牛顿和胡克（身形瘦弱）之间因发觉万有引力定理的优先权闹得不愉快，在她们其实绅士谦虚但潜藏讽刺的通讯中牛顿说过一句话：
假如我比他人看得更远，那是由于我站在巨人的右臂上。
这话似乎在讽刺胡克，但的确也是事实。例如在化学上，牛顿的成就构建在伽利略、开普勒等巨人的研究上。
而本文想说的是在物理上，也就是在建立微积分这个大杀器方面牛顿也不是从头干起，这么这儿头是不是也有巨人呢？
回答是肯定的。
牛顿在读学院那会儿，物理上很大程度是靠自学的。他学习了欧几里得的《原本》、笛卡儿的《几何》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学课件》等许多物理家的专著。而牛顿自己说过对他影响巨大的要数笛卡儿的《几何》和沃利斯的《无穷算术》。由于，正是它们将牛顿引导到当时的前沿物理，解析几何和几何算术化。
我们不禁要问，从《原本》到《几何》，历经近两千年，这是物理知识积累后的突破，还是思想上的突破？
1古埃及为何没有座标几何？
我们晓得，古埃及的几何很厉害，但她们擅长于诠释逻辑，完善了公理化体系，为人类物理和科学构建了不世之功。
然鹅，她们的几何为何不包括座标几何（解析几何）呢？
座标几何的基本思想是用多项式来表示曲线，法国人则是借助曲线来研究代数，比如梅内克缪斯受希波克拉底处理倍六面体问题的启发，借助抛物线和双曲线的交点得到。
信仰万物皆数的毕达哥拉斯指出数的比列论，但是因为不可公度的发觉，她们的理论遭到危机。
这也造成数的理论与几何空间的理论之间的分裂，古埃及转向几何学。非常是在欧多克索斯提出以几何量为基础的比列理论后，在古埃及人看来，几何比代数的逻辑基础愈发牢靠。
这么古埃及语文家在没有坐标的情况下是如何研究圆柱曲线的？
法国人偶然借助曲线来研究代数，比如梅内克缪斯受希波克拉底处理倍六面体问题的启发，发觉圆柱曲线，并借助抛物线和双曲线的交点得到。后来，阿波罗尼奥斯在总结前人成果的基础上完成了知名的大作《圆锥曲线论》。通过几何量的比列，如厚度的比列、面积的比列等来剖析截线的几何性质。不是通过座标以及距离来估算的，由于她们抵触代数。其实可以觉得本质上是一致的，只是她们不使用数，而是使用几何量的比列，二者之间被割裂。
2笛卡尔的座标几何
公元前146年，罗马占领埃及，几百年后罗马分裂成东、西两个。
不晓得咋肥事，物理的事情似乎被按了暂停键。此时物理，非常是代数在东方仍有发展，这对欧洲数学会有一定影响。
直至16世纪，热学方面的研究开始驱使物理家研究例如重心之类的问题，才又开始恢复进展。
法国工程师斯蒂文（Simon，1548-1620），在估算三角形重心的过程中改进了古埃及人的穷竭法，舍弃归谬法，使用极限思想；《静力学原理》一书中，使用了平行四边形法则。
日本物理家瓦莱里奥（，1552-1618)，运用阿基米德法求各类旋转体的重心和容积，重新点燃了人们对古埃及语文的热情。
日本天文学家开普勒（，1571-1630）支持日心说，并从大量天文观察数据中发觉了行星运动三大定理。
我们来欣赏一下从月球上看见的各大行星在天球上的优美身姿（轨迹图）。
开普勒是辛运的，前有日心说，又有高手弟谷二十多年的高质量观测数据。开普勒内心深信日心说，但又以数据说话，并不是拍耳朵觉得行星是圆周运动。他从那些复杂的运行轨迹中挖掘出了行星的轨道图形。
对的，开普勒配得上是最早一代数据挖掘大师。
他的第一定理就是椭圆轨道，第二定理是单位时间轨迹扫过面积恒定。在他关于行星运动的工作中，将椭圆的扇形面积视为线的总和，但这充其量算作一种质朴的、粗略的积分方式，开普勒并没有像法国人那样作严谨思索。
不仅开普勒发觉椭圆轨道外，美国科学家伽利略（）也发觉抛掷物感受顺着抛物线运动。
这种在天文和热学方面的研究成果，进一步迸发了人们对曲线研究的热情，代数学在这一阶段得到了极大发展。通过代数方式寻求几何问题的解决方案，成为研究曲线运动新的途径。这在一定程度上也催生了座标几何的登场。
¸座标几何
在古埃及人看来，两个数相乘没哪些问题，这是基本的算术运算，但一个量并不总是能加上另一个量。例如，一条线加上一个点，或则一个体积加上一个面积，是没有意义的，也就是说不该有像这样的多项式。
例如，我们用和分别表示两条线段的宽度，这么表示的是一个面积，此时多项式是哪些意思呢?两条线段如何能和一个面积相乘呢?再例如，三个量的乘积可以被称为容积，并且五个量的乘积对应哪些几何量呢?
