1、第第5章章质点质点(系系)的角动量的角动量角动量守恒定理角动量守恒定理Lawofof5.1质点的角动量定律质点的角动量定律5.2质点系的角动量定律质点系的角动量定律5.3角动量守恒定理角动量守恒定理在自然界中常常会碰到质点围绕着一定的中心运转在自然界中常常会碰到质点围绕着一定的中心运转的情况。诸如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地的情况。诸如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动动量定理是末减初，电子绕原子核转动以及质心的转动等等。球转动，电子绕原子核转动以及质心的转动等等。在这种问题中，动量定律及其守恒定理未必适用，在这
2、些问题中，动量定律及其守恒定理未必适用，这时若采用这时若采用角动量角动量概念讨论问题就比较便捷。概念讨论问题就比较便捷。角动量也是一个重要概念。角动量也是一个重要概念。0Lrmv((矢量矢量))Lmvr的大小为：的大小为：LsinLLrmv和和的倾角为的倾角为，rmv的方向：由的方向：由和和根据根据双手螺旋法则手指螺旋法则确定。确定。Lrmv角动量的定义：角动量的定义：俗称为动量矩。称作为动量矩。5.1质点的角动量定律质点的角动量定律关于角动量关于角动量角动量与位矢有关角动量与位矢有关,位矢与参考点有关位矢与参考点有关,有相对性
3、。有相对性。提到角动量时提到角动量时必须指明必须指明是对哪一是对哪一参照点参照点而言。而言。当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，=/2角动量大小为：角动量大小为：2mr讨论讨论对于匀速圆周运动，因速率的方向仍然在改变，对于匀速圆周运动动量定理是末减初，因速率的方向仍然在改变，因此进而动量不守恒动量不守恒，但，但角动量是一个常矢量角动量是一个常矢量。在直角座标系中，角动量在各座标轴的份量为：在直角座标系中，角动量在各座标轴的份量为：()zyxLxPyP()yxzLzPxP()xzyLyPzPxyzijkPPP00xyi
4、jkLrPxyPP当质点作通常平面运动时，当质点作通常平面运动时，角动量为：角动量为：()yxxPyPk质点作直线运动的角动量。质点作直线运动的角动量。质点位置矢量的方向发质点位置矢量的方向发生了变化生了变化转动转动广义的转动：广义的转动：yzxoprLr当质点作匀速直线运动时，当质点作匀速直线运动时，v,r都都是不变的，角动量是常量。是不变的，角动量是常量。LmvrrPLmvr月球公转（圆轨道）的角动量。月球公转（圆轨道）的角动量。月球的轨道直径是月球的轨道直径是它的
5、质量是它的质量是为此可得，它绕太阳的角速度因而可得，它绕太阳的角速度111.510mR246.010kgm月球每年月球每年运动一周运动一周(365)dT(2)rad72.010rad/s2(365)(24)(3600)dh/ds/h2/T所以月球绕太阳公转的角动量大小是所以月球绕太阳公转的角动量大小是402.7102kgm/s241127(6.010)(1.510)(2.010)2LmR类比质点的动量定律类比质点的动量定律FdvmdtdPdmvdtdt考查质点角动量考查质点角动量的变化率：的变
6、化率：LrmvdLdrmvdtdt（）()dmvdrrmvdtdtrFvmvdLMdt于是有于是有导致转动状态改变的原导致转动状态改变的原因是因为扭力的作用因是因为扭力的作用可见可见:rF令令rFM扭力扭力比较比较dLMdt角动量定律的微分方式角动量定律的微分方式dPFdt00ttMdtLL00ttFdtPP与动量定律在方式、结构上一致。与动量定律在方式、结构上一致。角动量定律的积分方式角动量定律的积分方式冲量矩冲量矩冲量冲量0MMrF其中其中为为和和的倾角的倾角rFMrFr
7、FrFrF力对某一固定点的力力对某一固定点的力矩的大矩的大小等于此力和小等于此力和力臂的乘积。力臂的乘积。Fr有心力对力心的扭矩为零。有心力对力心的扭矩为零。在直角座标系中，扭力在各座标轴的份量为：在直角座标系中，扭力在各座标轴的份量为：关于扭力关于扭力上式亦称为力对轴的扭矩。上式亦称为力对轴的扭矩。仍然指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。仍旧指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。xyzijkFFFxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF讨论讨论落体运动中质点对同一落体运动中质点
8、对同一参照点的角动量和扭矩参照点的角动量和扭矩试问：企鹅从试问：企鹅从A做自由落体运动的过做自由落体运动的过程中，对于程中，对于O点的角动量为多少？点的角动量为多少？质心矩质心矩FFFF一对等大反向的力作用于对称中心的转矩。一对等大反向的力作用于对称中心的转矩。2MRF2MFdd质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动量的矢量和。的角动量的矢量和。5.2质点系的角动量定律质点系的角动量定律11nniiiiiLLrp研究方式：研究方式：先对每位质点应用角动量定律，之后先对每位质点应用角动量定律，之后对所有
