趣
说
工
学
第五期·开普勒定理
与万有引力定理
2022/1/4
Lawof
'sthreelaws
眉目间，茫茫飞雪，接吻大地最后一抹秋景。
举首处，渺渺星河，藏青色映衬着夜的呢喃。
大到宇宙星云，小到世间微尘，万事万物都被联系在一起，无影无形，无声无息……
影若不能相依，愿星辰和你，在梦里……
——格拉斯小镇调香师
小时候，我们便听老师讲过牛顿在桃树下发觉万有引力定理的故事。当煮熟的苹果从吐蕊掉落，砸疼的是牛顿，砸出的却是人类对于自然界的认知。
趣说工学·第五期
当我们在体测中进行立定跳高时，肯定都希望万有引力消失一秒钟，其实，这是不可能的。万有引力是宇宙中最基本的斥力，只要具有质量的两个物体存在，它们之间就必将存在万有引力。
在生活中，万有引力非常常见，不过大多都是大地“吸引”物体，人与人之间基本是体会不到万有引力的存在的。并且放眼宇宙，当两个客体是行星和星体时，它们之间的万有引力才会显得非常巨大。这个力如同一个绳子一样，将两个天体绑在一起，使行星绕星体做周期性运动。
随着我们年纪的下降，学习的深入。我们晓得了行星的运动是符合开普勒三大定理的。
在小学阶段，我们晓得万有引力定理配上曲线运动公式可以推出开普勒三大定理。而且把万有引力定理和开普勒定理结合上去，我们就可以比较确切地描述一个天体的运动。
这么在本期趣说工学中，我们将比较深入的去理解万有引力定理的推论过程和开普勒定理及万有引力定理的应用。诸如在已知行星的运动轨道为椭圆的条件下，我们能够可以借助开普勒三大定理推出万有引力定理呢？这便是我们本期趣说工学即将讨论的问题之一。
限于篇幅，还有好多的知识须要朋友们在今后的学习中去探求。话不多说，如今就让我们一起，开始本期趣说工学的讨论吧！
目录
行星的运动
①万有引力定理
②开普勒定理
有心力
①力矩
②动量矩
③动量矩定律和动量矩守恒定理
④有心力
#有心力为保守力的证明
轨道微分等式——比耐公式
①利用比耐公式求轨道多项式
②极座标系中的圆柱曲线多项式
③利用能量判据求轨道多项式（选读）
开普勒定理与万有引力定理
①利用开普勒三大定理与比耐公式推论万有引力定理的物理方式
平方正比引力与稳定性
①随遇平衡与稳定平衡
②平方正比引力与圆轨道的稳定性
行星的运动
01
万有引力定理
在学校阶段我们便学过：世界上的物体，大到天体，小到尘埃，即一切具有质量的物体，就会遭到一种力的作用。这个力便被我们也称万有引力，而这个规律，我们就把它称作万有引力定理。
这个伟大的定理，是由美国科学家牛顿发觉的；后人在牛顿的发觉的基础上对万有引力定理进行了建立，并设计实验测定了引力常量G，最终给出了万有引力定理在国际单位制下的表达式：
万有引力定理的文字叙述为：
“任何两个质点都存在通过其连心线方向上的互相吸引的力，该引力的大小与它们质量的乘积成反比，与它们距离的平方成正比，且与两物体的物理组成和其间介质种类无关。”
--《自然哲学的物理原理》
事实上角动量定理公式推导，万有引力定理的推论过程饱含了坎坷。在历史上，伽利略早在1632年就提出了离心力和向心力的初步看法。贝里阿德在1645年提出了引力平方正比的思想。万有引力与相作用的物体的质量乘积成反比是从发觉万有引力平方正比定理过渡到发觉万有引力定理的必要阶段。
艾萨克·牛顿从1665年到1685年，花了整整二六年的时间，才顺着离心力——向心力——重力——万有引力的概念的演变次序，总算提出“万有引力”这个概念和词汇。
1665—1666年间牛顿只用离心力定理和开普勒第三定理，因此只能证明圆轨道上的而不是椭圆轨道上的引力平方正比关系。在1679年，他晓得运用开普勒第二定理，并且在证明方式上没有突破，仍逗留在之前的水平，数年以后，牛顿才按照开普勒第三定理、向心力定理和物理上的极限概念、微积分概念，才用几何法证明了这个困局。