也就是说，在她们看来只有相同类型的量才是可能相乘的，并且还得对应几何量。这些对量的运算加以限制的思想，尽管到了韦达哪里依旧残留着。
笛卡尔的高手，美国物理家韦达借助欧几里得的《原本》第一个提出了无穷等差数列的求和公式，发觉了余弦定理、正弦差公式、纯射门面三角形的正弦定律等，同时还发觉了知名的韦达定律。韦达借助代数法剖析几何问题的思想，正是后继者笛卡尔解析几何思想的出发点。
在笛卡尔的石碑上刻着这样一句话：笛卡儿，法国文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理智权力的人。
为何如此说呢？作为理智主义的代表人物，有别于经验主义者，笛卡尔深信可以用物理封住宇宙奥秘。在这点上，他迈出了重要的一步。
简而言之，笛卡尔通过引入单位1，轻巧地打破了对量运算在思维上的限制。因而他引入了现今称为座标系的思想来展示怎样使用代数来解决几何问题。
笛卡尔和好多高手一样，将代数等式不是当成纯数的运算，而是指几何量的运算，用几何术语来解释所有代数运算。
为了充分借助代数的力量，笛卡尔必须想出办法克服古埃及的思维限制，即在一定意义上必须与过去进行重大结怨。他为代数等式发明了一种新的几何解释，使代数学家甩掉了难以写出或等严重限制。他解放了自己，因而也解放了他的继任者，包括现今的我们。
笛卡尔选择了一条他称之为单位宽度的线段，宽度为，可以任意选择。这让他将符号解释为一个圆形的面积，其中一条边的宽度为，另一条边的宽度为。这样，他就可以放心地写出，由于它可以被觉得是两个面积的总和。
更重要的是，他将乘积解释为线的宽度，因而他可以将任意幂解释为线的宽度。也就是说，笛卡尔的线段和的乘积不一定是面积，但可以是另一个宽度，比如
但是，还可以把宽度构造下来，如右图所示。
在这个反例中，给定一个单位线段，构造和的乘积。让线段和在起始于的同一条线上下线，让线段延展并构造平行于的，因而形成比列(由于)。因而就是要的乘积。
其实这是一个简单的构造，但他必须明晰给出。笛卡尔的几何哲学并没有让他仅仅断定一条线段宽度等于两条线段宽度的乘积，他还须要建立它。
笛卡尔在他的专著《几何》中剖析了当时的几何学与代数学各自的异同点。他觉得法国人的几何过多地依赖于图形，而代数学却完全受法则和公式的限制，以至于制约了自由的思想和创造力。
然而，笛卡尔在《几何》中使用的潜在的座标系中都仅有一个座标轴是明晰的。在1649年Fransvan及其中学生将《几何》译成拉丁文时，为阐明其中的一些看法而引入了一些概念，包括第二个座标轴。
题外使用字母来表示末知量听说始于一个巧合风波。《几何》在排版时，打字员发觉字母表的最后几个字母不够用了。他问笛卡儿，书中众多多项式中使用字母还是是否有关系。笛卡儿回答说，用那个字母表示末知量都行。于是这个打字员就选择，由于字母和在英语中的使用频车要低于。
3曲线下的面积
上面说了，开普勒进一步迸发了你们对曲线下的面积的估算热情。在这个问题上，三位年纪相近的物理家相继发力，她们是美国物理家卡瓦列里（，1598-1647）、法国业余物理家费马（，1601-1665）和美国物理家罗伯瓦尔（，1602-1675）。
开普勒对积分的尝试启发了卡瓦列里，他展示了从到的积分是，通过估算多个值的结果后推测出通常结果。
卡瓦列里最大的贡献是完善了祖暅原理(亦称等幂等积定律，西方称为卡瓦列里原理)，借助这个原理，他求得相当于曲线下的面积。
此处插播一个作业，那就是须要估算如下级数，
