|作者：陈伟孟1张玉峰2,†陈征3魏红祥4
(1中国人民学院附属高中)
(2上海教育科学研究院)
(3广州交通学院理大学)
(4中国科大学数学研究所)
本文选自《物理》2021年第8期
化学的概念、规律间是存在纵向联系的，这些联系既能简化新概念规律的建构过程，又能推进原有的认知，彰显化学体系的共性与系统性。将未知的研究对象与熟悉的概念规律进行适切的纵向联系，也是我们解决问题、整合体系和创新认识的重要方法。
01
序言
化学现象丰富多彩，在对其认识的过程中，人们构建了大量的数学概念，发觉了许多数学规律。这种数学概念和规律种类繁杂又纵横交错，看上去着实让人发晕，但是化学学家在对其进行研究的过程中，遵守了相同的原则、范式和技巧，因此随着认识的深入，在电、磁、原、力、热、光、声等分支中，其概念和规律渐渐凸显出体系，而各分支之间又统一在流体、波、场等几个基本数学图象之下，遵照守恒的基本原则，采用相像的概念定义方式和同一套物理工具，因此表现出显著的纵向关联。
对这些数学学不同分支纵向联系的认识于学习数学的人而言，能发展其面对不同概念和规律时的迁移能力物理的定义，起到推进认知和建构新知的作用，正如卢瑟福所言“物理”并非“集邮”。而对研究和应用者而言，也是突破枷锁，开拓创新的源泉。
02
流体图象下的力与电
电磁学一般由于比较具象而让许多人认为困惑。但实际上，它的化学图象和相应的数学概念与直观可见的热学现象有着大量共通之处。如电压使电路中的灯泡发绿、电炉丝发热，就如水在流动中可以冲击水轮机使其转动；水从水位高的地方流向水位低的地方，电压从电势高的地方流向电势低的地方，背后是相同的流体图象，而水位高低和电流高低背后则是相同的势能概念。
受法拉第的启发，麦克斯韦于1855年发表了《论法拉第力线》一文，将法拉第的力线延展为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场(电场或磁场)的方向，力管的截面面积与力管内的流体速率成正比，而这流体速率可以比拟为电场或磁场。不可压缩流体任何部份的容积不会由于时间而改变，这是一种假想的理想流体。麦克斯韦更进一步假定流体的流动是稳定的，在任何位置，流动的方向和速度不随时间变化，流体内部任意元素，随着流动会勾勒出一条曲线，称为“流动线”。法拉第的力线被比拟为流动线，于是借用流体热学的一些物理框架推导入了一系列初步成型的电磁学理论。法拉第的思想为电磁场勾勒出一幅形象的图象物理的定义，这是“场”概念上的重大发展，为麦克斯韦从物理上构建电磁场的理论奠定了基础。这儿的“场”虽然还不是近代数学学意义上的“场”，并且打破了“超距作用”在数学学上的地位，使人们对场的认识奔向客观实在方向跨出了关键性的一步。后来，汤姆孙评论法拉第的成就时说：“在法拉第的许多贡献中，最伟大的就是力线概念了。我想电场和磁场的许多性质，利用它就可以最简单并且颇具暗示地叙述下来。”
流体的流量Q是单位时间内流过管路横截面的液体容积，同理，电压I是单位时间内流过某一横截面的电荷量。如图1所示，当理想流体通过一段封闭管线，流量是处处相同的，若管线是不同粗细的，则流速v是和横截面积S成正比的。将流体与电压进行对照，则流速v与场强E就有了直观的对应关系。
图1流体与电压
在三维空间里，假定坐落参考系原点有一个流体“源”，单位时间流出的流体容积为Q，在与此流体源径向距离为r的位置流速大小为
。假定有一个流体“汇”，在与此流体汇径向距离为r的位置流速大小为
。这些流体系统遵循矢量叠加原理，则流速v与点电荷的场强E也就有了对应关系。如图2所示，一正电电荷的电场线会从原点出发，仍然到无穷远处，通过每一个闭合曲面的电场线的条数是不变的，即通量是不变的。此即电通量的概念，与流量是具有类似性的。进一步联系我们熟悉的磁通量，拓展不熟悉的引力场通量，才能让我们对化学中的不变量有更深刻的认识。
图2点电荷坐落不同闭合球面内部
1686年，牛顿提出了知名的万有引力定理：
。由该定理可得：一个密度均匀分布的球壳，对其内部质点的引力为零。后来化学学家富兰克林发觉，置于绝缘架上的带电金属筒内表面不存在电荷，而且筒内用棉线吊住的一带电小球不会遭到静电力的作用。普利斯特里重复了富兰克林的实验，他推测由这个奇怪的现象也可以得到点电荷静电力的“平方正比”关系，最终库仑结合实验得出了与万有引力定理类似的库仑定理：
。可以发觉库仑定理和万有引力定理的相像性有着必然的联系，这也是规律间的纵向联系。
