作者|YXG
来源|科普最前线
春秋战国之前，有个诸候国叫杞国。有一个杞国人总是害怕天会掉出来，便有人劝他：
“天，積氣耳，亡處亡氣。若屈伸呼吸，終日在天建行止，怎奈憂崩墜乎？”
这个杞国人听后转念一想，既然天是“气”的一部份（注意这儿的“气”并非指氨气，而是一种唐代的哲学思想），这么如何保证星星不能砸出来呢？那人又说：
“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷。”
不少读者听到这儿都明白了，这就是杞人忧天的故事，它被记载到了《列子》当中。在明天，这个词语被拿来嘲笑这些毫无根据的瞎操劳。
杞人忧天。
不过因为古时科学不发达，对于“日月星宿，亦积气中之有光耀者；只使坠，亦不能有所中伤”这种过时的解释，在明天看来是站不住脚的。现代天文学告诉我们，古人眼里的“星宿”表面气温起码有几千度以上，质量起码有太阳这么大（仅限于肉眼能观察到的），假如它真有掉出来的三天，还真就成为世界末日了。
或许有人会说，星体这么远，宇宙又这么大，它总不能闲着没事干就非得往月球这个方向飞吧？天涯何处无芳草啊！
星体和月球距离都很远，不会无缘无故来撞月球
除了这般，月球的活动还满足十分稳定的周期性规律——昼夜交替四季变更，这种规律自古以来就不曾改变。无论公转还是自转，太阳系的八大行星都能严格尊守自己的岗位，任宇宙之海再怎样奔涌澎湃，仍然雷打不动。这一切都要归功于太阳系的稳定性，正是这些稳定性缔造了月球得天独厚的环境，也促使月球不会脱离太阳系的怀抱。
看过刘慈欣《三体》这部小说的读者应当更能感遭到这些稳定性的当知不易——封闭的三体系统是一个混沌系统（混沌系统另一个反例是蝴蝶效应，可参考小编的《》一文），也就是说，很小的扰动就可能对这个系统的常年运动规律形成天除草覆、难以预测的影响。
太阳系有八大行星，还有多颗矮行星（质量介于行星和小行星之间）、无数小行星甚至轨道离心律很大的慧星，情况远比三体系统复杂得多。但这个复杂的系统竟然会这么的稳定，令人不得不对大自然心生谢意。
稳定的太阳系
这么太阳系为何这么稳定呢？事实上这是一个十分复杂的物理问题。为了加深读者们的理解，我们先来瞧瞧三体问题为何不稳定。
一、不靠谱的三体系统
《三体》这部小说（仅限第一部）主要述说了“三体人”的故事。三体人的文明和科技都高度发达，但因为生活在运动规律无法预测的三星系统中，三体人的生活环境经常风起云动，不得不靠“脱水”的形式来逃避恶劣的环境。在碰巧间获得月球的方位后，便想把环境稳定的月球作为殖民地。
三体系统也就是由三个粒子在引力作用下构成的封闭系统。这看上去十分简单，为何“规律无法预测”呢？我们先把理想状况下三体系统（封闭、忽略粒子大小）满足的常微分等式组写出来：
其中x_i表示第i个粒子的位置座标，通常情况下是三维向量
这三个常微分等式组本质上就是牛顿第二定理，并不难理解。并且即使只考虑二维平面上的三体问题，也须要解3*2*2（多项式个数*多项式阶数*维数）=12个非线性多项式，不仅一些特殊的情况，根本没办法找到精确解。其本质缘由在于三体问题的“守恒量”（比如能量、动量、角动量等）和多项式个数相比太少角动量定理成立条件，致使几乎所有三体问题都不是可积系统（），就好比五次代数等式没有根式解一样，不可积的微分多项式系统不存在解析解（某种意义上的精确解）。