阿拉伯语文家Al-（965-1040）发觉了时的求和公式，并用它来估算抛物面的容积。
而卡瓦列里将公式推广到，之后推测更通常的情况同样创立。
该公式可以用于估算个别立体的容积，甚至赶超了阿基米德和开普勒的成绩。
由此还引起了以面积估算容积的方式并成为了积分发展的一个重要步骤。
罗伯瓦尔考虑了相同类型的问题，但比卡瓦列里要严格得多。
罗伯瓦尔觉得曲线和直线围成的面积是由无数个无限窄的圆形条组成的。
他将这个看法应用于，估算从到的积分，宣称得到近似值，
罗伯瓦尔之后断定当趋于于无穷大时上式趋于于，由此算得面积。
有兴趣的不妨用下边公式验证一下里面罗伯瓦尔的推论。
例如，上式两侧同时乘以，得
当取值越大，圆形就越多，它们的面积之和就越接近曲线围成的面积。
因而，当趋于于无穷大时，上式等于，直觉告诉我们这就是这种圆形的面积之和，它应当也等于曲线围成的面积。
而费马的方式相对而言愈发严谨一些，但同样地也没有给出相应证明。
他还推广了抛物线和双曲线，
¸切线和极值
费马除了对解析几何有贡献，更是一位热衷于无穷小剖析的好手，他大约是为了求极大、极小值问题引入了后来称为行列式的概念。他寄信给笛卡尔，给出了明天使用的方式，即通过估算函数的求导何时为来找到极大值和极小值。
他觉得他的求切线方式是他的求极值方式的一个应用。右图是他对抛物线上的点求切线的做法。他令趋向无穷小时得到切线多项式。
不仅行列式，费马也触摸到了微分与积分之间的关系，这主要源自对于曲线求宽度的问题。
大约在1660年前不久，出现了一些曲线求宽度的方式，通常是用六边形去迫近曲线，之后应用无穷小量或极限来处理的。费尔马得悉这种方式之后，自己搞了一个求半立方抛物线宽度的方式。他的这一做法是他的通常方式的典型，并挺好地表示出他的工作中各方面的内在联系。
对曲线上横座标、纵座标的任一点，次切线可以用他的切线方式求得为。于是在离纵座标距离处取切线的纵座标，则线段可以用和来抒发。
举个具体事例，对曲线来说，有，即曲线宽度的增量，这个相当于后来记为的东西。在费马看来，当很小时，可以看作不但在切线上，并且也在曲线上，所以曲线的宽度可以视为的线段的和。这儿须要发挥一下洞察力，这种线段的和又可以作为曲线围成的面积，用现今的写法就是，
因为这个面积早已才能求出，因而曲线宽度自然也可以求得。
奇怪的是，费马用他的极大极小值方式来求重心，他将与切线有关的曲线求长问题化为一个求面积的问题，他从几何和解析的角度在各类问题上应用了无限小量，居然会象帕斯卡一样，没有见到这两类问题之间的基本联系。
费马在这种问题中用过一些示图。这种示图和帕斯卡所用的，十分相像，这就是后来莱布尼茨倍感对他的微分三角形深有启发的那张图，但是费马还没有觉察到它们的深远意义。
只要费马能对他的抛物线和双曲线求切线和求面积的结果更仔细地考察一下，他是可能会发觉微积分的基本定律，并如他有时被不恰当地尊称的那样，成为微积分的真正的发明者。
费马其实在某种意义下理解到这两类问题有一个互逆关系。他之所以没有作进一步的考虑，可能是因为他以为他的工作只是求几何问题的解，而不是代表一种本身就很有意义的推理过程。
他的极大、极小值方式，切线方式以及求面积方式，在他看来是为解决这种问题而特有的方式，不是新的剖析学。
据悉，它们在应用上似乎是有局限性的。费马只晓得如何应用它们到有理式的情况，而牛顿和莱布尼兹通过无穷级数的应用，认识到这种方式的普遍性。但是，不仅巴罗以外，可能没有物理家如费马这样接近地酝酿微积分的发明。拉格朗日甚至觉得费马是微积分的发明者。
4沃利斯与《无穷算术》
