量子热学量子热学知识总结量子热学知识点小结一引言1光的粒子性是由宋体幅射光电效应和康普顿效应散射三个实验最终确定的2德布罗意假定是任何物质都具有波粒二象性其德布罗意关系为和3波尔的三个基本假定是定态条件假定4自由粒子的波函数5戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性二波函数及薛定谔多项式一波函数的统计解释化学意义A波函数的统计解释B波函数的统计解释位置处单位容积没找到粒子的机率例已知体系处于波函数所描写的状态则在区间内找到粒子的机率是已知体系处于波函数所描写的状态则在球壳内找到粒子的机率是在立体角内找到粒子的机率是注二态叠加原理假如和是体系的可能状态这么它们的线性叠加为复数也是这个体系可能的状态含意当体系处于和的线性叠加态为复数时体系既处于态又处于态对应的机率为和三机率密度分布函数四薛定谔多项式问题1描写粒子如电子运动状态的波函数对粒子如电子的描述是统计性的2薛定谔多项式是量子热学的一个基本假定不是通过严格的物理推论而至的五连续性多项式问题波函数的标准条件单值连续有界六定态薛定谔多项式即定态的特性1粒子的概率密度和概率流密度与时间无关∵2能量具有确定的值可由自由粒子的波函数进行验证3各热学量的平均值不随时间变化定义伊宁顿算符于是定态薛定谔多项式可写为这种类型的多项式称为本征值多项式被称为算符的本征值称为算符的本征多项式讨论定态问题就是要求出或和含时间的薛定谔多项式的通常解可以写成这种定态波函数的线性迭加为常数七一维无限深势阱问题设粒子的势能在势阱外[]1在势阱外因为所以其定态薛定谔多项式为2令3则多项式2可化为标准方式4其通解为5式中为两个待定常数单从物理上看为任何值多项式2都有解但是依照波函数连续性要求在势阱边界上有67由5式和6式得令波函数不能恒为零而不能为零所以必须于是8再按照7式得所以必须满足取正数给不出新的波函数这告诉我们k只能取下述值9由3式可知粒子的能量只能取下述值10将9式代入到8式中并把势阱外的波函数也包括在内我们就得到能量为的波函数11注波函数无意义11式中A可由归一化条件确定知最后得到能量为的归一化波函数为总结1可得2可得3可得问题粒子在一维无限深势阱中运动时若阱宽减少则其基态间隔会减小八一维线性谐振子问题一维线性谐振子的势能定态薛定谔多项式令最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为与之相量子物理知识点
应的波函数为归一化因子其中为厄米方程且有小结一维线性谐振子一维线性谐振子的能级能量与对应的波函数问题1线性谐振子能量的本征多项式是或定义算符克罗内克符号对线性谐振子注上述算符仅适用于线性谐振子2设是一维线性谐振子的波函数则有00三量子热学中的热学量一线性算符若则称为线性算符其中为两个任意函数是常数复数二厄米算符假如对于任意两个函数和算符满足下述方程则称为厄米算符注两个厄密算符之和仍为厄密算符但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符除非二者可以对易在量子热学中刻划热学量的算符都是线性厄米算符三算符的本征值和本征函数假如算符作用在一个函数结果等于乘上一个常数本征多项式则称为的本征值为属于的本征函数本征多项式的数学意义假若算符表示热学量这么当体系处于的本征态时力学量有确定值这个值就是在态中的本征值四常使劲学量的算符表示算符与热学量的关系量子热学中表示热学量的算符都是厄米算符它们的本征函数组成完全系当体系处于波函数描写的状态时检测热学量所得的数值必将是算符的本征值之一