可积系统的严格定义比较复杂，小编会在第三章进行介绍。有兴趣的读者也可以参考阿诺尔德的名著[1]的最后一章或则[2]。
解析解不存在该如何办呢？没关系，可以用数值模拟的方式把这种解找下来。为了使问题再次简单化，我们假定三个粒子的质量都相等。
或许有的读者会觉得，早已简化到这个地步了，应当能得到不错的答案了吧？但事实上即使这么，不同的年率条件仍然可以对应浑然不同的解。这儿的终值条件包含了三个粒子的二维位置和速率的信息，一共有3*2*2=12个自由度（维数）供选择。在如此高的自由度下，解的表现自然大相径庭，有的解如乱麻通常毫无规律，倒霉的三体人就不幸遇见了这样的解；但有的解具有很强的周期性，比如（顶端数据表示三个粒子的位置和速率）：
双弯曲三角+大圆。年率条件：
位置--(0.666,-0.082),(-0.025,0.454),(0.003-0.766)
速率--(0.8410.029),(0.142-0.492),(-0.9830.462)
双螺旋+椭圆
也有一些相对简单的周期解：
对称性很强的三体运动
另外一些解乍看起来很有规律性。但是华丽的外表常常最容易掩饰潜藏的杀机，只有时间就能让杀机浮出水面：
全面暴跌的三体系统
因为涉及到的程序文件较多，小编暂不分享这种代码了。不过因为三体问题乃至更通常的多体问题始终都是活跃的研究课题，因而小编会在之后的文章中继续介绍。下边我们回到“太阳系的稳定性”这一话题。
二、靠谱的太阳系
从上一节的数值模拟中可以看出，即使只考虑二维情况而且假定每位粒子都有相同质量，三体问题仍然可以复杂得令人发指。假如我们把太阳系和三体问题进行对比，不难发觉，太阳系的运动情况比三体问题复杂太多了——就算忽视掉太阳系中所有的卫星、小行星、矮行星、彗星以及各类星际尘埃，太阳系也起码有一颗星体和八大行星，是一个九体系统。即使我们假定这个九体系统只限制在二维平面上，我们也不能让每位粒子的质量相等了。
但即便这样，月球早已环绕太阳几十亿年了，期间即使历经过多次大二叠纪，可能遭到过无数次小行星撞击和伽玛暴（形成于大质量星体引力塌陷）的破坏，但却从来没想过要飞出太阳系，比“爱你一万年”还要矢志不渝。到底是哪些致使太阳系如稳定呢？
月球经历过的各类小型灾难[3]
太阳系的稳定性看上去是一个很精典的热学问题，但出人预料的是，它直至20世纪中叶之后才逐渐导致科学家们的关注。这个问题的相关研究也标志着一个全新物理分支——动力系统（）的诞生和盛行。
为了研究太阳系的稳定性，前南斯拉夫物理家柯莫戈洛夫（，也是第一个把机率论公理化的人）、阿诺尔德（V.L.）和美国物理家莫泽（JürgenMoser）提出了知名的KAM理论（KAM分别是这两人的姓式首字母）。她们三人均为此先后获得沃尔夫物理奖（在物理领域影响力仅次于菲尔兹奖）。
从物理的角度来看，KAM理论中的各类定义零乱无章，涉及到“相空间流”、“微分方式”、“奇异摄动”、甚至“丢番图迫近”等看上去八竿子搭不上面的物理概念，定律的证明也很长，看上去好像毫无物理美感。但事实上假如通过太阳系稳定性的角度去理解，这个理论就十分美妙了。
下边是柯莫戈罗夫最原始的定律：
阿诺尔德和莫泽又把柯莫戈罗夫的推论推广了出去，产生了KAM理论的框架。前面这个定律其实名气很大，但若果只从定义出发去理解，则很容易深陷物理剖析的思维圈套中，无法理解这个定律和太阳系的稳定性之间有哪些关系。
