摘要
量子热学是近代数学学的基础理论之一，也是伴随着假定争辩构建上去的理论。但是在教学过程中，若直接给出波粒二象性这一基本假定，中学生理解上去会变得尤为困难。因而基于教学实际和前人的研究，本文从精典的电磁理论出发，按照波动光学和几何光学的描述方式，以及程涵多项式的方式，假定光对应一种实物粒子。因而由普朗克的量子化条件，讨论了光的波动性和粒子性之间的联系，推导入了普朗克爱因斯坦关系以及德布罗意关系，彰显了光和实物粒子的波粒二象性。
关键词波动光学；几何光学；实物粒子；波粒二象性
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波粒二象性现象是量子热学中的重点内容，它成功解决了人们长久以来对光物质的苦恼，统一了光的波动性和粒子性问题，其意义非常重大。自20世纪开始，人们就开始对光进行了研究，爱因斯坦通过对光电效应的完美解释，提出了光具有波粒二象性。1979年，院长为检验其正确性，提出了“延迟选择的思想实验”。同时量子传输实物，德布罗意给出实物粒子也具有波粒二象性的假说[1]，即电子具备波的干涉现象。基于普朗克的量子论[1-4]，给出了普朗克爱因斯坦关系，以及德布罗意关系。但因为受精典化学学理论的影响，中学生的认知、知识体系和化学方式均具有一定的局限性，班主任在直接引入两种关系来彰显波粒二象性时有一定难度，中学生也会存在众多困扰。为此，怎样从精典数学学出发，自然地导入彰显波粒二象性的物理公式是本文正式讨论的主要内容。
1光的波粒二象性
1.1波动光学的描述
在真空中，电磁波满足无源的等式组[5]
对于平面波，其解可以写为如下的方式
其中，f可以是电场硬度E或磁感应硬度B的某个份量。本文中，将f叫做电磁场量。
而对于通常的电磁波，电磁场量的相位不再是式(2)中简单的方式，其振幅也不再是常数，我们通常将其写为
在研究通常平面波时，一般仅考虑很小的空间区域和很短的时间间隔内的情况，在该区域内，电磁场量的振幅f0(r,t)以及光的传播方向几乎不变，可以看为常数。在这些情况下，通常的电磁波即化为平面波。
1.2几何光学的描述方式
从波动光学到几何光学实际是取λ→0（λ是光的波长，下文也是这么）这一极限下电磁波解的必然结果。下边将仍从电磁波多项式出发，来引入几何光学所满足的基本多项式。
从式(3)出发，在几何光学中，电磁场量的相位φ(r,t)被称为程函。在选取的很小的区域内，由于λ→0，电磁波各个热阻的波动性消失，其传播方向可以直接由光线来代替。光线上每一点的切线即表示光在这一点的传播方向。为此，几何光学实际上研究光线的分布，而光则沿光线传播。
选取一个很小的空间区域以及很短的时间间隔，将程函φ(r,t)做展开
由前所述，在很小的区域内，电磁波可以看作平面波。将式(4)与式(2)的相位作对比，可以得到
而电磁波的波矢与频度又满足
ω=ck(7)
将式(5)、式(6)代入式(7)中，得到
式(8)称为程函多项式，是几何光学所满足的基本多项式。
1.3光与粒子的类比
从程函多项式的方式可以看出，描述光线的多项式与描述粒子运动的多项式有很高的对称性。对于一个实物粒子，其运动可由-等式决定
其中，S是粒子的作药量，H是粒子的量，p是粒子的动量。对比式(9)、式(10)和式(5)、式(6)可知，在几何光学中的程函、波矢、频率分别与一个实物粒子的作药量、动量、哈密顿量（即能量）互相对应上去。即光线的传播和粒子的运动所满足的多项式具有相同的方式。因而假定：存在某个实物粒子，它可以和一个特定的光线对应上去。对应规则为
一个实物粒子，其状态随时间的演进遵照正则多项式
根据对应法则式(11)，能得到光线所满足的关系为
式(14)中
表示顺着k方向的单位矢量。从式(14)中看出真空中光的速度为c，式(15)中表明k=const，从式(14)、式(15)得到的直接推论——真空中光沿直线传播。
另一方面，光线满足的一个基本关系可以预测这个假想粒子的一个性质。光线的波矢与频度满足式(7)，根据对应法则式(11)，给出这个假想粒子的能量与动量的关系为
H=cp(16)
依据狭义相对论的能量表达式
由式(16)、式(17)可得m0=0。即这个假想粒子的静质量为0。这个推论后来被否认，即光子的静质量确实为0。
1.4原理
在精典热学中，实物粒子的运动轨迹由原理确定[6]
其中，
