常常看球类比赛的同志们一定晓得一句话，称作“国足谁都赢不了，国乒谁都赢不了！”，这句话内涵相当丰富（笑ing）。曾有过这样一名国乒球员，凭一手“魔鬼回旋球”，成就“发球一次得一分，仍然击球仍然得分”的神话，他便是曾在2008年上海全运会上过五关斩六将，博得女子兵乓球单打金牌的老队员——马琳
所谓“魔鬼回旋球”，也叫“零式击球”，是让兵乓球在发出后“不颁布”，反倒向球网回滚的急下旋击球。这些球过网高度低，前冲性小，下旋强烈，通常的反胶选手很容易“扎网吃球”。
来来来，我们来瞧瞧马琳的“魔鬼回旋球”！
我们看见，兵乓球被发出后，居然奇迹般地跑了一个“U”形的路线!
这个“U”形“魔鬼回旋球”究竟是怎么做到的？兵乓球被发出后又是怎样产生“U”形轨迹的呢？这样的问题迸发了好多化学学者的好奇心。并且，这种问题研究上去有一定的难度。我们看见，兵乓球在运动过程中会与球台发生碰撞，而且在碰撞时就会遭到磨擦力的作用，运动情况相当复杂。而数学学力求“简单美”，我们也希望所研究的数学模型愈发简单但不失严格性。我们就不妨先不去研究兵乓球与球台的那极其复杂的碰撞过程，转而去研究一种类似的但同样非常奇妙的运动——乒乓球在水平面内的“回滚”运动，这个运动就相对地简单了许多。
兵乓球的“回滚”运动很容易能够实现:我们把兵乓球置于椅子上，按压兵乓球的中后部，把兵乓球“搓”出去。只要我们“搓”的力度足够大，兵乓球都会发生“回滚”现象。如同这样：
是不是很简单但又有趣呢？此刻的你想不想对它公然研究一番呢？
兵乓球的回滚问题是理论热学中的一个典型应用题。如今，我们就来仔细研究一下。
兵乓球回滚的理论剖析
我们假定兵乓球被按压出去后就能迅速恢复形变，并把兵乓球在以后的运动看做平面质心的运动。假定兵乓球初始时刻刚体的速率为
，其绕中心轴逆秒针旋转的角速率为
.以刚体初速率方向为
轴正向，竖直向下为
轴正向，完善本征座标系
，如右图所示：
在这个阶段，兵乓球是仍然在“打滑”的，也就是不满足无滑条件。我们对兵乓球进行受力剖析并列举多项式：
(1)
其中
是兵乓球相对于初始时刻的拐角，
是兵乓球的质量，
是兵乓球的直径。我们看见，这种多项式中未知数有5个，分别是：
.很显著，光靠这三个等式是解不下来的，还须要补充下边这两个等式：
(2)
联合(1)、(2)两式，很容易地解出
(3)
假如再加上初始条件
和
的话，就可以得到刚体位置和拐角关于时间的解
(4)
我们清楚地看见：刚体位置和转角都是关于时间的二次函数，但是二次项系数都是负值。这就说明，兵乓球在运动到一定时刻后，还会“掉头回转”，跑回去。并且……
我们须要明晰一个问题——微分等式解的“有效性”，像式(4)这样的解，不是始终都组建的。当兵乓球达到无滑滚动的状态时，我们的最原始的受力剖析就出现问题了：无滑滚动时地面对兵乓球的磨擦力可不等于动磨擦质数与正压力的乘积啊！而这一多项式应该换成无滑条件:
问题复杂了……
我们不妨来想一个简单的问题：对于任意给定的初速率和初始角速率，兵乓球都能回滚吗？答案是否定的。我们来继续研究兵乓球达到无滑滚动后的运动。我们将无滑条件代入(3)式，求出达到无滑滚动的时刻
，此时刚体的速率和兵乓球转动的角速率分别为
从这两个多项式中我们就可以看见，兵乓球并不是总能滚回去的，它还有可能停止滚动或则继续往前滚动，那些都取决于初始时刻的转动角速率和形心速率。
实际上，这样的图象挺好理解：当球的刚体初速率很大的时侯，兵乓球就不能回滚，而是达到纯滚动后继续往前滚动；若是条件控制得当的话，兵乓球也能停出来，静止在刚体速率和兵乓球转动角速率同时减少至零的位置。
于是，一个判断条件就来了：当
时，我们令
，则有：
以上便是未达到纯滚动时兵乓球的运动状态。达到纯滚动后的运动很容易理解，若兵乓球刚体速率不为零，则刚体作匀速直线运动，兵乓球相对刚体转动的角速率
则为定值
至此，兵乓球“回滚”的数学图象就早已非常清晰了。我们看见：兵乓球“回滚”只是其中的一种运动，它达到纯滚后还有可能继续往前运动，或则原地“站住”，静止不动。
假如哪位同志有幸出席了2016年上海师范学院第十五届青年班主任基本功比赛，都会听到这样的一个画面。化学学系班主任涂展春以“乒乓球回滚”为核心问题讲授了《刚体平面平行运动动力学》一课，详尽述说了质心平面平行运动的知识，并深入浅出地剖析了兵乓球“回滚”的过程。
