1、43第3章质心定轴转动和角动量守恒定理在前几章质点运动中，我们忽视了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动取代了整个物体的运动。并且在实际物体运动中，除了物体在大小和形状千差，但是运动又有平动和转动之别。这时我们须要另一个突出主要特点，忽略其次要诱因，既具有大小又具有形状的理想模型质心。在受力的作用时，其形状和容积都不发生任何变化的物体，称做质心。本章将介绍质心所遵照的热学规律，重点讨论质心的定轴转动这些简单的情况。因为质心转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相像，因而我们将质心转动与质点运动对比学习一会事半功倍。§3-1质心定轴转动1.质心运动的方式
2、刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。图3-1质心的平动平动的定义为，在质心在运动过程中，质心中任意两点的连线仍然平行。如图5-1所示。因为平动时质心内各点的运动情况都是一样的，因而描述质心平动只须要描写质心内一点的运动，也就是说质心的平动只要用其中一个点的运动就可以代表它整体的运动。图3-2质心定轴转动转动的定义为，质心运动时，质心中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为质心定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。质心的通常运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章早已研究过，本章我们主要研究定轴转动。2.质心的定
3、轴转动研究质心绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动平面。因为描述各质元运动的角量，如角位移、角速率和角加速度都是一样的，因而描述质心运动时用角量较为便捷。由于质心上各质元的直径不同，所以各质元的速率和加速度不相等。角速率和角加速度通常情况下是矢量，因为质心定轴转动时角速率和角加速度的方向沿转轴方向，因而可用带有“+、-”的标量表示角速率和角加速度。这些技巧我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用带有“+、-”的标量表示速率和加速度。角速率的大小为（3-1）它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由左手螺旋法则确定。角加速度为（3-2）它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由左手螺旋法则
4、确定。离转轴的距离为的质元的线速率和质心的角速率的关系为：（3-3）其加速度和质心的角加速度的关系为：（3-4）（3-5）§3-2质心的转动动能转动力矩1质心的转动动能质心绕定轴转动时，质心中各质元都绕定轴作圆周运动，因此都有动能，质心的转动动能等于质心中所有质元的动能之和如何证明角动量守恒定律，可表示为（3-6）式中，为质心对定轴的转动力矩，所以质心绕定轴转动的动能（3-6）即质心绕定轴转动的动能等于质心的转动力矩和角速率平方的乘积的一半。质点的动能：，质心转动的动能：；质心定轴转动的动能与质点的动能抒发方式相像，质心的转动力矩J是质心绕定轴转动的惯性大小的测度，其在定轴转动中的地位与平
5、动时质量m的地位相像，转动中的角速率与平动中的速率地位相像。2.质心的转动力矩从质心定轴转动的动能可知，质心的转动力矩J和质点的质量m相对应。质量m是物体平动惯性大小的量度，质量越大的，它的速率越不易改变。质心的转动力矩J是物体转动惯性大小的量度。转动力矩J越大的，它的角速率越不易改变。按照转动力矩的定义：转动力矩J等于质心上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。对于质点连续分布的质心，上述求和可以用定积分取代，即（3-7）式中，r为质心内任意质元dm到转轴的垂直距离。转动力矩的化学意义:质心对定轴的转动力矩等于质心中各质元的质量和它们各自离该轴的垂直距离的平方的乘积的总和，它的
6、大小除了与质心的总质量有关，并且和质量相对于轴的分别有关，其关系可概括如下1)形状、大小相同的均匀质心总质量越大，转动力矩越大；2)质心总质量相同，质量分布离轴越远，转动力矩越大；3)同一质心，转轴不同，质量分布就不同，因此转动力矩就不同。在国际单位制中，转动力矩的单位是千克·米2，符号为kg·m²。例3-1一根质量为m、长为l的均匀细棒，绕通过棒的中心(刚体)并与棒相垂直的转轴旋转，求细棒对转轴的转动力矩。解：将棒的中点取为座标原点，构建座标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx，其质量为由式有例3-2求质量为，直径为，长度极