为粒子的拉格朗日量。原理强调：粒子在两点间的真实路径实际是所有路径中作药量取极值的路径。由于无法直接构造出几何光学的（其结果为0），因而须要加入一些限制条件，来构造属于几何光学的“原理”。
在能量守恒的前提下（不显含时间t），依照原理，原理叙述为[7]
其中，S0称为减短作药量，S0满足
δS0=0(22)
借此为基础，通过对应法则式(11)，在几何光学中，有
ω=const(23)
φ(r,t)=φ0(r)-ωt(24)
δφ0=0(26)
从类比而至的式(23)~式(26)，光线在两点间所走的实际路径应当为所有路径中减短程函φ0达到极小值的路径。式(25)中，记
，
。ds表示光的路程，因而式(24)可以写为
对于通常的情况，波矢与频度满足
ω=kv(28)
其中，v满足
v=c/n(29)
n为介质的折射率，这样式(27)化为
记：dl=nds，dl正是我们熟悉的光程的定义，式(30)就变为
再由式(26)，可将式(31)化为
式(32)正是原理的物理表达式。
综上所述，通过给光线类比一个假想粒子，两者之间互相辉映，又一次得到了令人满意的答案。在这儿得出一个推论：光线与某种静质量为0的粒子是等价的。
1.5-关系
原理给出光线所满足的条件：两点间光顺着光程极小的路径传播。在这儿就有一个令人困扰的地方：莫非光线在传播之前，它遍历了所有的路径？否则它怎样获知到底哪一条路径的光程是最短的。
对于这个问题的理解，我们须要利用于波动光学。电磁波在空间中的光强分布可写为
I(r,t)∝|f(r,t)|(33)
从波动光学的观点来看：全空间中只看见光程极小的路径是由于空间中所有路径的电磁场量叠加之后，得到的光强分布在光程极小路径处很大[8]，而其他区域几乎趋向0，下边具体研究一下这个过程。
能量守恒的情况下，光强的分布不随时间变化，因而电磁场量可以写为
其中，φ0(r)定义见式(25)。为了估算便捷，只取一维的情况，式(25)变为
由于仅取一维情况，对于某一条路径Γ，我们用其位置随时间的变化表示它。设路径初始坐落A点，此时为t1时刻；终点为B点，此时为t2时刻。因而整个光场的电磁场量分布可以写为
上式中的求和号表示A与B这两点间所有的路径。
从式(36)看出，总的电磁场量贡献仅依赖于每一条路径的相位。考查其中一条路径相位的量级，为估算简单，我们用平面波
几何光学要求λ→0，因而实际上诸多路径的相位是一个非常巨大的量。假定将一个路径联通一个很小的量δx，这么相位的变化为δφ=δx/λ。一般路径的微小变化促使相位的变化十分巨大（缘由还是λ→0），因而电磁场量将在最大与最小之间剧烈振荡，以至于该条路径与周围的路径的电磁场量贡献互相抵消，因而无须再考虑这种路径，它们相当于相互干涉达到了干涉相消的疗效。但存在一条特殊的路径，这条路径对应的φ(x)取得极小值，即路径改变（δx的量级）不会造成相位的改变。因而在δx范围内的所有的路径的相位是相同的，它们对于电磁场量的贡献无抵消疗效，这种路径相当于达到了干涉相长的疗效。
综上所述，相位达到极值的路径与其周围很小范围内的路径之间互相干涉达到相长的疗效，而其他路径之间相互干涉相消，表现为我们仅仅看见了光传播的那一条极值路径。如今可以回答之前的问题，光线在传播时，它确实以波动的方式遍历了所有的路径，而被观察到的现象，实际上是波之间干涉以后的结果。
以上对于光线传播的解释，须要用到波动学的方式。而光线与某种假想粒子是等价的，这么光线的传播与这些假想粒子也是等价的。这意味着，假想粒子的运动轨迹的动因，与波动有着十分紧密的联系。
我们再回到方程式(5)、式(6)与-方程式(9)、式(10)，此次通过量纲的形式剖析这几个数学量之间量纲的差异，见表1。
从表1里可以看见，描述波动性热阻的相位φ、波矢k、频率ω与描述粒子性热阻的作药量S、动量p、量H正好相差一个作药量的量纲。为了保证之前类比的有效性量子传输实物，这个相差的作药量量纲的比列系数必须为常数，我们不妨设
S=Cφ(38)
p=Ck(39)
H=Cω(40)
其中，C是一个具有作药量量纲的常数。
1900年提出能量子假说时，曾给出一个电磁波吸收和幅射能量时能量与频度的关系[2]
ε=hν(41)
其中，h称为常数，其值为：h=6.626×10-34J·s。对比式(36)与式(35)，就可以得到
其中，
称为约化常数。这样可以把式(33)~式(35)写为
式(44)与式(45)称为-关系式。
