“电磁场理论”或“电磁场与电磁波”是目前理工科电气、电子、通信以及光电信息科学与工程等专业大专生的重要基础课，理科数学专业大专生对应的类似课程为“电磁学”和“电动热学”。因为电磁场理论的具象性，本课程普遍被觉得是一门难教、难学的课程[1-3]。为了使中学生学好这门课程，许多文献提出了各类有针对性的方式，以提高本课程的教学疗效、降低教学难度。诸如：(1)选择合适的教材和采用合理的教学方法[1]；(2)借助几何图形以及电磁场仿真图形和动漫技术，采用形象化的教学方法帮助学生理解电磁场的概念和规律[4]；(3)强化实验课和实践课的教学环节[5]；(4)归纳总结电磁场的对称性和排比性特征[6,7]；(5)采用类比教学法，诸如：将矢量场类比为流体中的流速场[8]；研究借助电磁力与惯性力的相像性[9]；(6)注重电磁场与电磁波的理论知识在各个领域中的应用，关注电磁学相关化学效应的教学，迸发中学生的学习兴趣[10]等。
矢量剖析和场论是电磁场理论课程中的核心基础内容，有的文科高校将其单独开办为一门物理基础课程[11]，其主要内容包括标量场的梯度，矢量场的通量、环量、散度、旋度等基本概念，以及散度定律、斯托克斯定律和亥姆霍兹定律等基本矢量场定律。这种基本概念和定律提供了后续电磁场与电磁波课程内容的物理基础和“场”的基本思想，因此一般出现在相关教材的第一章[12-16]。
关于矢量剖析和场论与本课程教学之间的关系，已有一些文献进行了相关剖析和讨论，比如：文献[17]讨论了矢量剖析在数学规律中的应用；文献[3]和[18]讨论了几何图形及矢量图剖析在电磁场教学中的应用；文献[19]提出在电磁学教学中应指出“场”的数学思想和体系；文献[20]觉得电场线的两大性质是静电场两大定律(即高斯定律和支路定律)的形象叙述；等等。但目前尚未见有文献剖析和讨论矢量剖析和场论基础，非常是典型矢量场定律在电磁场理论课程教学中的重要作用。
本文在讨论场论基础知识与电磁场理论课程内容之间关联关系的基础上，提出在“电磁场理论”课程教学中应充分注重矢量场定律的普遍应用，因而可以帮助学生理解和把握本课程内容，有效增加本课程的教学难度，提升教学效率。
1场论基础与电磁场理论的关系
场是一种特殊的物质形态，是数学学中最基本、最重要的研究对象之一。“场”的概念和思想贯串于数学科学发展的一直，在宏观、微观化学，尤其是近代化学中，均离不开“场”的思想，包括引力场、流体场、电磁场以及场的量子理论和规范场等[21]；场论既是数学学，也是物理的重要组成部份和研究对象[11]。场论基础知识提供了上述各类形态化学场的通常概念和基本规律，它描述了各类数学场均具有的共同属性，因而学好矢量剖析和场论基础知识，正确理解和把握“场”的通常概念、思想、规律及其物理叙述，将有助于减少电磁场理论课程学习的难度，对于本课程教学具有重要指导意义。
电磁场是典型数学场之一，因此电磁场理论与场论之间是“特殊与通常”的关系。实际上，电磁场理论中的众多概念和定律均是按照场论基础知识来定义和推论得出的，比如：借助标量梯度的概念描述电位与电场之间的关系；借助矢量场的散度和旋度描述电场、磁场与其场源之间的关系；借助散度定律和斯托克斯定律，可以将麦克斯韦多项式的微分方式转换为积分方式，等等[12-16]。
因而在电磁场理论课程教学过程中，应充分注重矢量剖析与场论基础知识的普遍应用，擅于借助场论基础中的通常概念和定律剖析、理解和把握电磁场理论，便于减少本课程的教学难度，提升教学效率。
2矢量场定律在电磁场理论中的应用
矢量场F的散度是为了描述F在空间某点M附近的通量特点而引入的，它定义为点M处单位容积内充溢下来的矢量F的通量，即该点的通量源密度，其定义式为[12]
(1)
式中S为包围点M的任意闭合曲面，ΔV为S所限定的容积。
矢量场F的旋度是为了描述F在空间某点M附近的环流(量)特点而引入的，其大小等于该点处环流面密度的最大值，其方向是使环流面密度取得最大值的面元法线方向，其定义式为[12]
(2)