咦？这个示意图如何有点奇怪呢？完整的动漫是这样的：
如何觉得跟我们平时看到的兵乓球不太一样呢？
其实，这儿呈现的是一个动漫模拟图。假如诸位真的准备去拍摄兵乓球的回滚的视频，都会发觉，因为兵乓球运动太快，手机或则普通的摄影机根本捕捉不到清晰的图象，必须使用高速摄影机能够将过程拍摄出来。高速摄影机不是通常的贵。于是，参赛选手就借助了强悍的多媒体技术，将221张图片叠成一副1/8倍速动漫，展示在了你们面前。为了就能分辨“乒乓球”在旋转，选手还特意在勾画的圆上添加了一些几何图形，这样就变得很直观了。
这确实有点难度。不仅技术上存在困难，这个模拟图上还存在一个不大又不小的问题，也是平面动漫的“通病”——少了些必要的“立体感”。这就促使动漫看起来不像是兵乓球在“回滚”，而是一个类似圆锥体的物体在“回滚”。于是，笔者决定，用强悍的工具——，通过编程来重制乒乓球回滚的模拟图！
勾画兵乓球静态图
要想让图动上去，就须要一个容易操控的静态图，然后，改变其中的参数，使之伴随时间变化，就可以达到动漫的疗效，例如这样：
[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xs,ys,zs,l);
axis equal
shading interp;
我们就画出了一个圆球：
这儿面用到了四维画图，其实，第四维度无法直接画下来，就用颜色来表示了，这也刚好为我们观察兵乓球的旋转提供了便捷。剩下的事情，便是做运算，而后控制动漫的勾画，运算的多项式在这儿就不陈述了，你们可以翻前文来看哈！有一些难度的是动漫的勾画。例如，我们想让这个圆球转上去静止时摩擦力等于什么，如何实现呢？我们就能直接想到的是用命令。并且，这个命令有一个致命的缺点，就是要先画出原图形，再进行旋转。当使用循环作图的时侯静止时摩擦力等于什么，图形窗口没有时间来相应命令，还会出现图形颤动或则“看起来不旋转”的问题。
深陷麻烦之中……
然而，车到山前必有路。显然，我们完全可以不用上面外置的指令，而是自己去写一个函数，让这个函数先将座标“旋转”好，再用surf指令绘图。
就如此干！
勾画兵乓球动态图
你们一定学过线性代数，晓得若将一个点
绕着某个轴旋转，可以由一个线性变换矩阵来实现，例如令其绕着
轴旋转，就是这样：
这么，令其绕着一条直线旋转呢？我们假定这条直线平行于
轴，这么，决定这个直线的参数只有两个，便是这条直线的
座标和
座标。此时，旋转后的点就可以这样表示：
你们应当会发觉，
，这也能看出直线的纵座标对旋转没有影响，我们也就不须要传入直线的纵座标参数了。考虑到要估算的数据是矩阵方式，我们把里面的矩阵方程写成三个数目方程，并使其返回值为旋转后的座标。按照这个原理，我们才能作出兵乓球绕其瞬时轴旋转的动漫啦！如同这样：
[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
for t=1:1:180
[xl,yl,zl]=rotter(0,0,xs,ys,zs,t*3*pi/180);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xl,yl,zl,l);
axis equal;
shading interp;
pause(0.1)
drawnow;
end
function [xs,ys,zs]=rotter(xc,zc,x,y,z,th)
xs=xc+cos(th)*(x-xc)+sin(th)*(z-zc);
ys=y;
zs=zc-sin(th)*(x-xc)+cos(th)*(z-zc);
end
↓~疗效还不错~↓
就差把估算加入进去啦！只须要经历一段严谨的逻辑性的书写过程，程序都会大功告成！我们来瞧瞧最后的结果！
~回滚~
~继续往前滚动~
~停止滚动~
大功告成！疗效还是挺好的~
最后是彩蛋时间！这儿有涂展春老师的赛事现场视频哟！还不来看？
↓↓↓↓↓
来源：京师物理
编辑：Quanta Yuan
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