测得的机率是座标假象下五动量算符和角动量算符1动量算符动量算符的本征值多项式2角动量算符角动量平方算符与角动量份量算符的本征函数和本征值球谐函数是角动量平方算符与角动量份量算符共同的本征函数不做记忆要求为此角动量平方算符与角动量份量算符的本征值分别为和其中称为角量子数称为磁量子数简并对于一个本征值有一个以上的本征函数的情况称为简并简并度对应同一本征值的本征函数的数量称为简并度问题1不考虑电子载流子氢原子的第条基态的简并度为2考虑电子载流子氢原子的第条基态的简并度为3球谐函数是算符和的共同本征函数相应的本征值为和六类氢离子问题喀什顿算符的本征值多项式该等式的解为径向函数不做记忆要求能级波函数重点公式类氢离子的能量类氢离子的波函数能级波函数七算符的对易关系定义对于算符和假如则称算符和对易假如则称算符和反对易注泡利算符满足反对易关系即定律假如两个算符对易则这两个算符有组成完全系的共同本征函数该定律的逆定律也创立问题1写出下述算符的对易关系2若热学量对应算符和满足则表示它们互相对易且有一组共同的本征函数八测不准原理对于算符和设九平均值公式已知算符是线性厄米算符它的正交归一本征函数是对应的本征值是若体系处于归一化波函数所描写的状态则热学量在该体系下的平均值期望值公式为问题1求证厄米算符
的本征值为实数证明设为厄密算符为的本征值表示所属的本征函数即由于为厄密算符取则有即是实数2求证厄米算符的属于不同本征值的本征函数互相正交证明设是厄米算符的本征函数它们所属的本征值互不相等则有且当时又是厄米算符故因而有用右乘4式两侧并对整个空间积分得用左乘2式两侧并对整个空间积分得又由57式可得联立38可知证毕3设粒子做一维运动波函数为是任意常数求1归一化常数2机率分布函数3机率最大位置4在内发觉粒子的机率5和的平均值解1由归一化条件得2机率分布函数为3由2可知当时即机率最小位置按照极值条件又故为机率最大位置且有4在内发觉粒子的机率即在内发觉粒子的机率是上述积分用分部积分法求解参考积分公式4求一维线性谐振子处在第一迸发态时概率最大位置解由得一维线性谐振子处在第一迸发态的波函数为于是机率分布函数为似乎满足禁锢态条件此位置机率为0由极值条件在又伽玛函数定义性质注双阶乘运算故机率最大位置是5一维运动的粒子的状态是其中求1粒子动量的机率分布函数2粒子的平均动量解由归一化条件得推广动量的本征函数1该波函数在动量假象下的方式为于是粒子动量的机率分布函数为2动量的期望值为6体系处于态中则BA是体系角动量平方算符角动量z份量算符的共同本征函数B是体系角动量平方算符的本征函数不是角动量z份量算符的本征函数C不是体系角动量平方算符的本征函数是角动量z份量算符的本征函数D既不是体系角动量平方算符的本征函数也不是角动量z份量算符的本征函数四态和热学量的假象一态的假象已知对任意热学量既有分立的本征值对应本征函数是也有连续的本征值在一定范围内变化对应的本征函数是当体系处于波函数所描写的状态则该体系在假象下所描写的状态即波函数表示为算符的本征函数方式由态叠加原理可得式中则在热学量表象下的描述可用列矩阵表示由归一化条件知表示在所描写的状态中检测热学量所得结果为的机率则表示检测结果在到之间的机率二算符的矩阵表示设算符作用于波函数后得出另一函数在座标假象中记作该多项式在假象中的方式如上文所述此处仅讨论的分立本征值情况于是有以左乘上式两侧并对的整个区域积分得又所以有令则即为在假象中的叙述方法其中为算符在假象中的矩阵元易证矩阵满足为厄米矩阵问题若矩阵满足条件则称为厄米矩阵三量子热学公式的矩阵叙述1期望值平均值公式将波函数按的本征函数展开最后得即泛指2本征值
