1.开普勒第一定理
上回说到，由天体运动的椭圆性质（即直接借助开普勒第一定理），我们可以由机械能守恒定理和角动量守恒定理推导入开普勒第二定理和第三定理，为了文章的简约性而跳过了第一定理。为了体系的完整性，接出来，我们来单独讲讲开普勒第一定理（前方公式预警(≧∇≦)/）
开普勒三定理（图片来始于网路）2.有心力及其势能
在谈开普勒第一定理前，我们先来看一个概念：有心力，这些力有一个特殊的性质：有心力的作用线仍然过一定点，也就是说，物体所受的有心力仍旧指向（或背离）空间中某个确定的点，这个定点我们称它为力心，常见的万有引力和点电荷间的互相作用就是具有这些性质的力。我们不妨令这个力的表达式为
，式中r为以力心为极点构建的极座标系下到场点的极径，我们规定：当F＞0时，其方向径向向外，当F＜0时，其方向径向向内指向力心，
分别为径向、横向的单位矢量。假如这些有心力的表达式挺好（好到哪些程度呢，它真的就只是r的单值函数，如k／r，kr一类的方式），我们完全可以定义一个有心力势能（可以证明，这类力场是保守力场，其场力对物体做的功和路径无关，即其旋度为零）
，类比重力势能，保守力做正功，物体势能降低，保守力做负功，物体势能降低，在距力心r～r＋dr的距离处，我们近似F（r）恒定，其在这个微小矢径变化过程中做的功为
，由此得到F（r）的大小：
，实际上，更通常性的表达式可以写成：
，即某点势能对空间的梯度负值即为该点上该物体所受的场力。这个事情再接出来的推论中也会用到。
既然我们要证天体的轨道是一个椭圆，这么因为椭圆是一个平面图形，接出来我们首先要证明受仅有心力的物体必然在一确定的平面上运动。若某有心力场内有一质点m，其矢径为r，
我们用牛顿定理给出F（r）的表达式：
，
，我们不难发觉它们具有相同的单位矢量项如何证明角动量守恒定律，因为个同向矢量叉积为零的特殊性质，我们对r和F进行矢量叉乘：
，即：
（为了凑出全微分，我们降低了第2项v*dr／dt，而dr／dt恰好是速率v的标准定义，故v*v＝0，这相当于第2项是“白送”给我们的）这就证明了
是某个常矢量
，即v和r一直在以h为一个法向量确定的平面内，既然平面的法向量不变，则平面的位置急剧确定。故前述命题得证。
3.比耐多项式
搞定了平面的问题，如今我们开始即将推论天体的轨迹多项式
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在力心－质点的体系下，我们由机械能守恒定理首先可以得到这样的表达式：
，式中E是质点的总机械能，（
代表变量对时间导数，其分别为径向速率和角速率），由守恒量
的定义，令：
，为了简化变量，我们对dr／dt项进行处理：
，将上式和守恒量h代入能量表达式如何证明角动量守恒定律，得到：
，接出来即是解出这个微分多项式的关键一步：我们注意到这个多项式的分母都含r＾4或r＾2，于是乎考虑换元，令
，则
，再代入上式：
，为了消掉常量E，我们对上多项式两侧对
求一阶行列式，有：
，注意到
，上式即：
，因为在通常情况下，甚少有
，故：
，此即有心力场中质点运动满足的轨迹微分多项式，又名比耐多项式
特殊地，我们将万有引力的表达式代入：
，式中G、M、h均为常量，这是一个和矢径和极角有关的二阶线性微分多项式，其通解和特解的组合即为其解：
，式中A、B均为积分常量。因为我们可以选取恰当的极轴使
时，
，故选取该极轴后可定出B＝0，即：
，令
，其多项式亦可写为
，不难发觉这是一个极座标下圆椎曲线的标准多项式，其中p为半弧长，e为离心律。因为r的极值分别在
和
处取到，故
，由能量表达式有如下的一元二次方程：
，上述等式的2个根即为
的2个极值，故由韦达定律：
，由前面2式得到天体运动的最终表达式：
，由此可知，天体的运动方式完全由年率条件E和h确定，当离心律
时，天体的运动轨迹是椭圆。其实啦，还有可能是抛物线、双曲线。
4.结语
里面我们早已通过比耐多项式和万有引力定理推导入了开普勒第一定理。事实上，在化学学史上却刚好相反：先是有了第谷的观测数据和开普勒的三大定理，后才有牛顿凭着他强悍的物理能力在现象中构建模型并推导入了万有引力的表达式。人类对宇宙的探求就是这样一个接力的过程，而在这个过程的后期，我们常常能够认清楚现象的数学学本质。化学学似乎会经历一短相对停滞的发展时期，但数学人的征途，永远是无边际、令人神往的星辰大海
我们的征途是星辰大海（图片来始于网路）
