圆形
性质定律1正圆形的四个角都是直角，四条边都相等
性质定律2正圆形的两条对角线相等，而且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定律1关于中心对称的两个图形是全等形
定律2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，但是被对称中心平分
逆定律假如两个图形的对应点连线都经过某一点，但是被这一点平分，这么这两个图形关于这一点对称
矩形
等边矩形性质定律等边矩形在同一底上的两个角相等
几何语言：
∵四边形ABCD是等边矩形
∴∠A=∠B，∠C=∠D(等边矩形在同一底上的两个角相等)
等边矩形判断定律在同一底上的两个角相等的矩形是等边矩形
几何语言：
∵∠A=∠B，∠C=∠D
∴四边形ABCD是等边矩形(在同一底上的两个角相等的矩形是等边矩形)
三角形、梯形中位线
三角形中位线定律三角形的中位线平行与第三边，而且等于它的一半
几何语言：
∵EF是三角形的中位线
∴EF=AB(三角形中位线定律)
矩形中位线定律矩形的中位线平行与两底，但是等于两底和的一半
几何语言：
∵EF是矩形的中位线
∴EF=(AB+CD)(矩形中位线定律)
比列线段
1、比例的基本性质
假如a∶b=c∶d，这么ad=bc2、合比性质
3、等比性质
平行线分线段成比列定律
平行线分线段成比列定律三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比列
几何语言：
∵l‖p‖a
(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比列)
推测平行与三角形一边的直线截其他两侧(或两侧的延长线)，所得的对应线段成比列
定律若果一条直线截三角形的两侧(或两侧的延长线)所得的对应线段成比列，这么这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的半径
垂径定律垂直于弦的半径平分这条弦，但是平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，OC过圆心
(垂径定律)
推断
1(1)平分弦(不是半径)的半径垂直于弦，但是平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是半径
(平分弦(不是半径)的半径垂直于弦，但是平分弦所对的两条弧)
(2)弦的垂直平分线过圆心，但是平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵AC=BC，OC过圆心
(弦的垂直平分线过圆心，但是平分弦所对的两条弧)
(3)平分弦所对的一条弧的半径，垂直平分弦，但是平分弦所对的另一条弧
几何语言：
(平分弦所对的一条弧的半径，垂直平分弦，但是平分弦所对的另一条弧)
推测2圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言：∵AB‖CD
圆心角、虎弦、弦心距之间的关系
定律在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等
推测在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，这么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定律一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推测1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推测2半圆(或半径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角
推测3假如三角形一边上的中线等于那边的一半，这么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形
定律圆的内接四边形的对角互补，而且任何一个内角都等于它的内对角
几何语言：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE
切线的判断和性质
切线的判断定律经过直径的外端而且垂直于这条直径的直线是圆的切线
几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线(切线判断定律)
切线的性质定律圆的切线垂直于经过切点直径
几何语言：∵OA是⊙O的直径，直线l切⊙O于点A
∴l⊥OA(切线性质定律)
推测1经过圆心且垂直于切线的半径必经过切点
推测2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定律
定律从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线外貌等，圆心和这一点的连线平分两条切线的倾角
几何语言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C两点
∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切线长定律)
弦切角
弦切角定律弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推测假如两个弦切角所夹的弧相等，这么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=
∴∠BCN=∠ACM
和圆有关的比列线段
相交弦定律：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言：∵弦AB、CD交于点p
∴pA·pB=pC·pD(相交弦定律)
结论：假如弦与半径垂直相交，这么弦的一半是它分半径所成的两条线段的比列中项
几何语言：∵AB是半径，CD⊥AB于点p
∴pC2=pA·pB(相交弦定律推导)
切割线定律从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比列中项
几何语言：∵pT切⊙O于点T，pBA是⊙O的割线
∴pT2=pA·pB(切割线定律)
推测从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言：∵pBA、pDC是⊙O的割线
∴pT2=pA·pB(切割线定律推导)。