式中ΔS为经过点M的面元，C为ΔS的边界闭合路径，en为面元ΔS的正法线单位矢量。可见，点M处矢量场的旋度即是该点的旋涡源密度。
电磁场是一种典型的矢量场，矢量场的散度和旋度的概念仍然贯串于电磁场理论课程教学之中，比如：描述电磁场运动变化规律的麦克斯韦等式组是由电磁场量的两个旋度多项式和两个散度多项式组成的，因此可以借助电场、磁场的散度和旋度运算求解其场源；同时表明在无界、自由空间中的矢量场可以完全由其散度和旋度确定，这也是亥姆霍兹定律的核心内容。
矢量场的基本定律主要包括散度定律、斯托克斯定律和亥姆霍兹定律，这3个定律在电磁场理论中得到普遍应用；在教学过程中，要求中学生深刻理解并熟练应用这种基本定律，将有利于中学生顺利地理解和把握电磁场理论中的有关概念、规律和剖析方式，进而提升本课程的学习效率。
2.1散度定律的应用实例
按照散度定律，矢量场F的散度
在容积V内的容积分等于该矢量场在限定该容积的闭合面S上的面积分[12]，即
(3)
散度定律的典型应用实例主要包括：
(1)静电场高斯定律与稳恒磁场磁路连续性[12]。可以借助散度定律将上述定律的微分方式转换为积分方式。在电通密度(或电位移)矢量为D的视域内任意取一闭合曲面S，S所包围的区域容积为V，S内的自由电荷体密度为ρv，已知静电场高斯定律(麦克斯韦第四方程)的微分方式为
(4)
对式(4)两旁取容积分，并借助散度定律即可得出静电场高斯定律的积分方式，即
(5)
式中Qv为容积V内的自由电荷总数。
稳恒磁场是有旋无散场，即对于磁路密度矢量为B的任意闭合曲面S内任意一点，有
(6)
对式(6)两旁取容积分并借助散度定律可得
(7)
上式即为稳恒磁场磁路连续性定律(麦克斯韦第三方程)的积分方式。
(2)电压连续性多项式与基尔霍夫电压定理[12,16]。借助散度定律，可以依照电压连续性多项式的积分方式推导入其对应的微分方式。设某闭合面S所限定的容积V不随时间变化，且该区域内自由电荷体密度为ρv、传导电流体密度为Jc，则电压连续性多项式的积分方式为
(8)
按照散度定律可知
，故式(8)可写为
(9)
因为容积V是任意的，故依照式(9)可得出电压连续性多项式的微分方式，即
(10)
据悉，将式(5)代入式(8)等号右侧，并借助散度定律可得，
(11)
式中Jd和Id分别为位移电压密度和位移电压。式(8)等号右边为流入和流出闭合面S的所有传导电压的总和，即
(12)
式中Ic为传导电压。将式(11)、(12)代入式(8)可得基尔霍夫电压定理，即
(13)
式中Ij为传导电压或位移电压。
(3)坡印廷定律[12]。假定空间中闭合曲面S所限定空间图式V内的电场、磁场、电通密度、磁通密度矢量分别为E、H、D、B，电压密度矢量为J，则依照麦克斯韦等式组中的两个旋度多项式，以及矢量恒方程
可得，
(14)
式中w=(H·B+E·D)/2为电磁场的能量密度，对式(14)两侧取容积分并借助散度定律可得坡印廷定律的积分方式，即
(15)
(4)电磁场的动量守恒与转化定律[22]。假定介质中电磁场的动量密度矢量定义为
(16)
动量流密度张量(或电磁挠度张量)定义为
(17)
式中l为二阶单位张量，Jg为二阶对称张量，电磁场对自由电荷密度为ρ、恒定电压密度为j的静止带电系统的洛伦兹力密度为
(18)
则电磁场动量守恒与转化定律的微分方式为
(19)
对式(19)两侧取容积分并借助散度定律可得该定律相应的积分方式为
(20)
设gm为容积V内的总机械动量，考虑
式(20)可写为
(21)
上式等号右边表示容积V内所有带电体的机械动量和电磁动量之和的时间变化率，等号左边表示该容积表面所受的总的面积力[23]。
(5)电磁场的角动量守恒与转化定律[22]。假定电磁场的角动量密度矢量为
(22)
式中,r为场点位置矢量，角动量流密度张量为
(23)
则在各向同性介质中，电磁场的角动量守恒与转化定律的微分方式为
(24)
对式(24)两侧取容积分并借助散度定律可得该定律相应的积分方式为
(25)
等号左边的容积分表示单位时间内他者V中总机械角动量(r×gm)的变化量。