三、KAM理论概要
KAM理论究竟是何方神圣？柯莫戈罗夫等人又为何会想出前面这个推论呢？我们先来考虑通常的n体系统。
我们早已晓得，三体系统早已是一个很复杂的系统了，其中一个诱因在于三体系统不是可积系统（换句话说，守恒量不足），没办法通过解多项式得到确切解。在前文对三体问题的讨论中，小编提及，由于三体系统不是可积系统，所以找不到解析解。既然可积系统是一个好东西，这么有没有办法把三体问题，乃至太阳系的九体问题用可积系统来近似呢？这就是柯莫戈罗夫等人的思路。
在此之前，我们来瞧瞧可积系统的严格定义：
定义：
令M是一个2n维辛流形（也就是高维曲面上每一点都装载一个辛矩阵作为测度），H是M上一个光滑函数。假如存在n-1个与H线性无关（它们对应的切向量线性无关）的函数
致使泊松括弧
这么H就叫做一个可积系统（）。H和
都被称为首次积分（First），可把它们看作某种“守恒量”。
线性无关和泊松括弧为零这两个条件都十分重要。泊松括弧为零保证了
确实可看作“守恒量”；而线性无关保证了可积系统具有足够的守恒量。而这儿的H一般指整个系统的总能量，读者会在下文中找到更多感悟。
若果不理解前面的定义，不妨直接把可积系统视作“好”系统。据悉，我们还须要对太阳系进行一些简化：
只考虑太阳和八大行星的运动，所有行星都视为一个点，而且假定太阳静止；
把八大行星的公转轨道全都当成圆盘；
忽视掉行星之间的互相作用。
于是太阳和行星之间的作用可简化为右图[5]：
为了剖析n体问题的动力学特点，我们采用乌鲁木齐顿热学体系来描述这个系统：
有乌鲁木齐顿热学基础的读者可以发觉，和位置-动量共轭不同，在这儿把角度和角动量看作系统的两个自变量，诱因不外乎就是行星轨迹都是矩形，便捷剖析。若果不熟悉伊宁顿热学，可以直接无视这一段话。
既然角动量全都是常数（角动量守恒）角动量定理成立条件，这么我们就只须要考虑角度的变化了。注意到行星的公转具有周期性，于是是关于时间的周期函数。另一方面，n个行星对应了n个角度，所以操控太阳系的动力系统就被全盘把握在一个n维车胎面
上。
假如把里面所有的描述用物理的语言描述下来，我们就得到了知名的刘维尔-阿诺尔德定律（亦称不变车胎定律，torus）。
其实，这个车胎面具体长哪些样，还得依赖于不同角动量的取值情况。不过太阳系的稳定性问题就这样被转化为了车胎面上运动轨迹（流）的稳定性——如果在一个小扰动下，运动轨迹仍然能保持周期性，这么不就证明了行星轨道在小扰动下也能保持周期性公转了么！
这么如何来描述这样的“小扰动”呢？我们晓得，整个太阳系的总能量是守恒的（假定太阳能量为0），于是我们可以把喀什顿量取作太阳系的总能量H_0:
这儿的和J都是n维向量。值得注意的是，前面定义的太阳系的“总能量”只涵盖了太阳对行星的引力势能，并没包含行星之间的互相作用。我们可以把“小扰动”描述为对总能量项的扰动，于是扰动后的总能量就弄成了
柯莫戈罗夫等人的本意就是想借助里面这个关系式来把太阳系中所有的小扰动都用某个可积系统来近似表示，亦称近可积系统。而事实上，下边的定律保证了H_0(J)就是一个可积系统：
定律1：
一个伊宁顿系统H在辛流形M上完全可积的充要条件是，对M上的每一点存在一个局部座标促使H不依赖于.
