高考数学推证题，要求证明某一数学推论（规律）或推导入某一数学量的表达式，能有效考查中学生的剖析、推理、论证能力，是近几年各地高考试卷中频频出现的一种题型，在高考试卷中占有一席之地。
解答数学推证题，既要有坚实的数学知识基础，把握必要的科学思维方式，还要有一定的逻辑思维能力、推理能力和运用物理知识解决数学问题的能力。现将近几年有代表性的高考数学推证题归类例析如下：
一、证明推论
证明推论型推证题，通常为小学数学知识的拓展或延展，试题给出需证明的推论（或规律），通过“弄清题意要求――应（选）用公式规律――建立联系方程”来推论论证。推证时，一要找出化学量之间的联系，并借助相关化学公式或规律构建化学量间的关系方程；二要注意证明过程要清晰，每一步证明过程都要有理有据。
例1.我们晓得两个物体间力的作用是互相的，当其中的一个力称为斥力时，另一个力就称作反斥力。牛顿第三定理告诉我们：两个物体之间的斥力与反斥力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
图1如图1所示，是在“探究滑动磨擦力大小”的实验中，用弹簧测力计检测磨擦力大小的示意图。当水平带动物体A匀速运动时，弹簧测力计的示数F′（即弹簧所受A的拉力）就表示物体A所受磨擦力f的大小，即F′=f。请你根据牛顿第三定理和二力平衡的条件对此加以证明。
解析：从F′与f入手，剖析受力，找出与F′、f相关联的力，弄清哪两个力是一对斥力与反斥力，哪两个力是一对平衡力；借助牛顿第三定理和二力平衡的条件找出各力的大小关系进行推证。
证明：由于物体A处于平衡状态，物体A在水平方向上遭到的拉力和磨擦力是一对平衡力，所以弹簧测力计对物体的拉力等于物体所受磨擦力，即F=f。
而弹簧测力计对物体A的拉力F与物体A对弹簧测力计的拉力F′是一对斥力与反斥力，由牛顿第三定理可知，F=F′，所以F′=f。
例2.定滑轮在使用时相当于一个杠杆。如图2所示，某人用绳子顺着倾斜方向通过定滑轮拉住钩码，已知人手的拉力为F，钩码重力为G。
图2图3（1）请在图中标出这只“杠杆”的支点O，画出拉力F、钩码重力G及它们的力臂（保留画图痕迹）。
（2）若不计磨擦、滑轮重和绳重，请用杠杆平衡条件推证：F=G。
解析：按照杠杆的五要素（一支点、二力、二力臂）作图；明晰动力臂l1和阻力臂l2都等于定滑轮的直径R，借助杠杆的平衡条件推证。
（1）如图3所示。
（2）证明：由几何知识知：l1=l2=R（R为滑轮的直径）
按照杠杆平衡条件：F1l1=F2l2
即F1l1=Gl2，得：F=G。
点拨：例1、例2的共同点是试题已明晰告知推证的理论根据，只需依照题意，借助试题告知的化学知识或规律进行数理推证即可。推证时，要有必要的剖析和文字说明。
图4例3.液体内部存在浮力。如图4所示，烧瓶内盛有密度为ρ的液体，我们可以构想液面下h深处有一面积为S的水平圆面，它所受的压力是其上方圆锥形的小液柱所形成的。请推证：液体内部深度为h处的浮力p=ρgh。
解析：由题意可知，液体深度为h处的浮力即为小液柱对其底面的浮力。按照浮力公式p=F1S来推证，其中的压力可以按照水平面上的物体对水平面的压力等于重力来估算。思路：
证明：小液柱的容积为：V=Sh
小液柱的质量为：m=ρV=ρSh
小液柱的重力为：G=mg=ρShg
小液柱形成的浮力为：p=F1S=G1S=ρShg1S=ρgh。
即液体内部深度为h处的浮力p=ρgh。
例4.当多个内阻串联时，其等效内阻称为串联电路的总内阻。请推证：将两个内阻R1、R2串联上去，其总内阻R与R1、R2的关系式为：R=R1+R2。
图5解析：由题意可知，R是R1与R2串联的总内阻。按照欧姆定理写出电流的表达式；借助串联电路中电压、电流的关系规律推论证明。思路：
证明：由欧姆定理可知：U=IR，U1=I1R1，U2=I2R2
由串联电路电流的规律U=U1+U2可得：IR=I1R1+I2R2
又由串联电路电压的规律I=I1=I2可得：R=R1+R2。
点拨：例3、例4的共同点是试题没有告知推证的理论根据，则需在弄清题意的基础上，选用数学公式或规律，之后进行数理推证。
二、推导表达式
推论表达式型推证题，要求按照题给的已知化学量，推导入用已知化学量的字母表示的未知化学量的物理表达式，即用已知量表示未知量。推论时，一要弄清题意，找出已知量；二要选用相关数学公式或规律，确定已知量与未知量之间的联系，构建数学量间的关系方程（或大小关系式）；三要注意表示数学量的字母符号应规范。
例5.“等效取代法”是化学学中常用的一种方式。若图6甲的两个内阻并联后接入电路中的疗效与图乙一个内阻接入同一电路中的疗效相同，请你借助并联电路电流、电流的规律及欧姆定理推导入R与R1、R2的关系式。