7、薄的均匀圆环的转动力矩。轴与圆环平面垂直并通过其圆心，如图所示。解：按照转动力矩的定义式，又由于环上各质元到轴的垂直距离为R，且都相等，所以因为转动力矩是可叠加的，所以一个质量为，直径为的薄圆筒对其轴的转动力矩也是。例3-3求质量为，直径为，长度为l的均匀圆盘的转动力矩。轴与圆盘平面垂直并通过其圆心，如图所示。解：按照转动力矩的定义式，又由于圆盘可以觉得是由许多原环组成。取任一直径为，宽为的薄圆环，其转动力矩为，式中为薄圆环的质量，以表示圆盘的体密度，则，所以，故圆盘的转动力矩为表2-2常见质心的转动力矩3.平行轴定律图2-3平行轴定律平行轴定律常用于求转动力矩。可以证明，假如质心对过质
8、心C的轴的转动力矩为JC，则对另一与此轴平行的任意轴的转动力矩为(3-8)其中m为质心的质量，d为两平行轴之间的距离。这就是平行轴定律。由此可知，质心对通过刚体的轴的转动力矩JC最小，而对任何与过刚体的轴平行的轴的转动力矩J都小于JC。例3-4一根质量为m、l的均匀细棒，绕通过棒的一端并与棒相垂直的转轴在旋转，求细棒对转轴的转动力矩解法1(定义法)：将棒的中点取为座标原点，构建座标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx，其质量为由式有解法2(平行轴定律法)：将例题3-4看为例题5-1的转轴由刚体向外平移了，按照平行轴定律，则有借助平行轴定律除了可以便捷地估算转
9、动力矩，并且对研究滚动问题也是大有帮助的。§3-3质心定轴转动定理在解决质点的运动问题时，牛顿第二定理十分有效，这么，怎么解决质心的运动问题呢？1.力对定轴的扭矩日常生活经验告许我们，用同样大小的力推开门，当作用点紧靠门轴时，不容易把门打开；当作用点远离门轴时，门就容易推开；当力的作用线通过门轴或力的方向和门轴平行时，就不能把门推开。实践表明，为了改变质心原先的运动状态，必须对质心施加斥力。外力对质心转动的影响，除了与斥力的大小有关，并且与力的方向和作用点的位置有关，即要改变质心原先的运动状态就必须考虑斥力的大小、方向和作用点三要素。因此，我们引入扭力这一数学量。图3-5
10、力矩如图所示，设转轴O垂直于质心的转动平面，力和作用点的矢径都在平面内，力与矢径的倾角为，我们定义斥力对转轴的转矩为(3-9)扭矩的大小为(3-10)令，则d是转轴O与斥力线间的垂直距离，称为力臂。扭矩方向用左手螺旋法则确定：伸开双手，四指先指向矢径方向，沿大于180度转向斥力的方向，则手指所指方向就是转矩的方向。如图3-29所示。假若外力不在垂直转轴的平面内，可将分解为两个分力，一个分力在垂直于转轴的平面内，另一个分力与转轴平行，对质心的转动不起作用。当质心同时遭到几个转矩作用时，合扭矩等于各个转矩的代数和。在国际单位制中，扭矩的单位是牛顿米，符号为Nm。2.转动定理在研究质点运
11、动时，牛顿第二定理给出了合外力和加速度的关系。在研究质心的运动时，因为质心用各质点的合内力为0，在此不讨论合内转矩。质心在外扭矩的作用下作定轴转动，我们可以将质心界定为n个质元，每一质元的运动均应遵循牛顿运动定理，即对质元的扭力(3-11)此式表明质心做定轴转动时，质心对定轴的转动力矩与其角加速度的乘积等于质心所受外力的合外转矩，称为质心定轴转动定理。牛顿第二定理是解决质点运动问题的基本多项式，转动定理是解决质心定轴转动问题的基本多项式。假如质心所受的合外扭力为零，则由转动定理可知角加速度为零，即质心处于静止或匀角速转动状态。例3-5一个转动力矩为5kg·m2、直径为0.50m
12、的飞轮，正以角速率120rad/s的旋转现用闸瓦将其刹车，假如闸瓦对飞轮的正压力为1000N，闸瓦与飞轮之间的磨擦系数为0.60。求：1)从开始刹车到停止，飞轮转过的角度；2)闸瓦对飞轮施加的磨擦扭矩所作的功。解：1)为了求得飞轮从刹车到停止所转过的角度，必须先求得磨擦力、摩擦扭矩M和飞轮的角加速度。如图所示，飞轮的转轴垂直于纸面，角速率顺着转轴并指向读者，我们取角速率的方向为z轴正方向。磨擦力的大小等于磨擦系数与正压力的乘积，即磨擦力的方向如图所示。磨擦力对z轴扭矩M的方向与角速率方向相反，沿z轴的负方向，故需取负值，大小为依据转动定律，可知飞轮遭到磨擦扭矩作用时的角加速度