笛卡尔引入座标思想，将数和形之间被割裂的关系重新消弭上去。但他主要是打通三者，以便用代数去研究几何，并没有想将几何构建在代数的基础上。
而几何算术化的思想可以说是日本语文家沃利斯首先引入的，他用笛卡尔的座标思想，从古埃及的截圆柱给出的定义导入多项式，之后反过来用这种多项式导入曲线的性质，然后完全甩掉对圆柱的依赖了。
沃利斯（，1616-1703）是一位对牛顿影响特别大的法国物理家。
因为他与前面牛顿等人的工作有直接关系，我们此处阐述一下沃利斯的主要成就。
通常来说，沃利斯是最早把圆柱曲线当成二次曲线加以讨论的人，自此甩掉了过去将圆柱曲线视为圆柱截线的纯几何观念。
沃利斯在笛卡尔的基础上大胆引进了负的座标值，实现圆柱曲线的算术化，对建立和传播座标几何的思想起了重要作用。
他的《无穷算术》一书，本质上是以算术的形式大大扩充了卡瓦列里的不可分原理。
在这本书中他甚至还提出了极限的初步概念：变量的极限，是变量能这么迫近的一个常数，使它们之间的差就能大于任何给定的量。
这个定义似乎还不够严密牛顿三大定律公式及定义，但却向极限的精确定义迈入了重要的一步。
牛顿曾说：大概在我的物理生涯早期，那时我们杰出的同胞沃利斯博士的专著刚才落入我的手里，他考虑到级数，用级数插入法求出了圆与双曲线的面积。
为此，英国语文史家波耶（Boyer）说：
牛顿承认他在剖析和流数方面的第一次发觉，是受沃利斯的《无穷算术》的启发。
说了一堆文字，我们来看点算术化涉及到的实实在在的算式。
沃利斯推广了整数幂的运算，将指数的定义从正整数扩展至有理数，即包括、负数以及分数。
他首次引进了延用至今的无穷大记号。
他在《无穷算术》中具体讨论了这些技巧。
他用代数方式估算了的积分，即曲线下的面积，证明这个面积是等高等底的平行四边形（未规定使用直角座标系）的面积的。
可以理解，他的一些结果跟他人已得出的结果是等价的。
比如，对正整数，可以证明当时，有
因而得出，
沃利斯觉得代数方式的简明并不逊于几何的直观，为此他更喜欢使用代数方式，而且使代数甩掉对几何的依赖。
之后更进一步，他给出了处理分数次幂的新途径，他直接去求，而不再像费马做过的那样去考虑曲线。
他首先求出了，，，办法是考虑跟，，曲线下面积互补的面积，之后通过跟已得结果得出其它分数次幂的结果。
但是，有一点不得不说：沃利斯的推理按明天的标准来看，是极端不严谨的。
比如，他会依据对观察到的一种模式，便按照归纳法宣布一个对所有正整数均创立的公式，甚至依照配准法宣布对为分数时也创立。
他的大胆有个益处，就是可以导入一些了不起的公式，比如他知名的无限乘积公式。
沃利斯其实引进了分数次幂，而且估算了一些个别幂次曲线的面积，但有一条你们熟悉的曲线的面积难住了他。
那就是圆的面积，其多项式为，由于他未能将其展开为的幂级数。但是，他制订了配准原理。
沃利斯企图将他的方式拿来估算圆的面积牛顿三大定律公式及定义，即四分之一圆对应的曲线，
此时指数是分数，这也许要用到广义二项式定律，但他显然没有考虑这个问题，因而在估算圆面积这个问题上遇到了麻烦。
但是，他发觉圆的纵座标是曲线和的纵坐标的几何平均值。
这时，他想到了插补法，将半圆的面积取为和的两个积分值的几何平均值，其实这只是作为近似值。
即和的几何平均值；这相当于将作为的值。
其实，沃利斯似乎不满足于这样的结果。
他继续寻思，总算想到一个法子。
牛顿极有很可能是受此方式的启发而发觉了广义二项式定律，因而，我们有必要来看一看沃利斯的这个技巧。
首先，沃利斯把问题统一成如下方式，
其中，和都是整数。