02
开普勒三大定理
开普勒定律是由英国天文学家开普勒提出的关于行星运动的三大定理。第一和第三定理发表于1609年，是开普勒从天文学家第谷观测火星位置所得资料中总结下来的；第三定理发表于1619年。这三大定理又分别名为椭圆定理、面积定理和调和定理。
椭圆定理：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
面积定理：行星和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
调和定理：所有行星绕太阳一周的时间的平方与它们的轨道半长轴宽度的立方成比列，即：
随后，学者们把第一定理更改为：
“所有行星（和慧星）的轨道都属于圆柱曲线，而太阳则在它们的一个焦点上。”
第二定理只有在行星质量比太阳质量小得多的情况下才是精确的。假如考虑到行星也能吸引太阳，这便是一个二体问题。
经过修正的第三定理的精确表达式为：
其中m1,m2为两行星的质量，m0是太阳的质量。
有心力
顾名思义，有心力，即斥力存在一个“力心”。
对任意一行星而言，它所遭到的力主要是太阳对它的引力。而这引力的作用线则仍然通过太阳的中心，人造月球卫星也是这样，它所遭到的力几乎仅仅是月球对它的引力，这引力的作用线，也是一直通过地心的。
通常来讲，假如运动质点所受的力的作用线仍然通过某一个定点，我们就说这个质点所受的力为有心力。有心力在量值上通常是矢径r（质点和力心之间的距离）的函数，而力的方向则一直顺着质点和力心的连线，凡力趋于定点的是引力，离开定点的是作用力。
★
补
充
★
扭力
我们在中学阶段在研究杠杆问题时就引入了“力臂”的概念，它指的是“作用在杠杆上的力的末端向杠杆所在直线引的垂线的宽度”。
我们晓得如图所示杠杆的平衡条件为：
我们把
称作F1，F2的力臂，我们把乘积
称作F1，F2的扭矩，用矢量积的方式，我们可以把转矩写成：
取矢径L的方向为支点指向力的作用点。
动量矩
我们仿造扭矩的定义，来定义动量矩。
假定有一个物体正在做速率为v的运动，我们在它周围选定一个参考点O，过O作一条轴l，物体可看作质量为m的质点。
定义矢径r的模长为质点到轴l的距离，r的方向为由轴指向质点m。
所以m的动量矩为：
动量矩定律和动量矩守恒定理
在小学阶段，老师教给我们：“力作用在质点上，通常会使物体的动量发生改变。”我们不妨推测：扭力作用在质点上也会使质点的动量矩发生改变，由于她们是一一对应的。这么接出来让我们来验证一下，这样的猜测是否正确？
扭力M等于r和F的矢量积，为了求出力矩M所形成的疗效，我们用位矢r矢乘运动多项式：
的左侧，就得到：
由复合函数导数法则可知：
在第二期运动剖析中，我们讲过：
即矢量函数在某一点的行列式也是一个矢量，且该矢量与该点的原矢量垂直，所以由矢量积的计算法则知：
则我们得到：
因而，
假如把上式写成份量表达式的方式，
则有：
可以写成上述方式，是借助了导数的知识：
其中i，j，k分别是x，y，z轴方向的单位矢量，之后借助矢量相等时对应份量系数相等的知识即可得到份量表达式。
所以，扭力确实能使动量矩发生变化，这些关系，叫作动量矩定律，也叫作角动量定律。即“质点对惯性系中固定点或某固定轴线的动量矩对时间的微商（行列式），等于作用在该质点上的力对此同点或同轴的扭矩”。
假如令J代表动量矩，M代表扭矩，则动量矩定律可以写成：
它的积分方式为：
上式的右边我们就把它叫作冲量矩，故质点的动量矩变化，等于外力在该时间内给以该质点的冲量矩。
假如质点不受外力作用，则对该点来讲，质点的动量矩为一常矢量，这个关系，我们叫作动量矩守恒定理，或则角动量守恒定理。
在补充了扭力和动量矩相关的知识后，我们可以继续研究有心力了。
