Part1公式
打点纸带如图所示瞬时速度公式，若要求打下点3时纸带的瞬时速率，可以用下边公式来估算：
Part2疑惑
问题1(1)式等号有段实际上是求打下点2到打下点4过程中，纸带的平均速率，而不是打下点3时的瞬时速率，为什么可以用平均速率来表示瞬时速率呢？
面对刚步入中学的中学生，我们可以这样解释：
所谓瞬时速率，就是在求平均速率的时侯，取无限短时间；而在实际操作中，无限短是做不到的，所以我们通常取足够短时间来取代无限短时间。所以，在估算瞬时速率的时侯，我们用平均速率来表示。
问题2既然是取足够短时间，为什么不用或来求呢？这个时侯，老师常常这样解释：
纸带可能做的是加速运动，也可能是减速运动，假若用上面段或旁边段0.02s的平均速率来表示瞬时速率，可能会比实际值偏大或偏小，假如三者加上去乘以二，还会愈加接近真实值了，即
问题3对于学过了匀变速直线运动规律的中学生来说，会把这个(1)式和中间时刻速率公式联系上去，由于打下点3时刻恰好是打下点2和打下点4的中间时刻。
不过，中间时刻速率公式仅对匀变速直线运动有效，我们做实验的时侯，如何可以肯定纸带的运动就是匀变速直线运动呢？
面对种种指责，有没有更有劝说力的办法，去说明(1)式是有效的估算方式呢？
Part3麦克劳林公式
物理上有一条神奇的公式——麦克劳林公式，如下
其中表示的阶求导，表示的阶乘，并规定。麦克劳林公式其实泰勒公式的特例。
在数学上，常常用它来求近似值，即：在时，的高次项会显得很小而可以被忽视，故公式的前几项可以作为的近似值。我们做以下约定
一阶近似：
二阶近似：
阶近似：
Part4运动多项式
物体做直线运动时，其运动多项式的阶近似可以表示为：
速率多项式是运动等式的一阶求导，故速率多项式的阶近似可以表示为：
对运动的近似描述，可以这样理解：
一阶近似：匀速运动
二阶近似：匀变速运动
三阶近似：匀变加速运动
……
其中的，表示物体的初始位置；，表示物体的初速率；，表示物体的初加速度；……。“匀变加速运动”是我自己起的名子，意思是加速度均匀变化的运动。加速度的变化率称为急动度，用符号表示，即。急动度在生物上的意义，彰显在对运动的舒适感方面，比如，车辆加速度在变化的时候，人会倍感不适，而加速度恒定的时侯，人并没有非常显著的不适。
Part5近似偏差
对于通常情况的直线运动，用平均速率来近似瞬时速率，或则说用平均速率来近似中间时刻速率，是有可能存在偏差的。平均速率的阶近似用表示，中间时刻速率的阶近似用表示，它们的偏差用表示，其中表示近似的阶数。
由此可知，偏差的各阶近似如下：
一阶近似：
二阶近似：
三阶近似：
四阶近似：
五阶近似：
……
Part6结果剖析
对于通常的直线运动，假若仅考虑其三阶近似，则平均速率与中间时刻速率是相等的。假如考虑三阶以上近似，也可以发觉偏差除了随着指数级减少（为小量），但是各项系数也在快速减弱。综上考虑，取二阶近似早已是十分理想的结果了。这也就是为何可以用平均速率来近似中间时刻速率的诱因。
有兴趣的话瞬时速度公式，还可以继续估算用前一段位移或后一段位移的平均速率来近似瞬时速率，其偏差的表达式是多少，具体估算我就不写在这儿了。可以发觉，借助前后两段来近似瞬时速率，是更合理的估算方式。
Part7一个补充
一个方式比其它方式合理，不等于任何情况它的结果都比其它方式的结果接近真值。