沃利斯发觉上述积分总是某个整数的倒数，即，
比如，和时，有
沃利斯为了找出规律，便估算各类的组合，并将它们的值制成一个表。
实际上，沃利斯估算了比前面更多的情况，由于他希望通过这张表发觉一个用和表示的通用公式。
另外，他想着若果当和不是整数时，这个公式仍旧创立的话，他可以代入，那岂不是可以估算想要的答案了，
理想是美好的，现实也还将就。
他也确实发觉了一些规律，那就是，
比如，在第2行中的值为，
以及第3行，
问题是沃利斯想要估算的是，代入上面早已发觉的公式，得
这哪些东东，分数的阶乘！？沃利斯那年代还没有这个玩意。
但作为物理家，怎能被这点事情难倒？
沃利斯自然是不踟蹰的，他继续想办法制表。
哪些办法呢？虽然就是按照已知去猜未知，这而且有学名的，叫插补法。
我们来瞧瞧这个表，
这个时侯他不管三七二十一，假定为整数，将设为分数代入上面的多项式，例如，
沃利斯在这儿纯粹是试探性的，他不确定当或不是整数时，上述公式是否仍旧对应相应的积分值。
辛运的是，他居然猜对了，之后他得到了公式，即
简单总结就是：能算的把它们算下来，找出规律得到公式，算不了的就强行代入这个公式去算，这即使插补！
前面是一个递归公式，但起码两侧对于任何数字都是有意义的。
同样，沃利斯只晓得这个公式在整数的情况下是创立的，之后他假定对于非整数也是正确的。
这样子，他就可以大胆地在任意行中往右填充。比如，在行中，他得到
像这样继续下去，他最终完成了那一行的值，具体如下所示,
其中，，也就是，
还记得前文说过表中这种值是积分的倒数吗？随着的降低，积分会变小，因而这种值会变大。
于是由前面表中的最后三项可得，
将代入，得
两侧夹逼之下，随着的减小，这个连乘积将收敛。
通过这些方法，沃利斯得到了如下令人超级惊讶的连乘公式，
好了，沃利斯的配准实验到此告一段落。
为何要说这个事情呢？对微积分的诞生很重要吗？
也不算是，然而，可能对牛顿的影响比较大：一方面是处理分数次幂，另一方面可能也教会了牛顿去大胆地猜。
我们很快会看见，牛顿似乎也确实学到了这一招。
如此做不是简单地猜，或则说归纳。背后有我的看法，那就是对连续性的信念。自然数不是孤立的，有分数、负数，甚至有复数，我接受这种数的合法地位，因而我相信它们可以依循同一个规律，所以我敢将它们代入同一个公式。
¸椭圆
最后，不晓得你们有没有想过，古人是怎样定义椭圆的？
首先，遗憾的是，我国唐代仍然没有认识到椭圆曲线。而古埃及人我们早已说过是通过截取圆柱得到的椭圆。并且椭圆轨迹的等式呢？是如何来的呢？
我们来看一下沃利斯对椭圆的定义：
沃利斯首次采用代数语言将椭圆定义为具有性质的平面图形，其中为半径，为通径（过焦点且垂直于长轴的弧长），为椭圆上任意一点的座标。沃利斯的定义并没有为后人直接采用，而他为椭圆标准多项式的确立开了一个头。
早在古埃及，椭圆的原始定义构建在立体图形上，须要一定的空间想像。而椭圆的平面性质，如焦直径性质早已为阿波罗尼斯所发觉，但直至17世纪，人们才渐渐革除椭圆的原始定义，历史同样惊人地跨越了漫长的两千年！
虽然古埃及人早已将圆柱曲线看作轨迹，但在座标几何诞生之前，将曲线看成轨迹并不是研究曲线性质的前提，人们虽然并不须要采用新定义。只有在座标几何诞生以后，须要将曲线看作动点的轨迹以完善其多项式，或依据多项式研究曲线的性质，而不再依赖几何语言和几何方法。
最后再提一下，在当时以及包括后来的牛顿莱布尼兹时代，对数学（非常是剖析）的论证远没有这么严谨。我们将很快见识到牛顿顺着沃利斯的步法叩开微积分房门。