电动机是怎样将电能转化为机械能的？发电机又是怎样将机械能转化成电能的？8月19日12时，《张朝阳的数学课》第七十九期播出，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐阵搜狐视频直播间，先带着网友备考了静电磁学中一系列的重要公式及其应用，接着借助洛伦兹力推导入安培力公式，并讨论了电动机的工作原理。此后，继续借助洛伦兹力推论动生电动势与磁路量变化的关系，并强调感生电动势也满足同样的关系式，也称为法拉第电磁感应定理，该定理可以得到麦克斯韦等式组中关于电场旋度的等式，并帮助人们制造发电机。
静电磁学的特征与总结
张朝阳先回顾了近来这几期关于电磁学的内容，他率领网友先从麦克斯韦多项式组出发：
只是简单地推导入电磁波以后，课程就围绕着电磁场不随时间变化的情况展开，这时麦克斯韦多项式组中关于时间的偏导项都可以忽视，得到简易的静电磁场多项式组：
上述静电磁场多项式组的解就是库伦定理：
和毕奥萨伐尔定理：
由上述公式可以求出给定恒定电荷密度与电压密度情况下的电磁场。但在对称性较高的情况下，还可以通过静态微分等式组的积分方式来高效求得电磁场。借助散度定律，可以将第一个等式改写为高斯定律：
借助高斯定律和对称性，可以简单地得到点电荷，线电荷和面电荷的电场。
同样对第三个公式借助散度定律，也可以得到：
这表明一个闭合曲面的磁路量为零，是磁荷不存在的表现,须要注意的是，该公式对随时间变化的电荷密度与电压密度也创立。
借助斯托克斯公式，第二个等式可以改写为：
这说明电场顺着闭合曲线积分一周后为零，同时也说明将电场从空间某点路径积分到另一点的值与路径无关，所以可以由此定义出标量的势能φ，它满足：
注意，满足上式的势能φ只能在静电磁场的情况下才会被定义下来，否则将与公式-▽×▽φ=▽×E=0矛盾。
同样借助斯托克斯公式，最后一个等式可以改写为：
该公式是安培支路定律，它能取代复杂的毕奥萨伐尔公式来推论磁场。无穷长线电压（导线横截面积可以不趋向零），面电压还有环型电压（比如通电螺线管）等等具有一定对称性的电压密度分布的情况，都可以用安培支路定律简单快速地求得磁场分布。
安培力与电动机
上述回顾的麦克斯韦多项式组可知电荷怎样形成电磁场，而这节课要讨论的洛伦兹力则可以明白电荷怎么遭到电磁场的作用，麦克斯韦多项式组加上洛伦兹力才构成完整的电磁学理论体系。一个以速率v运动带电量为q的点电荷遭到的洛伦兹力为：
（张朝阳借助洛伦兹力推论安培力）
若要考虑的对象不是一个点电荷，而是具有电荷密度ρ的电荷分布。其中一个体积微元dτ具有电荷量q=ρdτ，设此容积微元的运动速率为v，这么它深受的洛伦兹力为：
其中j=ρv是电压密度。将上式两侧同乘以dτ，得到单位容积遭到的洛伦兹力为：
现今只考虑一个简单的情况，忽视掉电场的部份，但是磁场与电压方向垂直，这么单位容积的洛伦兹力的大小可以简写成：
对于横截面积为dS的导线，其电压为：
若导线垂直于磁场方向B安培力公式，则每单位宽度的导线受磁场造成的洛伦兹力为：
设导线的宽度为L，磁场均匀且垂直于导线，这么导线受力为：
这就是安培力公式，它给出了通浊度线在磁场下的受力大小。
借助安培力，可以制做电动机，其构造如右图所示：
（张朝阳介绍电动机工作原理）
恒定且均匀的磁场B从左往右，一条导线电压垂直纸面向里，另一条导线电压垂直纸面向外，设导线的宽度为L，两导线的距离为d，两导线中心的连线与磁场方向的倾角为θ。借助安培力公式，可知两导线受力都为F=BIL。另外F的方向就是j×B的方向，由左手螺旋定则还可判断电压垂直纸面向里的导线受力向上，而电压垂直纸面向外的导线受力向下。由此线圈遭到一个沿纸面向外的扭力，并可估算出线圈遭到的总扭力为：
其中A=Ld是线圈的面积。
当θ等于零的时侯，扭矩最大，在扭矩的作用下，线圈旋转到θ等于90°的情况，此时扭力为零，当线圈继续转过该平衡位置后，扭矩从零减小，但扭力的方向却与之前的相反，妨碍线圈的转动。为了能让扭矩一直保持一个方向，可以在θ等于90°的平衡位置处安装一个插口切换装置，使得线圈电压反向，安培力也会反向，致使转过90°之后扭矩方向与转过90°之前一致，这样线圈就可以不停地顺着同一方向持续转动，这就是电动机的工作原理，借助安培力将电能转化成机械能。
法拉第电磁感应定理
给置于磁场中的线圈加电动势形成电压后，线圈会转上去，若反过来，使置于磁场中的线圈转上去后，是否会形成电动势呢？
（张朝阳借助洛伦兹力推论感应电动势）
当线圈转上去后，设垂直纸面的导线的运动速率为v，导线中的电荷相对于磁场运动，它们遭到的洛伦兹力大小为：
左侧的导线的电荷遭到洛伦兹力沿导线垂直纸面向外，而右侧的导线的电荷受力沿导线垂直纸面向里，由此导线内的电荷会运动产生电压，这说明线圈内形成了电动势。而只有垂直于纸面的两条导线会贡献电动势，线圈内的动生总电动势大小为V，这么由电动势的定义与功的表达式可得：
进一步考虑导线的运动速率v与转动速率ω=dθ/dt之间的关系：
可以得到动生电动势的新表达式：
其中面积A=dL。注意到φ=BAsinθ正是线圈的铁损量大小，铁损量方向（定义为磁场垂直于平面的份量）具有往右的份量，从θ=0转入θ=90°的过程中，铁损量日渐变大，于是磁路量的变化的方向也是具有往右的份量。而按照上述洛伦兹力方向的剖析，可知若手指四指朝着电压方向则左手大手指方向具有向左的份量，表明大手指方向与磁路量的变化的方向相反。若以手指螺旋定则来联系磁路量方向与电动势的方向，这么具有正负号的动生电动势与磁路量的关系为：
这儿动生电动势的形成是因为线圈转动（切割磁感线）造成的，实际上，若线圈不动，但改变磁场的硬度也可以形成电动势，称为感生电动势，而感生电动势与磁路量的关系也满足上述公式，电动势与磁路量的关系称为法拉第电磁感应定理。另外，因为线圈不动，所以电荷速率为零，不会遭到磁场力qvB，但是电荷还是由于有感生电动势而受力，那依照洛伦兹力公式，电荷受力只能来始于电场力F=qE，即这些情况下磁路量的变化形成了电场，将法拉第电磁感应定理中的感生电动势用电场具体写下来为：
其中最后一个等号用到了线圈不随时间变化的条件。
因为上式对任意线圈创立，所以有：
这正是麦克斯韦等式组中关于电场散度的等式。也可以反过来看，该多项式能推导入感生电动势与磁路量变化的关系，而洛伦兹力则能推导入动生电动势与磁路量变化的关系，而且神奇的是电动势与磁路量的关系都满足同一方程安培力公式，这就是大名鼎鼎的法拉第电磁感应定理。安培力促使人们可以制造出电动机，让电能转化为机械能，而法拉第电磁感应定理则反之，让机械能转化成电能，促使人们可以制造出发马达，对人类文明的发展有着重大意义。
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