贡献者：addis
预备知识圆周运动，库仑力
图1：玻尔原子模型
玻尔原子模型（BohrModel）（）是量子热学发展的初期被提出的一种解释类氢原子波谱的模型。该模型中，我们假定原子核具有$Z$个正电荷。对于氢原子${H}$有$Z=1$，氦离子${He}^+$有$Z=2$，锂离子${Li}^{++}$有$Z=3$等等。
因为原子核质量远小于电子，我们先假定原子核固定不动，若要考虑原子核运动使用相对座标和约化质量$mu$取代电子质量$m$即可（）。惟一的核外电子根据牛顿热学和库仑定理运动，再人为地加上一个条件（量子化条件）使电子的轨道角动量只能取一些特定的（离散的）值。这样，轨道的直径也只能取离散的值，每位直径$r_n$对应一个机械能（动能加势能）$E_n$，我们把这种能量称作基态。假若电子从一条能量较高的轨道跃迁到另一条能量较低的轨道，这么一个光子将被形成，带走两个轨道的能量差。反之，假如正好有一个入射光子的能量是两条轨道机械能之差，那这个光子就可以被低能量轨道的电子吸收，使其跃迁到高能量轨道。
尽管这个模型成功地解释了氢原子各个基态的能量以及氢原子波谱，但它却并不是完全根据量子热学的的方式来估算的。根据（现代的）量子热学，电子须要用波函数描述，波函数由薛定谔多项式估算得到，所以不具有精典热学中“轨道”的概念。
按照玻尔模型，氢原子的各个基态的能量为
begin{}E_n=-frac{me^4}{32pi^2^2hbar^2}frac{Z^2}{n^2}-13.6,{eV}frac{Z^2}{n^2}qquad(n=1,2,dots)~.end{}
该式称作玻尔能量公式（Bohr），由此可见$n$越大，基态越高。我们把$n=1$的状态称作能级，其他状态称作迸发态。公式中的常数因子（$13.6,{eV}$）称作里德堡能量（），也就是玻尔模型中的能级能量。
各基态的轨道直径如下。特殊地，我们把氢原子能级（$Z=1$，$n=1$）的电子轨道的直径称作玻尔直径（Bohr），记为$a_0$。
begin{}r_n=a_0frac{n^2}{Z}qquad(n=1,2,dots)~,end{}
begin{}a_0=frac{4pi\hbar^2}{m_ee^2}5.292times10^{-11},{m}~.end{}
1.基态公式推论
所有原子或离子中最简单的一类叫类氢原子原子模型，类氢原子只有一个核外电子，以及一个带$Z$个元电荷的原子核。以下的估算假定两者为质点和点电荷，原子核不动，电子绕原子核做圆周运动。运用精典热学和库仑力公式，可求出电子在不同直径下做圆周运动的能量。库仑定理与牛顿定理（圆周运动）分别为
begin{}F=frac{1}{4pi}frac{(Ze)e}{r^2}~,=ma=mfrac{v^2}{r}~.end{}
解得电子速率平方为
begin{}v^2=frac{e^2Z}{4pimr}~.end{}
动能与势能分别为
begin{}E_K=mv^2=frac{1}{8pi}frac{Ze^2}{r}~,=-frac{1}{4pi}frac{Ze^2}{r}=-2E_k~.end{}
总能量为
begin{}E=E_K+E_P=-frac{Ze^2}{8pir}~.end{}
到此为止，我们还没有用到量子热学。但是这样的模型与真实的类氢原子相比有两个致命的缺陷：第一，按照电动热学，圆周运动的电子会向外幅射电磁波，能量降低，最终堕入原子核;第二，该模型容许氢原子的能量具有连续值（由于$r$可连续变化），而实验中氢原子只能放出特定能量的光子，说明只能取特定的能量，即存在离散的基态，我们把基态由低到高记为$E$$(n=1,2,3dots)$。
以上矛盾说明微观世界的粒子不遵循精典热学和电磁学。玻尔为了解释实验，在精典热学和电磁学上加入了一个条件：角动量量子化。
以原子核为原点，电子轨道平面的法向量为$z$轴，因为电子的位矢${{r}}$与动量${{p}}$一直垂直，电子的角动量为
begin{}{{L}}={{r}}\times{{p}}=mvrhat{{{z}}}~,end{}
玻尔引入的角动量量子化条件为
begin{}L=mvr=nhbar~,end{}
其中$n$可以取任意正整数，$hbar$为约化普朗克常量
begin{}hbar=frac{h}{2pi}~,end{}
该条件也可以等效理解为串扰条件，即容许的方形轨道宽度是德布罗意波长的整数倍。
begin{}2pir=frac{h}{mv}n~.end{}
注意与等效。把代入了该条件，解得可能的轨道直径为。注意轨道与$n^2$成反比，和$Z$成正比。
将$r_n$（）代入，得到基态表达式为
begin{}E_n=-frac{mZ^2e^4}{32pi^2^2hbar^2}frac{1}{n^2}-13.6,{eV}frac{Z^2}{n^2}~.end{}
对氢原子原子模型，有$Z=1$，最低的基态为$n=1$，所以氢原子能级的基态$E_0$约为$-13.6,{eV}$。这是一个知名的常数（若使用原子单位，这个值正好是$-1/2$）。
将$r_n$代入还可以得到电子速率为
begin{}v_n=frac{Ze^2}{4pi\hbar}frac{1}{n}~.end{}
2.玻尔原子模型的局限性
从可以看出，玻尔原子模型中角动量和基态是一一对应的。而事实上现代的理论和实验告诉我们氢原子的每位基态都具有许多不同的角动量量子态，对给定的$n$，角动量有$n$个不同的值，使用量子数$l$来分辨那些态，对应的轨道角动量大小为
begin{}L=sqrt{l(l+1)}hbarqquad(l=0,dots,n-1)~.end{}
其次，玻尔模型觉得角动量矢量${{L}}$的方向可以是任意的，也就是对某个给定基态的许多取向随机的氢原子检测某个给定方向的角动量份量可以得到连续的值，但事实上只能得到$2l+1$个分立的值：
begin{}L_z=mhbarqquad(m=-l,dots,l)~.end{}
所以算出来每位基态$n$共有$1+3+dots+[2(n-1)+1]=n^2$个不同的角动量状态（包括大小和取向）。这是玻尔模型完全没法解释的。
也可以用精细结构常数记为
begin{}E_n=frac{alpha^2}{2}mc^2frac{Z^2}{n^2}~.end{}