图6解析：并联电路的电压规律是支路电压等于各大道电压之和，即I=I1+I2；电流规律是各大道两端电流相等，即U=U1=U2；按照欧姆定理I=U1R，代入电压关系即可推导入阻值的关系式。思路：
推论：由并联电路电压关系，可得I=I1+I2
U1R=U11R1+U21R2
又知：U=U1=U2
代入上式可得：11R=11R1+11R2（或R=+R2）
点拨：推论表达式时，要按照题意假定可能用到的几个未知化学量，以作为推论时的通常数学量，如本题中的电压I、I1、I2和电流U、U1、U2；再依照相关的数学公式（规律），代入上述的几个假定的数学量，构建方程，推导入用已知量表示的关系式。
例6.一个均匀实心物体浸入在液体中，可以按照物体的密度ρ1与液体密度ρ2之间的关系，对物体的沉浮做出判定，请借助学过的数学知识，推导入这种关系。（推论中要写出根据）
解析：浸入在液体中的物体的沉浮状态是由其所受压强F浮和重力G物的大小决定的；依据物体的沉浮条件，借助阿基米德原理、重力和密度公式，以及浸入时V排=V物进行推论。思路：
推论：浸入在液体中物体遭到两个力，压强F浮和重力G物。
假如，F浮>G物，即ρ2V排g>ρ1V物g
浸入时V排=V物
ρ2>ρ1时物体下浮；
假如，F浮
浸入时V排=V物
ρ2
假如，F浮=G物，即ρ2V排g=ρ1V物g
浸入时V排=V物
ρ2=ρ1时物体漂浮或在液体中匀速运动。
点拨：推论表达式时，要找出蕴涵在题意中的条件，如本题中的物体排开的液体容积与物体容积之间的关系V排=V物，这是推论的关键。
图7例7.为了响应“节能降耗”的呼吁，小周家买了一台体积为100L的太阳能冷水器。
（3）该冷水器的说明书中介绍，真空管冷水器可以把90%的太阳能转化为水的内能，真有如此高的效率吗？小周查阅资料晓得，她们所在地区单位受光面积上接收太阳能的功率为P，小周还须要检测什么化学量，并运用本题估算出的热量Q[Q为（2）问中冷水器中的水从18℃升高到78℃时吸收的热量]，就可估测出这台冷水器的光热转化效率？写出效率η的表达式。（用代表化学量的字母表示，不需估算具体数据）
解析：效率是指有用的量与总数的比值，即等于“有用的”除以“总的”，故太阳能冷水器有用的能量为水吸收的热量Q，总能量为冷水器接收的太阳能。思路：
测出太阳能冷水器的有效受光面积S和两次温度记录之间的光照时间t。
推论：冷水器中水吸收的热量为Q；单位受光面积上接收太阳能的功率为P，则冷水器接收太阳能的总功率为P总=PS，在光照时间t内冷水器接收的太阳能W=PtS。
光热转化效率η=Q1W×100%=Q1PtS×100%。
点拨：推论表达式时，要抓住所求量，联想相关的数学公式，进行推论，如本题中要求推论光热转化效率的表达式物理二力平衡实验常考题点，则应想到效率定义和公式，其中“有用的”Q已知，再借助相关公式确定“总的”W=PtS，将Q、W=PtS代入效率公式即可。
例8.一辆满载物资的总重为G牛顿的运输车，将物资沿ABCD路线运至D处，AB段海拔高度为h1米，CD段海拔高度为h2米，如图8甲所示。在整个运输过程中，车辆以恒定速率v米/秒运动，车辆t=0时经过A处，t=t1时经过B处，t=t2时经过C处，在此过程中车辆牵引力功率P随时间t变化的图像可简化为图8乙所示（P1、P2、t1和t2也为已知量）。
图8（1）请剖析说明车辆在AB段和BC段运动时，牵引力的大小关系。
（2）请用已知量求出车辆沿斜坡BC段运动时所受总阻力的表达式（总阻力包括磨擦力和空气阻力）。
解析：依据功率公式推导入牵引力与功率、速度的关系式，由此通过比较功率的大小来确定牵引力的大小关系；牵引力做功的过程，就是克服重力和总阻力做功的过程，按照功的关系列举方程推论总阻力的表达式。
（1）车辆在BC段运动时牵引力较大。思路：
设车辆的牵引力为F，按照P=W1t=Fs1t=Fv，可得F=P1v。
又由于P2小于P1且速率v一定，所以车辆在BC段运动时牵引力较大。
（2）思路：
设BC段长为L、高为h，由功的关系可得
WF=Gh+fL
P2（t2-t1）=G（h2-h1）+fL
即P2（t2-t1）=G（h2-h1）+fv（t2-t1）
所以f=P2（t2-t1）-G（h2-h1）1v（t2-t1）（牛）。
点拨：解答推论表达式试题时物理二力平衡实验常考题点，要综合运用所学知识剖析推理，如本题（1）中，选用功率公式和路程公式推导入F=P1v，再由图像和情境中得知信息P2小于P1且速率v一定，因而比较牵引力的大小；（2）中，牵引力所做的功等于克服重力和阻力所做的功，选用功的公式，则牵引力所做的功WF=Pt=P2（t2-t1），克服重力所做的功W1=Gh=G（h2-h1），克服阻力所做的功W2=fL=fv（t2-t1），代入WF=Gh+fL变型即可得到总阻力f的表达式。
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