13、为负值，即对于匀变速转动，从开始刹车到停止，飞轮转过的角度可由求得，即例3-6一均匀细捧长L，如图所示悬挂。求将A端悬线割断顿时。细捧绕O的角加速度。解：设棒的质量为m。因为O点悬线张力通过O点。对O的转矩为零，所以在A点悬线割断顿时，棒所受的扭矩仅有重力转矩。对过O且垂直于纸面的转轴有M=mg·L/4以O为原点构建如图所示座标系，棒对过O且垂直于纸面的轴的转动力矩为§3-4质心转动的功和能1.扭矩的功我们早已晓得，假若质点在外力作用下沿力的方向位移则力对质点作功，且功可由斥力和质点在斥力下沿力的方向位移的乘积表示。质心转动过程中力作的功以转矩的方式表示
14、，扭力作功的情况与质点运动过程中外力作功的定义类似。质心在外力的作用下沿圆周轨道运动了，绕转轴角位移，从转轴到力的作用点的矢径为，则力的作用点的位移的大小为，因此有（3-12）将扭矩代入，因而有（3-13）即力对转动质心作的元功等于相应的转矩和该扭矩作用下所发生的角位移的乘积。则此转矩对质心做功为（3-14）上式称为转矩的功，扭矩所做的功，实质上仍是力所做的功。假如质心同时受几个力的作用，则扭力应理解为这几个力的合转矩。依据功率的定义，可得扭矩的功率为（3-15）扭力做功的功率等于扭矩和质心角速率的乘积，当扭矩与角速率同向时功率为正，反之为负。这儿的功的SI单位是焦耳（J），功率的S
15、I单位是瓦特（W），和质点热学中的一致。2.定轴转动的动能定律质点的动能定律是由牛顿第二定理导入的，相类似的是质心转动的动能定律将由转动定理导入，扭力对转动质心作的元功为在外扭矩作用下，角速率由弄成时，外扭矩对质心做的功为（3-16）此式称为质心定轴转动的动能定律。表明，质心绕定轴转动时如何证明角动量守恒定律，质心所受合外扭矩所做的功等于刚转动动能的增量。§3-5角动量角动量守恒定理在上面，我们曾用动量来描述质点运动状态，引入了动量定律和动量守恒定理，它们为解决质点运动带来好多便捷。在研究转动问题时，我们也可类似地引入角动量、角动量定律和角动量守恒定理，它们在解决转动问题时同样会给我们带来极大的
16、方便。1.质点的角动量定律质点的角动量守恒定理1)质点的角动量设一质量为m的质点P，它对O点的位置矢量为，并具有速率。质点P对O点的角动量(曾称为动量矩)为（3-17）质点P相对于参考点O的角动量等于质点的位置矢量与其动量的矢积。角动量是一个矢量，它的方向垂直于矢量和m组成的平面，两者的方向满足左手螺旋法则，即左手四指由经大于的角转向m时，手指的指向就是的方向。其大小为（3-18）式中为与m之间的倾角。质点的角动量与参考点O密切相关，因而在述说质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。当质点绕O点作圆周运动时，。因为，因而可以写成。由于质点作圆周运动时，其转动力矩，所以角动量又可
17、表示为此关系在转动中普遍适用，其实的方向垂直于平面，即与的方向相同。在国际单位制中，角动量L的单位是，其量纲为。2)质点的角动量定律我们仍然指出将质点运动与质心转动比较学习，在质点运动中，质点所受合外力与其动量的关系为，这么在质点转动中，其所受合外扭力与其角动量的关系怎么呢？角动量的定义为，对其两侧微分得因为，因而因为，所以因为，所以为此作用在一个质点上的合外扭矩等于该质点的角动量对时间的变化率，称为质点角动量定律。3)质点角动量守恒定理当成用于质点的合外扭力为零（）时，由角动量定律可以导入角动量守恒定理。当合外扭力为零时，J=恒量或（3-19）即当物体所受的合外
18、力矩为零时，物体的角动量J保持不变，这一推论称为角动量守恒定理。2.质心绕定轴转动的角动量定律和角动量守恒定理1)质心绕定轴转动的角动量定律质心以角速率绕z轴转动时，质心的各质元均绕z轴做圆周运动。设质量为的质元到轴的距离为，速率为，则质元对z轴角动量为。质心中所有质元的角动量之和称为质心对转轴的角动量，用表示，则(3-20)这样质心的转动定理也可表示为（3-21）此式为矢量式，表示当质心绕定轴转动时，作用在质心的合外扭矩等于质心绕该轴的角动量随时间的变化率，这是用角动量表示的转动定理，更具有普遍意义，虽然绕定轴转动物体的转动力矩J因内力发生变化时依然适用。这与牛顿第二定理的表达式比更
19、具有普遍意义是一样的。设有一转动力矩为J的质心绕定轴转动，在合外扭矩的作用下，由时间t1到t2的时间内，其角速率由变为,由式（2-99）可得(3-22)式中称为转矩对给定轴的冲量矩。转动物体遭到的冲量矩等于物体在这段时间顶角动量的增量，这一关系称为角动量定律。2)角动量守恒定理当成用于转动物体的合外扭力为零（）时，由角动量定律可以导入角动量守恒定理。当合外扭力为零时，J=恒量或（3-23）即当物体所受的合外扭力为零时，物体的角动量J保持不变，这一推论称为角动量守恒定理。角动量守恒定理与动量守恒定理和能量守恒定理一样，适用范围赶超牛顿定理。它们即适用于研究接近光速粒子的相对论，也适用于