9、质点求和。对所有质点求和。对质点对质点i应用角动量定律：应用角动量定律：1,niiiiijjjidLMrFfdt对质点系中所有质点求和，则有对质点系中所有质点求和，则有11nniiiiLLLddd11nniiiiiijjirFrffijfjirirjFiFjO1nintiijijiMrf1nextiiiMrFjiijffijrrijfri-rjfijfjirirjFiFjOextdLMdt则有：则
10、有：若质点若质点((系系))所受外力对某固定参照点的扭矩矢量和所受外力对某固定参照点的扭矩矢量和为零，则质点为零，则质点(系系)对对该固定点的角动量守恒。该固定点的角动量守恒。角动量守恒定理角动量守恒定理依据动量定律：依据动量定律：dLMdt若若0ML经常矢矢量量5.3角动量守恒定理角动量守恒定理质点质点((系系))所受的合外力为零；所受的合外力为零；合扭力为零。合扭力为零。在有心力的作用下在有心力的作用下,,质点质点((系系))对力心的角动对力心的角动量都是守恒的；量都是守恒的；匀速直线运动的质点匀速直线运动的质点((系系))对任意固定点
11、的对任意固定点的角动量都是守恒的。角动量都是守恒的。讨论讨论用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其直径为周运动，其直径为r0，角速率为，角速率为0。现通过圆心。现通过圆心处的小孔平缓地往下拉绳使直径逐步降低。求处的小孔平缓地往下拉绳使直径逐步降低。求(1)当直径缩为当直径缩为r时的角速率；时的角速率；(2)此力作功几何？此力作功几何？解：mr0rov以小孔以小孔o为原点为原点绳对小球的拉力为有心力，绳对小球的拉力为有心力，则小球对则小球对o点的角动量守恒。点的角动量守恒。其转矩为零。其转矩为零
12、。初态初态末态末态角动量守恒角动量守恒所以所以2000Lmr2Lmr2200mrmr2002rr按照动能定律，此力的功为：按照动能定律，此力的功为：0()2200112rmvr2201122mvmvkWE可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。星体的形状可能与此有关。星体的形状可能与此有关。星体（银河系）的初期可能是具有角动量的大质星体（银河系）的初期可能是具有角动量的大质量气团，在引力作用下收
13、缩。轴向的收缩不受什量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻挠，很快塌缩。径向却不这么容易，因此像么阻挠，很快塌缩。径向却不这么容易，因此像银河系这样的星体呈扁平状。银河系这样的星体呈扁平状。银河系银河系Hereis我们的太阳我们的太阳仙女座星体仙女座星体(220万光年万光年)一颗月球卫星，近地点一颗月球卫星，近地点181km，速度，速度8.0km/s，远地点远地点327km，求卫星在该点的速度。，求卫星在该点的速度。解：角动量守恒角动量守恒近地点近地点11vr远地点远地点22vr则则2211mvrmvr7.83km/s1212r
14、vvr63701818.0且且Istheofabouttheotherfocusoforbit?Why?NO!1r1v2r2v这就是为何慧星运转周期为几六年，而经过太阳这就是为何慧星运转周期为几六年，而经过太阳时只有很短的几周时间。慧星接近太阳时势能转换时只有很短的几周时间。慧星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。在在低轨道上运行的月球卫星低轨道上运行的月球卫星因为大气磨擦阻力对地因为大
15、气磨擦阻力对地心的矩不为零，其心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒对地心的角动量不守恒。在此力。在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减少，最后陨落矩的作用下，卫星的角动量值不断减少，最后陨落地面。地面。角动量守恒是自然界的普遍规律角动量守恒是自然界的普遍规律从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发觉例子。从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发觉例子。角动量守恒角动量守恒、动量守恒动量守恒及及机械能转换与守恒定理机械能转换与守恒定理并并称为称为三大守恒定理三大守恒定理。dLMdtextdLMdtxyzijkPPPxyzijkFFF角动量：角动量：扭力：扭力：质点角动量定律：质点角动量定律：质点角动量定律：质点角动量定律：角动量守恒条件：角动量守恒条件：0extM0M00ttMdtLL冲量矩冲量矩What?