等式即1为其矩阵表示于是2该多项式为线性齐次代数等式非零解条件即久期多项式3求解久期等式可得一组值即为的本征值代入2式可与对应的本征函数本征矢即其中四狄拉克符号1狄拉克符号的引入态空间中的与在方式上具有显著的不对称性狄拉克觉得它们应当分属于两个不同的空间伴随空间引入符堪称为右矢微观体系的一个量子态用表示的集合构成右矢空间在右矢空间中的份量表示可记为矩阵1约定右矢空间的态矢一律用表示热学量的本征态矢一律用量子数或连续本征值表示引入符堪称为左矢微观体系的一个量子态也可用表示但在同一假象中与的份量互为共轭复数2的集合构成左矢空间2基矢的狄拉克符号表示离散谱热学量完全集的本征函数具有离散的本征值时对应的本征矢或等构成正交归一化的完全系可以作为矢量空间的基矢作为基矢可表示为第n行31基矢具有正交归一性42展开定律5两侧同时左乘得6说明展开系数是态矢在基矢上的份量3封闭性把代入中得所以7称为基矢的封闭性※狄拉克符号运算中十分重要的关系式连续谱当热学量本征值构成连续谱时对应的基矢记为1正交归一性82展开定律9103封闭性113关于一维线性谐振子的讨论引入新算符湮没算符形成算符对易关系则均是非厄米算符定义厄米算符记同理可得另一个定义记则问题1设为算符和的共同本征矢则2定义算符则2已知在和的共同的共同假象中算符的矩阵为求它的本征值和归一化本征函数解因为算符的矩阵为故其本征值多项式为即可得久期多项式为解得1时有可得归一化得即为本征值对应的归一化本征函数2时有可得设得对应归一化本征函数为同理可得本征值为对应的归一化本征函数五微扰理论一非简并定态微扰理论以和表示的本征值和本征函数能量的一级修正为能量的二级修正为波函数的一级修正为于是波函数的近似值为能量的近似值为二变分法思想按照体系能级能量最小即为任意波函数表明任意波函数算出的的平均值总小于体系的能级能量因而可以选定许多试探波函数估算的平均值找出最小的一个来接近变分法求体系能级能量步骤1选定含参数的试探波函数2估算平均能量3由极值条件求出最小值即为的近似值氢原子一级斯塔克效应是指将氢原子倒入外电场中基态简并部份地被清除原先是四度简并的基态在一级修正上将分裂为三个基态三选择定则中心力场中电偶极跃迁的选择定则为问题1按照选择定则氢原子发生跃迁能实现的是设在表现中的矩
量子物理知识点
阵表示为均为实数的两个不同本征值或该多项式的精确求解用微扰理论求能量至二级修正值解由题意在能量假象中和的矩阵为表示所有的项求和本题中只有两个值故时只能取因而有表示矩阵元即矩阵的第行第列的元素且有为体系的波函数在非简并状态下的微扰理论由能量的一级修正公式得能量的一级修正为由能量的二级修正公式得能量的二级修正为因而能量的近似值为3一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用电场沿正方向用微扰法求体系的定态能量和波函数解依题意体系的喀什顿算符为因为电场是弱电场故可视为微扰令记为无微扰时线性谐振子喀什顿算符的本征函数由微扰理论得能量的一级修正为又为此能量的二级修正波函数的一级修正为仅当时且有当时当时故得表达式如题所述综上能量的近似值是波函数的近似值是六载流子与全同粒子一电子载流子1施特恩革拉赫实验以及波谱的精细结构证明了电子具有载流子施特恩革拉赫实验是将能级氢原子束通过狭缝和不均匀磁场发觉原子束分立为两条2乌伦贝克和哥德斯密脱假定1每位电子都具有载流子角动量且在空间任何方向的投影只能取两个数值2每位电子都具有载流子磁矩且有式中是电子的电荷是电子的质量在空间任意方向的投影只能取两个数值式中是玻尔磁子精细结构是考虑了电子的载流子磁矩超