原创郭洪英孙元平化学与工程
摘要
新中考模式下的选科与院校投档模式为学院数学教学带来了许多困难，怎样在困局中对中学生进行科学素质的培植是普通地方高校理工科教学面临的一大问题。本文从刚体的基本定义出发，根据解决问题技巧的由繁到简，为半方形均质薄片刚体的求解提供了六种解题技巧，兼具了对具有不同物理和数学基础的中学生进行发散性思维训练的方法。在此基础上，阐述了新中考模式下学院数学班主任在素养教育中应有的角色。
关键词均质薄片刚体；发散性思维训练；新中考
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新中考“3+3”模式下的选科模式与院校投档新政，使地方高校理工科专业新生的数学基础良莠不齐，造成了学院数学教学班中学生“学习难”和班主任“授课难”的困局。不仅数学基础不同，造成“两难”困境的诱因还在于学校和学院数学学习中所使用的物理手段的差别。小学数学用到的物理知识是初等物理原理，而学院数学则用到了高等物理中的矢量运算和微积分运算，二者相差甚远。目前，大一新生面临的困难之一就是怎样将高等物理微积分初步的内容和学院数学相关知识有机融合。好多学院生普遍反映单独的数学思想可懂，单独的物理微积分运算能会，但困难的是怎样按照化学思想进行物理建模并解决问题。
在学院数学课程中，连续体质心的估算是一个难点。该内容在小学数学中没有涉及，是大中数学知识相悖的一个典型案例，部份中学生对该部份内容把握欠佳。为了提高中学生对化学学习的兴趣，引导中学生开拓思路，强化学院数学和高中数学教学之间的联系，本文以连续体质心估算为例，具体说明怎样通过问题的多种方式求解来启发中学生进行自主思索，迸发学习能动性和积极性，进而提高学院生的科学素质培植。
1问题及学院数学的一般解法
怎么求解一个直径为R，质量为m的半方形均质薄片的刚体？这是一个二维尺度上的问题，通常教材上会依据刚体的定义，借助微积分的方式分别求出刚体在x轴和y轴上的位置，如方式1所示。
方式1：构建如图1所示的直角座标系。设薄片的刚体座标为C（xc，yc），其面密度为ρ，则薄片的质量为
。按照刚体的定义
为了估算简单，将直角座标积分变换为极座标积分，其中
在均质薄片上取微元如图1所示，其面积为dS（为极座标圆形），则该微元的质量为dm=ρdS=ρ·dr·rdα，故
所以，直径为R的半方形均质薄片刚体为
。
2其他解法
由方式1或质量分布的对称性可知，半方形均质薄片的刚体必定位于y轴某一位置，即xC=0。为此，以下几种关于刚体的估算方式都归结为求yC。
方式2：如图2所示，在均质薄片上选定圆形面元，其面积为dS，则该面元的质量为dm=ρdS=ρ·dx·dy，故
方式3：如图3所示，在薄片上取平行于x轴的面元dS大学物理实验知识点，则该面元的质量为
由刚体的定义可求出
方式4：如图4所示，在薄片上取圆心角为dθ的扇形面元dS，该面元的质量为
。该扇形面元的刚体y′C，可由在扇形面元上取径向厚度为dr的菱形面元求得，其质量为dm′=ρdS′=ρ·rdθ·dr
则该均质薄片的刚体可依照定义求出为
方式5：如图5所示，已知直径为r半圆环的刚体为
[1]。其中dm=ρdS=ρ·πr·dr，则按照刚体的定义可求出
方式6：借助巴普斯定律[3]。该定律的一种抒发方式提供了估算某特殊情况下物体容积的简单方式（另一种方式是拿来估算面积）：平面物体在空间运动所扫过的容积等于该平面面积与平面刚体经历路程的乘积，即V=∑Vi=S∑ΔZi，其中∑ΔZi为平面物体运动中刚体经历的路程，S为平面物体的面积。
借用该定律求容积的抒发方式，我们可以反过来求解平面物体的刚体位置。设均质薄片的刚体C坐落y轴上，其距圆心O的距离为yC，如图6所示。以半圆盘直边（即x轴）为轴旋转360°可得一圆球，容积为
；刚体在旋转过程中经历的路程为2πyC，半圆大盘积为
。依据巴普斯定律可写出等式
解得
。
3解法的比较及学院班主任的角色思索
一题多解在处理数学问题中很常见，比如转动力矩、功、电场硬度和磁感应硬度的估算等，正所谓“条条小路通罗马”。从后面的求解过程可以看出：前五种方式是按照刚体的定义，通过选定不同的基本质量元，来简化问题求解过程中的微积分估算；第六种方式直接抛弃了刚体定义法估算过程中的琐碎微积分运算，巧妙地借用了物理上求某种特殊情形下物体容积的方式，借助巴普斯定律间接求解平面物体的刚体，该方式通常作为小学数学大赛的拓展内容。
方式1和技巧2为学院数学课本上的常见解法：构建直角座标系或将直角座标系转换为极座标系，借助双重积分进行问题求解。其中方式1为学院数学课本上的常见解法：通过座标系的变换，借助极座标系和双重积分进行问题求解。按照刚体的定义，质量元在极座标系中抒发为dm=ρ·dr·rdα。该方式化学图象清晰，中学生可以利用高等物理教材上类似例题进行估算，理解上去比较轻松，但估算过程稍显繁杂。