在有心力的作用下，质点仍然在一平面内运动，由于F与位矢r共线，r×F=0，J为常矢量。依据我们刚才补充的知识，质点满足角动量守恒定理的条件。
而有心力F的量值通常是径矢r的函数，即：
或则
在直角座标系中，以力为原点，质点的运动平面为xy平面，则质点的运动微分等式为：
其实r²=x²+y²，m为质点的质量，可以看出，用上式来研究有心力是非常不便捷的。所以，我们可以尝试使用极座标系来研究这个问题。
在第二期中，我们提出了质点在极座标系中的加速度份量：
所以，我们可以由此写出质点在极座标系中的运动微分等式：
注意到第二式可以通分，即：
两边积分得：
又可以写为：
其中h为常数，如今我们来理解上式的数学意义。
在第二期中，我们给出了极座标系中质点速率的表达式：
所以动量纵向分矢量的量值为：
径向分矢量的量值为：
由于径向分矢量通过O点，即对O点的动量矩大小为0，而动量的纵向份量对O点动量矩的量值
同时也为整个质点对O点动量矩的量值，所以式：
也就是在极座标系中有心力动量矩守恒定理的物理表达式。
事实上，对有心力来讲，外扭力r×F=0，动量矩J是一常矢量，它的份量其实也是常量。
用有心力动量矩守恒定理替代运动微分等式的第二式，我们就可以得到等式组：
这便是在有心力作用下质点应当满足的等式组。
★
补
充
★
有心力为保守力的证明
要证明一个力为保守力，即证明该力做的功与路径无关。诸如重力就是保守力，引力也是保守力。这么接出来我们开始证明有心力也是一个保守力。
有心力做功的量值为：
我们可以在极座标系中对力进行分解：
同理，我们也可以对元位移作同样的分解：
所以在极座标系中，做功的表达式为：
在之前的讨论中，我们得到：
则积多项式可以通分为：
其实，F（r）的原函数一定存在，所以该定积分的值只与起点和终点所对应的矢径r有关，和路径无关。（这儿要和我们所学的定积分所区分开，由于A,B是位置的意思，代表在实际存在的曲线上进行积分运算。r1，r2是位置所对应的积分限，相当于把在实际存在的曲线上的积分迁往了座标系轴上进行求图象面积的运算，所以从A→B不管是任何路径，所对应的积分限都是一样的。又因为原函数是确定存在的，所以彰显下来的结果就是函数图象与座标轴围成的面积即积分结果总是一样的。）
或则我们可以借助第三、四期中旋度的知识，判断该力是否为保守力，即判定：
是否恒创立，为了证明该式创立，我们把上式在平面极座标系中的份量写下来：
令：
故：
所以有心力是保守力。
但是一定存在势能V，使有心力满足：
上式左边除去减号后，我们称它为标量场的梯度（梯度是函数的方向行列式在某点取得最大值所决定的向量，其量值大小就是该点方向行列式的最大值。）
又因为势能差与原点选定无关，故：
这时势能函数V其实也只是矢径r的函数，即V=V(r)，至于机械能守恒定理其实也是创立的，它的具体表达式是：
其中E是质点的总能，它是一个常量。
轨道微分等式——比耐公式
在第二节中我们提出了质点在有心力作用下的运动微分等式组：
这么我们就可以提出猜测：从这个等式组出发，我们是否可以求出质点的运动轨迹等式r(θ)=r？
对于多项式组中的每位等式，我们都可以通过解微分多项式，因而求得参数多项式：
然而在好多情况下，我们并不能得出这样的显函数，而是只能把她们表示为关于t的隐函数。
这么我们可不可以对上述多项式进行变型，因而导入质点的轨道微分等式呢？
虽然是可以的，由于在热学问题中，欲求轨道多项式，一般都是先求运动规律，之后再从运动规律中把t消掉。而在有心力问题中，我们可以采用另外一种方式：就是先把参数t消掉，再尝试求运动规律。
由这些思路，我们不妨先从等式组中消掉角量θ。
为了易于估算，我们一般会做如下换元，令：
代入等式组第二式，得：
又由于：
代入
