工程震动的基础草稿，欢迎批评，意见返回陈奎孚29图2-27单自由度系统示意将上式代入(2.21)有12222ddd12dddiiiiixyzTqmqqq⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑�(2.23)2按照单自由度假设和式(2.22),我们晓得ddd,,dddiiixyzqqq也都是q的单变量函数,3为此(2.23)方括弧也是q的单变量函数,求和以后一直为q单变量函数。记这个函4数为eq()mq，这样(2.23)式缩写为52eq1()2Tmqq=�(2.24)6与2.1节的动能212mx�相平行,q�就是广义速率,而eq()mq就是对广义座标q7的等效质量。82.等效挠度9势能是位置函数,10(,,)((),(),())iiiiiiiiiiUUxyzUxqyqzq==∑∑(2.25)11因而势能最终是广义座标q的单变量函数()Uq。
12依据机械能守恒有132eq1()()2UqmqqE+=�14两侧对时间t导数可以得到15eq3eqdd1()0d2dmUqmqq++=�����16约去q�就得到运动微分等式17eq2eqd1d()02ddmUmqqq++=���(2.26)18静平衡位置的定义为:系统可以处于在该位置仍然不动，也就是能使19工程震动的基础草稿，欢迎批评，意见返回陈奎孚300,0qq≡≡���的位置bq。也就是在该处1d()0dbbqqUU=′==(2.27)2ddUq就是广义力。上式的要求就是在静平衡位置处,广义力(或则回复力)等于0。3微幅震动是围绕平衡位置的运动,因而在平衡位置附近将势能()Uq对微幅4震动bqq−作泰勒展开有5231()()()()()()()2bbbbbbUqUqUqqqUqqqOqq′′′=+−+−+−(2.28)6依据(2.27)式,上式右端第二项为0。
第一项对应零势能点,它是可以任意选定的7(对时间导数以后，这个零势能点不会在(2.26)等式中出现)，因而就好似上述例题8可刻意地选定()0bUq=。第四项因是高阶小量而略去(在线性震动理论框架下也9必须略去),这样102211()()()()22bbbUqUqqqUqq′′′′≈−=�(2.29)11其中bqqq=−�。12式(2.29)与弹簧势能212kx相平行，所以称eq()()bbkqUq′′=为等效挠度。使用q�13符号和(2.29)的关系,式(2.26)变为142eqeqeq1()()()02bbbmqqmqqkqq′++=������(2.30)15对于微幅线性震动，上式第二项可略去。这是由于：q�为微幅,所以q��也为16微幅，因而2q��为高阶小量。实际上,有时更简单一些,例如有些系统的动能根17本与q无关,另外系统质量分布bq呈偶对称，这两种情况都有=,此时第18二项精确地等于零。
19略去(2.30)式的第二项(在线性震动理论框架下也必须略去),这样就得到20eqeq()()0bbmqqkqq+=����(2.31)21它与式(2.3)完全平行，因而固有频度为22eqeqeq()()()()bbbbkqUqpmqmq′′==(2.32)23在好多情形下,eqm不随位置变化，相对困难的是eqk，它对应的是势能。但(2.32)24工程震动的基础草稿，欢迎批评，意见返回陈奎孚·图2-28薄壁半圆桶作微幅震动式表明对单自由度线性震动系统的固有频度，势能函数中有贡献的是在平衡位置1的二阶行列式，也就是在势能对平衡位置泰勒展开以后，最重要的是二次项。所以2假如平衡位置早已晓得,这么用泰勒展开系统各势能项时,只须要保留二次项即3可,而其他可不写出。4对图2-27施加了单自由度假定,而式(2.31)只用到了微幅假定，因而式(2.32)5具有广泛的适用性。6正如上面的事例,物理上eq()bkq有可能大于零，此时bq已不是一个稳定的平7衡点，不会出现震动，因而固有频度的概念失效。
8例题2-15.一薄半圆桶,平均直径为R。在一粗糙面上作微摆动,如所示。试9求其微幅震动的固有频度。10解:与后面的事例不同,本例的等效质量不是常数。11按照正弦定律有122222cosACOCROCACθ=+−×(a)13而刚体速率为14CvACθ=�(b)15由理论热学的平行轴定律有1622CJmRmOC=−(c)17动能包括平动和转动两个部份,即18221122CCTTTmvJθ=+=+�平转19将式(a),(b)和(c)代入上式有202(cos)TmROCRθ=−×21依据理论热学偏心矩2πOCR=,这样上式变为2222()1cosπTmRθθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠(d)23其实平衡位置为b0θ=,选择该状态为零势能位置,这样任意位置的势能为24工程震动的基础草稿，欢迎批评弹簧刚度串联和并联的公式，意见返回陈奎孚322()g(1cos)πUmRθθ=−(e)1由(d)和(e)可得22eqbeqb22()21,()gππmmRkmRθθ⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠3代入(2.32)可得4g(π2)pR=−5其实倘若从一开始弹簧刚度串联和并联的公式，仅估算62222222222211()(0)()2211()()22()bTTmACmROCmROCmROCmRROCθθθθθθ==+−=−+−=−�����7则剖析过程稍为简单一些。
82.4.2.挠度估算9上述例题的动能(也就是等效质量)比较容易写下来,而势能则较为困难，这10表明等效挠度的估算比较麻烦。等效挠度其实可以从头开始根据2.4.1节的方式11来估算，然而工程上有些精典器件或器件组合(如弹簧的串联和并联)早已构建了12更直接的方式。下边对这种方式进行简单介绍。131.挠度各类方式14图2-1使用的弹簧挠度,严格地说应当为拉压挠度，是对应于弹簧拉伸和压15缩的位移的概念，而等效挠度的定义是使系统发生单位广义位移所须要施加的广16义力。广义位移可以是某点沿指定方向形成单位位移,也可以是绕某点的角位移,17甚至两者的组合。相应的广义力可能是力、力偶,或则某种具象的物理量。18除了这么,同一预制构件也可因变型方式不同，可以定义不同的挠度。对于图192-29所示一端固定的等直圆杆的预制构件,可能发生的基本变型有拉伸、扭转和弯曲,20对这三种变型有三种不同的挠度:拉压挠度,扭转挠度和弯曲挠度。21设图中杆长为l，截面积为S，截面惯性矩为I，截面极惯性矩为pI。材料22弹性挠度为E，切变弹性挠度为G。设置如图xOw座标。23沿杆轴x方向加力时,按照材料热学中等直杆简单拉伸的变型公式24BlxFES=25为此在B点的拉压挠度为=(2.33)27若在B端施加绕x轴的力矩tM,则依照等直圆杆的扭转角公式得到B端扭转28角为29