方式2在直角座标系中选定了圆形面元，质量元抒发为dm=ρdS=ρ·dx·dy。这些方式符合中学生从中学获得的经验，有利于知识的衔接，而且估算过程始终涉及了双重积分。
方式3直接在直角座标系中借助对称性，将薄片沿平行于x轴方向分割成无数面元，将质量元抒发为
。该方式将刚体的估算转换成单重积分，简化了估算过程。
技巧4考虑了圆的基本分割单元的借助，将面元取为扇形，把质量元抒发为
。但这些技巧须要先求出面元的刚体位置y′C，须要继续在扇形面元上取一个圆形面元。其实该方式思路比较简约，且两次估算均只用到了单重积分，但估算过程仍显冗长。
方式5对上一种方式进行了简化，直接借助课本上半圆环的刚体推论，选定任意直径半圆环为面元，将质量元抒发为dm=ρ·πr·dr。该方式进一步简化了物理估算过程，将数学思想呈现的愈发明朗，推进了对力偶概念的理解。
方式6规避了高等物理的微积分，依据巴普斯定律，直接借助初等物理求解。估算过程简约，方法性更强，虽然是没有学过低等物理的学生也能轻松把握。巴普斯定律一般是被作为小学数学大赛须要把握的内容，但该方式对于没出席中学数学大赛的学院生来说，一直很简单。用此解法处理问题，可起到拓展知识面的作用。
本文给出的关于半方形均质薄片刚体的六种解法，每种方式都有其优点。只要认真思索，虽然中学生的物理与化学基础不同，也能得到确切的解答并可悟出：不同方式的选定能影响到解决问题的难易程度——这种多角度发散思维的训练正是学院素养教育的核心之一。中学的应试教育一般使学生只是被动地接受班主任的观点，缺乏主动的思索能力；加上学院化学课程的讲课进度一般很快，中学生的自主思维能力一般会遭到一定的限制。学院化学课程是一门挺好的提高中学生科学素质的通识课，只要用心去观察、思考，看似琐碎纷扰的问题，总能理出头绪。通常来说，化学思维倾向于问题的最简解法，但班主任不应只是为中学生提供这些最简思维，而应当对中学生如何获得这些思维进行合适的引导。在讲课过程中，班主任须要依照中学生的基础和理解程度，适当地引导中学生从多角度剖析思索问题，培养中学生发散思维和独立思索的能力，率领她们找寻解决问题的最简方式。因而，在学院素养教育过程中，班主任不但要成为课程的组织者、讲授者[4]，但是应当成为课程的研究者[5]和引导者。
4结语
目前大学物理实验知识点，普通院校理工科专业入学新生的化学基础差异较大，为了做好对中学生发散性思维能力的培养训练，学院化学的任课班主任应当认真研究教材，深入研究讲课内容，立足中学生早已把握的知识（如小学数学、高等物理知识等），对课程的各主要知识点从多角度来进行思索并打算讲课学案；在中心内容述说清楚的基础上，兼具考虑不同基础中学生的思维方法，多角度对中学生进行知识理解能力的启发与培植，引导中学生逐渐完善科学的思维方式，努力做好教育引导者的角色。一个好的学院数学班主任，应当通过两个学期的学院化学课程教学，引导中学生脱离中学的思维模式，把握科学研究、创新、实践所须要的化学思维，使学院教育真正成为素养教育。
参考文献
[1]张三慧.学院基础数学学下册[M].6版.上海:北大学院出版社,2017:60.
[2]芬尼.托马斯微积分[M].10版.叶其孝,王耀东,唐兢,译.上海:高等教育出版社,2003.
[3]程稼夫.学校数学奥林匹克大赛数学教程——力学篇[M].2版.四川:中国科技学院出版社,2014.
[4]余文森.论学院课堂教学的三个“应然”[J].中国学院教学,2018(4):43-47+65.
YUWS.onthethree“be”in[J].China,2018(4):43-47+65.(in)
[5]周雨青.球壳刚体位置的另一种解法——兼谈研究性教学的元素选择[J].化学与工程,2020,30(4):20-22.
ZHOUYQ.totheoftheshell'sofmass—theofof[J].and,2020,30(4):20-22.(in)
基金项目:长春学院教学变革研究项目（编号：)。
作者简介:郭洪英，女，徐州学院副院长，主要从事学院化学教学工作，研究方向为半导体材料的光电性质，。
引文格式:郭洪英,孙元平.半方形均质薄片刚体估算的六种解法——兼谈学院数学班主任的"引导者"角色[J].化学与工程,2022,32(1):116-119.
Citethis:GUOHY,SUNYP.Sixforofsheet—Ontheroleofas[J].and,2022,32(1):116-119.(in)
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