精细结构是考虑了电子的载流子磁矩和原子核的磁矩简单塞曼效应将电子装入较强外磁场中不考虑电子载流子与轨道互相作用观察到谱线发生分裂质数条复杂塞曼效应将电子装入较弱外磁场高考虑电子载流子与轨道互相作用观察到谱线发生分裂质数条二电子的载流子算符和载流子函数1载流子算符对易关系本征值因为在空间任意方向上的投影只能取两个数值故和三个算符的本征值均为即有令得称为载流子量子数引入泡利算符对易关系反对易关系因而有本征值和三个算符的本征值均为即有算符和及和在假象下的矩阵泡利矩阵2电子的载流子波函数考虑电子载流子时电子的波函数表示为又故于是规定第一行对应于第二行对应于电子处于载流子向下的态时波函数为电子处于载流子向上的态时波函数为若为归一化波函数则波函数的几率密度是令则和分别表示时刻在点周围单位容积内找到载流子和载流子的电子的机率当不考虑载流子与轨道互相作用时电子的波函数可表示为式中是描写电子载流子状态的载流子函数或称载流子波函数载流子算符仅对波函数中的载流子函数有作用在假象中载流子函数是的本征函数所属对应本征值是载流子函数是的本征函数所属对应本征值是且这两个本征函数互相正交问题
1在假象中在载流子态中的可能测值为和相应的机率为和解析载流子态为故可表示为因而它为和的线性叠加故其检测值可能为和相应的机率为和考查态叠加原理及载流子函数2电子载流子角动量的各份量在假象中的矩阵3在假象中则其本征值为解析由得久期多项式三两个角动量的耦合以表示体系的两个角动量算符且互相独立则有令称为体系弱冠动量且有由上述讨论可知1算符两两互相对易故它们有一组共同的本征矢本征函数构成完全系其中为与那些算符对应的量子数即有和且以作为为基矢的假象称为无耦合假象2算符两两互相对易它们有共同的本征矢构成完全系其中为与那些算符对应的量子数即有和构成正交归一完全系以它们为基矢的假象称为耦合假象且有可取共个值将按完全系展开系数称为矢量耦合系数或克莱布希高登系数又故四全同粒子全同粒子质量电荷载流子等固有性质完全相同的微观粒子全同性原理全同粒子所组成的体系中两全同粒子互相代换不造成化学状态的改变这个论断被称为全同性原理量子热学基本原理之一费米子电子质子中子等载流子为或偶数倍的粒子费米子所组成的全同粒子体系的波函数是反对称的波骰子光子载流子为处于能级的氦原子载流子为零粒子载流子为零以及其它载流子为零或的整数倍的粒子波骰子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的五两个电子的载流子函数设体系的喀什顿算符不含电子载流子互相作用项则两电子载流子函数是每位电子载流子函数之积式中依次是第一个电子和第二个电子的载流子份量用可以构成两电子的对称载流子函数和反对称载流子函数它们是的共同本征函数注此处用到两个角动量的耦合设第一个电子和第二个电子的载流子角动量平方算符与载流子角动量份量算符依次为对应的量子数依次为且有于是总载流子量子数即总载流子角动量在方向投影对应量子数满足于是有问题已知由两个电子组成的全同粒子体系的波函数的空间部份是反对称的写出其所有可能的载流子波函数解因为电子是费米子故体系的波函数是反对称的又体系的波函数的空间部份是反对称的故体系的载流子波函数必须是对称的因而有即为所求注若体系的波函数的空间部份是对称的则载流子波函数必须是反对称的故有为所求波函数习题设氢原子的状态是求1轨道角动量份量和载流子角动量份量的期望值2总磁矩的份量的平均值用玻尔磁子表示解故1轨道角动量份量的期望值为载流子角动量份量的期望值为2总磁矩的份量的平均值为注由则而由可得热学量的检测值为和对应机率为和同理习题7273注重120