得：
同理我们可以求得：
把
代入等式组第一式，即得：
这个公式我们就称作比耐公式。当F为引力时F为乘号，反之则为正号。我们借助这个公式，除了可以在已知力的条件下求出轨道多项式角动量定理公式推导，也可以从已知质点在有心力的作用下的轨道多项式，求出有心力F(r)的具体方式。
★
补
充
★
借助比耐公式求轨道多项式
为了便捷估算，我们把太阳和月球都看作质点，但是我们令太阳的质量为ms，行星的质量为m，则万有引力定理知太阳和行星之间的斥力可以写为：
式中G为万有引力常量，k²=Gms是一个与行星无关的而只和太阳有关的量，称作太阳的高斯常数。R为月球中心与太阳中心的距离，把万有引力定理表达式代入比耐公式中得：
即：
假如我们令：
这么原式变为：
于是我们接出来的主要任务便是求解这个微分等式。
若我们令：
则微分等式可以写为：
我们用ξ的一阶导乘等式两边，得：
写成积多项式，即：
借助分部积分法，把上述积分完成，得：
其中C为积分常数，再把dθ除以一侧，开方得：
再度积分，得：
所以我们可以得到：
这儿的调整运用了三角函数的诱导公式。
而：
或则：
式中A和θ0是两个积分常数，假如我们自动旋转调整极轴，就可以促使θ0=0，上式就可以通分为：
假如令：
这么上式就可以写为：
这是原点在焦点上的圆柱曲线在极座标系中的等式。
★
补
充
★
圆柱曲线在极座标系中的等式
在小学，我们学习了圆柱曲线在直角座标系中的标准多项式，这么当我们采用极座标系时，它们的表达式会弄成哪些样子呢？
虽然，只用使用几何法加上简单的估算方法，我们便可以推导入圆柱曲线在极座标系中的多项式（以椭圆为例）。
P为正焦弦宽度的一半，r为焦点和曲线上一点的距离，半焦长为c，半长轴长为a，θ为r与x的倾角，则我们可以写出准线多项式：
把点（c,p）代入椭圆在直角系的标准多项式：
得到：
所以我们可以把准线写为：
也可以把半焦长写作：
借助椭圆的第二定义，我们可以得到等式（取左边焦点）：
通分即得：
此时极座标系的原点为左边焦点。
★
选
读
★
用能量判据求轨道多项式
这一点还是须要围绕有心力的性质来展开，我们在之前的讨论中得出了有心力是保守力的推论。这么机械能守恒定理应该组建，我们就想，能够借助总能E来作为判据呢？这么我们如今就来讨论这个问题。
其实了，前提条件为F(r)的方式已知，我们来尝试求出势能的具体方式V(r)。
后面提及：
在有心力函数中，V只能是r的函数，则：
所以：
取无穷远为势能零点，则引力势能为：
所以机械能守恒定理就可以写成：
如今，我们来想办法消掉dt这一项：
作如下变换：
又由于：
再代入机械能守恒定理中得：
接出来我们分离变量，得：
我们可以借助积分公式：
对原式积分，得：
之后解出r，即：
与标准多项式：
比较即知：
所以：
①E＜0，e＜1，轨道为椭圆。
②E=0，e=1，轨道为抛物线。
③E＞0，e＞1，轨道为双曲线。
开普勒定理与万有引力定理
前三节我们注重讲解了有心力的性质其相关应用，但是借助有心力的知识，给出了质点在有心力作用下的轨道微分多项式——比耐公式。
这么在这一节中，我们将借助开普勒三大定理及比耐公式，尝试推导入万有引力定理。
由开普勒第二定理，晓得单位时间内，径矢所扫过的面积A相等，即：
我们来尝试求出面积关于时间t变化率的表达式：
P1和P2是行星运行时，其轨道上的两相邻位置。当P1和P2非常近时，扫过的面积与三角形OP1P2’的面积近似相等，即：
则：
故：
由已知条件得：
均为常数，则行星对太阳的动量矩守恒，即行星所受的力对太阳的扭矩为0，则行星受力必为有心力。
如今，我们由开普勒第一定理得：
轨道为椭圆，取右焦点为极点，多项式为：
或则：
把此关系代入比耐公式，并注意到：
所以：
故：