03
概念规律间的纵向联系
“场”的概念是数学学的一个重要概念，也是近代数学学与精典热学在物质观的认识上的最大区别。这些物质与一般的实物不同，不是由分子原子组成，却也是客观存在。带电体周围存在电场，人们会引入试探电荷q来探究电场的性质。对于电场中的同一点，试探电荷遭到的电场力与其电荷量之比
是一定的，而对电场中的不同点，
通常是不同的，与其在电场中的位置有关。为此，
反映了电场的性质，被称为电场硬度。相应地，在探究磁场时，人们常引入类似于试探电荷的“电流元”，在磁场中的某一位置垂直于磁场方向装入一小段通电直导线，通电直导线遭到的力F跟电压I和直导线宽度L的乘积成反比。因该比值
与该通浊度线的宽度和电压无关，可用其描述磁场的强弱程度，即磁感应硬度。如图3所示，由电场、磁场到重力场，这么
就除了是我们熟知的重力加速度，也是描述重力场的重力场硬度，进一步到引力场硬度，以及能量角度的电势、重力势和引力势概念，这都是概念间的纵向联系。
图3静电场、磁场与引力场
在会计算点电荷电场的基础上，人们还想晓得通常带电体形成的电场硬度E和电势φ的定量估算的物理方式。笛卡尔在关于自然科学的哲学本质上提出了一个“指导法则”：为了解决所遇见的困局必须把它们分成几部份，必须从最简单的(对象)开始，逐渐步入到对复杂的(对象)认识。这些技巧系统地渗透在从热学、电学到原子化学等化学学各个分支中。诸如，运动的合成、力的合成等都彰显了这样的思想，其前提条件是“部分”之间的相乘必须服从“叠加原理”。热学部份从质点运动开始，再到质点系；热学部份从点电荷形成的电场引入，再到电荷系；对于连续体层次上的热学和热学的讨论方式彰显了“从简单到复杂”的思维原则。其实，线性系统只是自然界的一种近似的、理想化的模型系统，真实的系统更多的是非线性系统。
在热学中，描述质点运动状态的化学量是位置x、动量p等化学量，这种化学量是质点所在空间位置的函数。位置的改变形成位移Δx，位置随时间的改变得出速率v，速率随时间的改变形成加速度a。在热学中描述质点状态的化学量是位置x和速率v，它们之间彰显的是在时间上的变化率关系
。在静电学中描述电场状态的化学量是电场硬度E和电势φ，它们的定义之间彰显的是在空间上的变化率关系
，从时间变化率的关系到空间变化率的关系。
热学平衡是指质点受两个外力作用达到平衡，合力为零，质点保持静止或匀速直线运动状态；假如把“静止”称为“静平衡”，这么“匀速直线运动”就可以称为“动平衡”。力学中的平衡态是指系统内部没有“质量流”和“热量流”，不随时间改变的宏观状态，但系统内部分子还在做无规则的热运动，因而称为“热动平衡状态”。与此类似，热学中的静电平衡态指的是受外部电场和内部电场的共同作用，导体内部处处净电荷为零以及内部电场硬度为零，导体表面没有电荷定向联通的状态，也是另一个意义上的“动态平衡”，是电场硬度和电荷分布之间互相影响而达到的一种动态平衡。为此，导体的静电平衡在平衡思想上是对热学平衡和力学平衡的纵向联系的推进和发展。
在数学系统里，一个粒子从起点联通到终点，若受斥力且该斥力所做的功不由于路径的不同而改变，则称此力为保守力。假如物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为零，即势能与其他方式的能量转化为零，于是系统间的势能不变。当相对位置确定时，它们之间的势能就是确定的、唯一的，因而保守力是与势能关系密切的概念。重力、万有引力、弹力、静电力和分子力等都具有这个性质，重力对应注重力势能，弹力对应弹性势能，静电力对应着电势能，分子力对应着分子势能等。为此，卫星绕着地球转，月球绕着太阳转，电子绕着原子核转等宏观和微观的稳定模型系统，都属于保守力系统。
04
结语：纵向联系拓展化学视界
纵向联系除了适用于数学学科内不同内容的联系，也适用于不同事科间的关联拓展。诸如变化量与变化率、稳定性与变化、结构与功能、系统和系统模型等跨学科的概念在其他学科中也有着广泛的应用。进行学科内以及跨学科间概念的纵向联系，除了能推进对概念和规律的认识，并且能拓展我们的化学视界，更是解决问题和认识未知的重要形式。
参考文献
[1]皮埃尔·迪昂.化学学理论的目的与结构.上海：商务印书馆，2011
[2]朱鋐雄.数学学思想导论.南京：复旦学院出版社，2009
[3]郭奕玲，沈慧君.数学学史.南京：复旦学院出版社，2005