20、研究亚原子的量子热学。3空间旋转对称性和角动量守恒定理角动量守恒定理的普遍性在于它和空间旋转对称性相关联。空间的旋转对称性亦称为空间各向同性，即空间所有方向对化学定理等价，没有哪一个方向比其他方向更优越。因为数学定理在所有方向上方式相同，任一给定实验的发展进程与该实验装置在空间的取向无关，所以空间的绝对方向是不可观测的。这就意味着，假若一个孤立系统在空间某个角位置具有角动L这么在另一个角位置也应具有相同的角动量L。否则这两个方向的数学定理将不相同。孤立系统的角动量保持不变，这就是角动量守恒定理。为了有助于从整体上系统的理解热学规律，我们把质点的运动规律和质心的定轴转动规律列为下表对比。通过对比
21、可以加深对质心定轴转动的理解，帮助记忆。表2-3质点的运动规律和质心的定轴转动规律对比质点的运动质心的定轴转动速率角速率加速度角加速度力扭矩质量m转动力矩I=运动定理转动定理动量、动能动量、动能角动量角动量动量定律角动量定律动量守恒，=恒量角动量守恒，=恒量动能定律动能定律例3-9如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于竖直位置。现有一质量为m2的炮弹，以水平速率v0射入细棒上端而不射出。求细棒和炮弹开始一起运动时的角速率？剖析：因为子弹射入细棒的时间极短，我们可以近似地觉得：在这一过程中，细棒一直静止于竖直位置
22、。因而，对于炮弹和细棒所组成的系统（也就是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的合外力（重力和轴的支持力等）对转轴O的扭矩都为零。按照角动量守恒定理，系统对于O轴的角动量守恒。解：依题意可设和分别为系统开始的速率和角速率，且已知炮弹和细棒对于转轴O的转动力矩分别为和,依据角动量守恒定理则有:当M=0时,所以解多项式,可得。*§3-6进动当陀螺不旋转时，因为受重扭力作用，它会翻倒在地。但当陀螺绕自身对称轴高速旋转时，虽然同样遭到重扭力的作用，却不会倒出来。陀螺一边自转一边绕竖直¢轴平缓转动，这些运动称为进动。我们用角动量定律来剖析陀螺进动的机理。陀螺所受重力
23、矩即因为，且与方向一致，因而重力的扭矩只改变角动量的方向而不改变其大小，则矢量的端点将绕竖直轴作圆周运动，直径是Lsin，此圆周运动的角速率就是陀螺旋进的角速率，即因则旋进运动在技术上有广泛应用。诸如在炮膛和枪管内壁刻上螺旋形来复线，使弹体射出后高速旋转。这样空气阻转矩就只能使弹体绕前进方向旋因而不造成其翻转。在民航和航海中常年用于导航的陀螺仪就是按照进动的原理设计的。当前，在航天、导弹、航空和航海中用于导航的为光纤陀螺仪。例4求质量m、半径R的圆环对半径的转动力矩(见图)。解：设圆环质量线密度为=m/2R在环上取质元dmdm=dl=Rddm到半径AB的距离r=Rsi
24、n圆环对半径的转动力矩例5求质量m、半径R的球壳对半径的转动力矩(见图)解：设球壳质量面密度为=m/4R2将球壳视为由许多环面与半径AB垂直的圆环组成。以这样的圆环为积分元，其质量为dm=dS=·2r·Rd环直径为r=Rsin球面对半径的转动力矩为例6求质量m、半径R的圆球对半径的转动力矩(见图10)。解：圆球的密度为将圆球视为由许多同心球壳组成。以直径为r，厚为dr的球壳为积分元，其质量为dm=dV=·4r2dr由例5的结果，dm对半径AB的转动力矩为圆球对半径的转动力矩为为在估算质心对定轴的转动力矩时还经常运用以下法则：例8两个匀质
25、圆盘，一大一小，同轴地黏结在一起，构成一个组合轮，小圆盘的直径为r，质量为m；大圆盘的直径r'2r，质量m'2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于大盘的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动力矩J9mr2/2。两圆盘边沿上分别绕有轻质细绳，细绳上端各悬挂质量为m的物体A和B如图14所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的宽度不变。已知r1010cm，求组合轮的角加速度。解：各物体受力情况如图14所示。对物体A、B分别应用牛顿第二定理，对车钩用转动定理有T-mg=mamg-T'=ma'T'·2r-Tr=9mr2/2又由角量和线量的关系a=ra'=2r从以上各色可以解出组合轮的角加速度43