从式(43)~式(45)中见到这样的事实：光与这个表象粒子通过一个常数——约化常数相互联系上去，而这个假想粒子正是1905年提出的光量子（简称光子）[9,10]。而式(44)、式(45)即是光的波粒二象性的彰显。
此时对于约化常数的量纲我们还需做一点讨论。基于量纲的知识，我们晓得厚度、时间和质量的基本量纲分别用L、T和M来表示，这样自然就可以给出速率的量纲为L·T-1。而从爱因斯坦的质能多项式E=mc2可得能量的量纲为
即H具有能量的量纲，按照式(45)便自然的给出约化普朗克常数的量纲为
毫无疑惑，这与量纲剖析表1中的结果保持一致。
2实物粒子的波粒二象性
通过类比方式，在第1节中最终从物理上找到了光的波动性和粒子性之间的联系。在讨论粒子波粒二象性时，先对式(43)做一个处理。将式(43)代入式(3)中，可以得到
式(48)描述的是电磁场量的分布（波动性量），但电磁场量的相位用粒子所特有的作药量来描述。关于彰显实物粒子波粒二象性假定的公式可从式(48)出发得到。
2.1实物粒子的波动性假定
实物粒子的运动由-多项式确定，见式(9)与式(10)。而实物粒子的运动轨迹由原理确定，见式(18)。
对于实物粒子的原理，实际可以有着与原理相同的疑惑：莫非实物粒子遍历了所有的路径？否则它怎样选出作药量极小的路径呢？由1.4节的讨论，可看出原理与原理可以算是同根同源，是同一个定律在不同方面的叙述。这么原理背后的诱因应当与原理是相同的。上述的疑惑应当与1.4节中的疑惑是等价的，对于实物粒子的原理的解释，我们必须也要采用“实物粒子的波动性”。在此假定：每一个实物粒子都与某一种波相联系，这些波称为物质波。我们给出物质波的波函数叙述，由式(48)类比，直接写出物质波的波函数
其中，波函数ψ(r,t)类似于电磁波中的电磁场量。只要给出了式(49)的方式，以1.3节中相同的思索方法，可以得到推论：实物粒子对应一种物质波，实物粒子的运动轨迹实际上是这些物质波之间互相叠加干涉的结果。在极值路径附近，物质波干涉相长；其他路径物质波干涉相消，表现下来我们只能见到粒子顺着极值路径运动，即粒子轨迹符合原理，这就是实物粒子的波粒二象性假定。
2.2de关系
既然2.1节早已给出了实物粒子的波粒二象性假定，这儿就要给出实物粒子波动性热阻与粒子性热阻之间的表达式。
实物粒子的波函数满足式(49)，记ψ(r,t)的相位为θ(r,t)，则
。这样式(49)可写为
ψ(r,t)=ψ0eiθ(r,t)(50)
从式(50)中得出这个波的波矢与频度的分布须要用到式(5)与式(6)，将式(50)代入其中，即可得到
其中的S是实物粒子的作药量，满足-等式。将式(9)、式(10)代入式(51)、式(52)中，就得到实物粒子的粒子性与波动性之间的联系
而式(53)、式（54）正是de关系式[11]。即动量为p，能量为H的实物粒子与其联系的物质波的波参数之间满足式(53)、式(54)，这就是实物粒子波粒二象性的彰显。
3结语
光和实物粒子的波粒二象性在近代化学的发展中具有重要地位，教学中为有效联接精典化学学和量子热学，本文从波动光学和几何光学出发，对比几何光学满足的程函多项式和精典粒子的喀什顿雅克比多项式，给出光和假想粒子之间互相辉映的关系。通过费马原理验证了光具有波粒二象性假定的有效性，进一步得到了彰显光和实物粒子具有波粒二象性的Plank-关系和de关系式，使中学生加深对波粒二象性的理解。
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基金项目：山东省博士科研启动基金(2020-BS-083)，2021年度广东学院专科教学变革研究项目（项目名称：斯特恩盖拉赫虚拟仿真实验平台建设与施行）。
作者简介：张成园，女，四川学院讲师，主要从事量子热学教学工作,研究方向为全息规范引力排比，。
通信作者：李永庆，男，湖北学院院长，主要从事量子热学教学工作，研究方向为原子分子势能面，。
引文格式:张成园,许广智,李一杰,等.关于量子热学中引入波粒二象性的教学尝试[J].化学与工程,2023,33(1):10-14,21.
Citethis:ZHANGCY,XUGZ,LIYJ,etal.towave-in[J].and,2023,33(1):10-14,21.(in)
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