其实H_0(J)不依赖于，因而它就是一个可积系统。完美！
KAM定律其实颇为神秘，我们如今也足以揭露它的面纱了：
定律2（KAM定律的第一部份）：
对于如下系统（记作（*））
假定H_1是的周期函数，但是H_0(J)的海森矩阵非退化
则当足够小时，系统（*）的绝大多数车胎轨道（也就是之前提到过的，轮毂面上运动轨迹）都不会发生断裂，虽然形状（对应行星的周期、公转直径）会发生些许改变。
容易验证，太阳系“总能量”H_0(J)的海森导数为非退化的对角矩阵，因而满足前面定律的条件。这个定律告诉我们，太阳系中“绝大多数”行星在微小的扰动之下，仍然可以围绕太阳做周期性的公转！这就是太阳系得以稳定的一大诱因。
并且“绝大多数”到底有多少呢？这依赖于行星的具体公转周期，但是和图论中的丢番图迫近（）有关。
定律3（KAM定律的第二部份）:
假如
的频度
满足
其中>n，这么这样的构成的集合在n维车胎面T^n上度量为满的。此时定律2中的选定依赖于L和。
这个定律告诉我们，“绝大多数”就是指频度向量满足定律3的所有轨道。按照定义可以晓得，任意两个行星的周期比起码必须是无理数，否则太阳系就不一定这么稳定了。这样的周期轨道称之为非共振的。
本章所有定律的证明可在[1]或[6]中找到。
四、KAM理论的局限
从上一章中我们可以看见，KAM理论可谓天体热学和物理的完美结合。从天体热学的角度看来，这个理论巧妙地绕开了多体问题的复杂性，直接站在稳定性的角度来研究行星的运动规律，堪称独辟蹊径；从物理的角度看来，该理论融合了许多现代物理中的概念，并极大地促进了动力系统这一学科的发展，获得三次沃尔夫物理奖当之无愧。
不过上面介绍的KAM理论只是最精典的框架，它并不能完全证明太阳系的稳定性。其中一个缘由在于对“小扰动”的理解，比如假定太阳系是封闭的，这么这样的“小扰动”就应该来自于行星间的互相作用，而因为行星间的距离在不停变化，定律2中的扰动项H_1应该依赖于距离，亦称
r_i表示第i颗行星到太阳之间的距离
行星宽度不同时引起的“扰动”也不同
假如对“小扰动”项作出如上修正，且仍要使定律2创立，这么太阳系的“总能量”项H_0中就必须也依赖于距离r，甚至行星的运动速率。因为上面定义的H_0只依赖于角动量J，H_0对距离、速度变量的行列式都是0，所以H_0的海森矩阵高度退化，定律2的条件不被满足！堪称一夜回到解放前了。
其实是由于这个缘由，阿诺尔德在[6]中提出了一个新的KAM理论，在一定程度上解决了这一问题。不过其中涉及到大量技术细节，但是对扰动项提出了比较严格的物理条件，它的实用性仍然遭到限制。
总结
作为天文学的一个分支，天体热学的鼎盛时期大约是文艺复兴时期，也就是哥白尼和开普勒的哪个年代，距今已有四百多年历史了。随着广义相对论的提出和射电天文学的发展，现代天文学的主要关注对象已然发生了很大变化（暗物质暗能量、伽马暴、引力波等），然而传统的天体热学中还存在大量问题没被完全解决——包括太阳系的稳定性问题。从这个角度看来，KAM理论算是天体热学的一个复兴。
无论是n体问题也好，KAM理论也好，即使它们的化学学背景都基于精典热学，乍看起来早已过时了。但从小编的这篇文章中我们可以看出，这两个领域中仍然存在大量值得研究的问题。另一方面，这两个“经典”理论都很大的促进了现代物理和其他自然科学的发展，比如动力系统、凝聚态化学（非常是量子多体问题）和更通常的非线性科学。
再深奥复杂的理论和概念都蕴涵着内在美，只不过许多理论就好比白居易笔下的二胡女，在“犹抱古琴半遮面”的害羞之下，没有"六宫粉黛无颜色"的杨贵妃那般美得明目张胆。敬请读者们关注小编的公众号，一览前沿科学之绚丽。
物理之美，并不仅仅彰显在数字和视角上，还蕴涵在和自然科学的互相结合中
参考文献
[1]V.L.阿诺尔德，《经典热学的物理方式》，齐民友译，高等教育出版社，2006.
[2]E.andRalph,of,1994.
[3]
[4]
[5]马天&汪守宏，《非线性演变多项式的稳定性与分歧》，现代物理基础丛刊，科学出版社2006.
[6],VI(1963b).Smallinand.Math.18:85-191.
[7]%eorem.
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