2.2斯托克斯定律的应用实例
按照斯托克斯定律，矢量场F的旋度
在曲面S上的面积分等于该矢量场在限定曲面S的闭合曲线C上的线积分[12]，即
(26)
斯托克斯定律的典型应用实例主要包括：
(1)麦克斯韦第一、第二多项式[12]。麦克斯韦第一方程(即安培支路定律)的微分方式为
(27)
对式(27)两旁取面积分并借助斯托克斯定律可得对应的积分方式，即
(28)
麦克斯韦第二多项式(即法拉第电磁感应定理)的微分方式为
(29)
对式(29)两旁取面积分并借助斯托克斯定律可得对应的积分方式，即
(30)
(2)磁路量的估算式[12]。按照磁路密度B与矢量磁位A之间的关系式
和斯托克斯定律可得借助A估算磁路量Φ的公式，即
(31)
据悉，按照式(30)、(31)和斯托克斯定律，可以推导入基尔霍夫电流定理[16]。
2.3亥姆霍兹定律的应用实例
按照亥姆霍兹定律，若矢量场F在某闭合面S所限定的有限空间区域V内处处单值，且其行列式连续、有界，场源分布在区域V内，则该矢量场由其散度、旋度及其边界条件惟一确定，且矢量场F(r)可表示为标量场u(r)的梯度的负值与另一矢量场A(r)的旋度之和[15]，即
(32)
式中u(r)和A(r)的表达式分别为
(33)
(34)
式中r、r′分别为场点、源点的位置矢量。
亥姆霍兹定律的核心内容是自由空间矢量场完全由其散度和旋度确定，这可以拿来演绎和理解为何4个麦克斯韦多项式组是关于电场硬度和磁感应硬度的散度和旋度的。许多文献剖析讨论了亥姆霍兹定律在电磁场理论中的应用，比如：文献[24]从亥姆霍兹定律出发,揭示了电位移与场源之间的内在联系。文献[25]讨论了该定律在电磁场理论中的贯串作用，觉得按照亥姆霍兹定律，可以由麦克斯韦多项式组自然地引出标量电位和矢量磁位，并可便捷地导入库仑定理或毕奥-萨伐尔定理，以及位函数与场在自由空间的积分表达式。
据悉，文献[26]讨论了亥姆霍兹定律在求解静电场边值问题中的应用，可由亥姆霍兹定律直接导入静电场电位边值问题的通常积分解表达式，其推论过程简单明了。文献[27]从亥姆霍兹定律出发，合理导入静态与时变电磁场问题求解所须要的基本多项式，并基于不同类型电磁场的特点给出对应的定解条件；因为静态和时变电磁场的不同特点，其所要求的边界条件有所减小，即按照静电场的无旋性，其边界条件只需给定电场的法向份量，按照恒定磁场的无散性，其边界条件只需给定磁场的切向份量，对于时变电磁场，因为电场与磁场的互相耦合，边界条件只需给定电场或则磁场的切向份量。
3结语
高斯定律是矢量场中闭合曲面积分与其所限定区域的容积分之间的一个变换关系；斯托克斯定律是矢量场中的闭合曲线积分与其所围曲面积分之间的一个变换关系；亥姆霍兹定律表明，一个矢量场所具有的性质可由其散度和旋度来描述，上述应用实例表明，这种矢量场定律普遍存在并一直贯串于“电磁场理论”课程的众多内容之中，因而在“电磁场理论”课程教学中应充分注重那些矢量剖析与场论基础知识的广泛应用。
在多年的电磁场理论课程教学实践过程中，通过在引言课及场论基础课中提醒中学生注重上述矢量场定律的学习，并在后续课堂教学中提醒中学生学会灵活运用上述场论基本概念、矢量场定律剖析和理解电磁场理论，可以使中学生更便于理解和把握所学电磁场理论，做到融会贯通，因而可以有效减少本课程教学与学习的难度、提高教学效率。
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基金项目:广州民航航天学院仪器科学与光电工程大学教学变革项目(2015年立项，名称“电磁场与电磁波”课程建设)。作者谢谢审稿专家对本文提出宝贵更改意见。
作者简介:李长胜，男，上海民航航天学院副院长，主要从事电磁场理论、物理光学等课程教学工作，研究方向主要为光学传感器技术与光学元件，。
引文格式:李长胜，周震，冯丽爽.注重矢量场定律在电磁场理论教学中的应用[J].化学与工程，2019角动量定理公式推导，29(2)：39-44.
END