上式表明，行星所受的力与距离的平方成正比。
但至此还有一个问题，式中的系数：
并不一定是一个定值，并不能说明该式即是万有引力定理。
所以我们还是得用到开普勒第三定理。
我们借助之前得到的多项式：
作积分，得：
当径矢扫遍整个椭圆后，A=πab，所需时间为T，则：
而：
由于
故：
按照开普勒第三定理，上式右边是一个与行星无关的常量，所以即使h和p都是和行星有关的量，而且上式右边（p/h²）是与行星无关的常量。
若令：
这么引力我们就可以写成：
这就是万有引力定理的物理表达式。
平方正比引力与稳定性
不晓得你们有没有这样的一个疑惑：为何引力偏偏满足平方正比规律，莫非立方正比规律就不行吗？
虽然要解答这个问题，我们只须要再度抬头凝望星空。这时侯我们都会发觉：日月星辰运动不息，但却没有做不规则不稳定的运动，不难想到行星的运动应该处于一种相对稳定的状态。
这些稳定我们在化学上称作平衡。
例如空地上有半球体，底部放置一个球，整个系统可以处于受力平衡的状态。
然而这些平衡是不稳定的，我们给球一个水平方向的微小扰动，球都会丧失平衡，从而从柱体上坠落。
然而若把球放进一个半方形碗中，如图：
不论我们给球一个如何的微小扰动，并且只要保证球仍然在碗内，最终球就会趋向一个平衡状态。
我们称第一种平衡称作随遇平衡，第二种称作稳定平衡。
这么为了探明引力为什么服从平方正比规律，我们就可以从行星运行轨道的稳定性入手讨论。
为了便捷，我们讨论方形轨道的稳定性。
对于矩形轨道来说，参数：
恒为常数，由中学知识可知若运行轨道为方形，则速度大小处处相等，即：
引入角量θ，得：
或则：
故二阶行列式：
代入比耐公式：
得到质点在有心力作用下运行轨道为圆轨道时应该满足的等式：
其中：
表示的是质点单位质量上所受的吸引力。
接出来我们来探究，若给质点一个微小的扰动，是否会影响质点运动的稳定性。
令年率：
其实满足
引入扰动：
式中的ξ及其微商我们均可以觉得是很小的微量，把扰动代入比耐公式，得：
这样显著一眼是看不出结果的，所以我们须要用到万能的泰勒公式，把里面多项式的两侧展开成为级数：
注意到由于ξ是一个无穷小量，这么：
对级数合并单项式，得：
其中：
取一阶微量，并引入常数
可以把
写为：
C2为另外一常数，其值对问题的性质无关。
接出来我们来研究当C1取不同的值时对该微分等式的解的影响。
我们令：
①当C1
用ξ’乘右侧，得：
两边同时积分，借助分部积分公式，得：
即：
通分得：
开方，分离变量得：
积分：
完成上述积分，得：
其中θ0是积分常数，求出ξ得：
用三角函数诱导公式展开，并用A,B表示系数得：
之后我们完成另外两种情况的求解，把总解列在下边：
只有在当C1＞0时，ξ的表达式才能始终保持在小量状态。另外两表达式的ξ值就会随着θ的减小而减小，最终趋向无穷。
因而，当矩形轨道上运行的质点满足：
时，就会渐趋稳定。
所以
在特殊情况下，我们考虑引力与距离的n次方成正比的情况。即：
这么很容易得到：
代入C1＞0得n＜3。
所以只有当n=-1或n=2时吸引力能够给出稳定的方形轨道。且n=-1时，力与距离成反比；n=2时，力与距离的平方成正比。
所以万有引力就会满足平方正比规律。
参考书目
①《理论热学教程》第四版——周衍柏
高等教育出版社
②《高等物理》第七版——同济学院物理系
高等教育出版社
③《微分几何》第四版——梅向明/黄敬之
高等教育出版社
④《高等代数》第五版——北京学院物理系
高等教育出版社
⑤《线性代数》第六版——同济学院物理系
高等教育出版社
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供稿|土木工程与热学大学融媒体中心网路工作室
编辑|季怿慧
校对|蒋煜
初审|朱佳君张驰豪王若冰陈立伟