人们都说，数学学是以实验为基础的科学。假如一个数学理论长久不能被实验否认，还有继续研究的必要吗？现在，理论化学的顶峰：弦（理）论（），看上去就属于此类理论。
自上世纪60年代弦论诞生以来，半个多世纪早已过去，它吸引了大量最优秀的物理、物理高才生，用尽了许多年青科学家的宝贵时光甚至整个人生，但弦论学家们一直未能提出任何目前就能直接被实验或观测验证的预言，缘由是要实现它们所需的能量太大了，是现有（或许将来一段不短时期）的粒子对撞机实验完全难以达到的能量级别。因此，弦论的实验验证堪称遥遥无期。此类状况引起学界激烈的争辩：弦论是“真正的科学”吗？继续研究它有何意义呢？
实际上，弦论几六年研究的功劳不小，除了解决了粒子化学、宇宙学等领域的一些问题，还启发了物理家的思维，大大推动了物理个别方面的研究和发展。据悉，它对科学思想、哲学等也颇具贡献。
为此，在介绍弦论的历史及简单内容之前，我们首先吹奏一曲“弦外之音”，让读者耹听一下：数学学（包括这几六年的弦论研究）对科学方式的影响，以及弦论对现代物理贡献了哪些。
01
还原论的局限
弦论之哲学思想，仍属于还原论的范畴，是古埃及就开始的自然科学主流。还原论在数学学上彰显为溯源万物之本，从德谟克利特（Δημόκριτος，约公元前460-公元前370）的原子论设想，到现代数学中的标准模型，表面看上去都是企图回答同样一个问题：宇宙中的万物（最终）是由哪些构成的？
但是，随着科学技术的发展，哲学思想的内涵有了很大变化。古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。按照精典科学的概念最早提出量子概念的物理学家，复杂的事物可以通分，房子能否拆成砖块，大的物体可以分小；之后，再通分，再分小……一直深入下去。诸如，人体由细胞组成，细胞由分子构成，分子又包含了原子，之后再到电子、质子和中子，一层比一层更小、更轻，也就是“更为基本”。
换言之，精典科学中溯本求源的手段是“拆”和“分”，之后再用检测来判定大小。测大小的最简单方式是用鼻子，房屋大砖头小，因而房子由板砖构成，一看便知。在实验室里则可以用显微镜观察到人体的细胞、分子、原子等等。尚且，原子也不是最基本的，由于科学家们在原子的散射实验中又发觉了电子和质子。
不过，再小下去就出现了问题。检测越来越困难，孰大孰小孰轻孰重，便无法判断。这么一来，也说不清谁是更基本的了！毕竟，“拆”和“分”的概念也丧失意义。诸如，分子原子等可以说成是物质一分再分而分下来的，但后来发觉的许多“粒子”，却不是“分”出来的了。那里来的呢？一是天上来的宇宙射线，二是对撞机中撞来撞去撞下来的。这两种新方式为人类提供了几百种不同的粒子，它们在撞来撞去的过程中相互“湮灭、生成、转化”，为此，无法判断谁更基本。
图2：β衰变
例如说，正电子和负电子对撞，可以湮没而生成一对光子。你能说电子中包含了光子吗？似乎不能，由于理论上，当光子能量足够时，你也可能观察到完全相反的逆过程（即两个光子对撞生成正负电子）。又如，图2a显示的是β衰变，一个中子转变为质子，同时释放一个电子和一个反电中微子。图2b所示则是另外一种过程（+β衰变）：一个质子转弄成中子，同时释放一个正电子和一个正电中微子。诸这么类的“粒子”转换过程，不好用精典说法中的“分”来理解，也不能得出“谁组成谁”的推论。也就是说，到了比原子更小的层次，我们最好将图象和理论理解成是为了描述的便捷而已，并非意味着某事物的内部就是图上画的那种样子。
虽然这么，化学学家一直将几百种粒子分了类，确定了最少数目的“基本粒子”，在包括3种互相作用的标准模型中，这个数量是61（不包括引力子）。
不过，在弦论之前的化学，最终是将万物之本归结为个别“点状粒子”，而弦论则觉得宇宙中最基本的，不是“点”，而是一段“弦”。
02
化学理论从何而至？
“物理理论从何而至？”这似乎是个不成问题的问题，多数人的回答是，其实来自于实验数据。这是数学界公认的事实，也基本正确。人类对自然的认识从实践开始，再回到实践。发展早期的自然科学，也是首先源于观察和实验。以标准模型为例，如当初盖尔曼（Gell-Mann，1929-2019）的八正法（way），直至夸克模型（QuarkModel），便是为了解释大量强子实验数据而做出的假定。理论一旦构建上去，又须要被更多的实验所否认。标准模型作为一个成功的粒子化学理论，就是由于到目前为止，几乎所有对引力之外三种力的实验结果，都符合这套理论的预测。
不过，事情也有例外，爱因斯坦的广义相对论，当年就并不是为了解决任何实验而构建的。反之，它是人类思想的胜利，是爱因斯坦遵守哲学观念（相对性原理）及逻辑推理，凭借创造性的直觉和猜想而得来的纯粹理智思维的杰作。现在，理智思维形成的广义相对论，已被多项实验以及天文观测数据否认，几年前人类第一次侦测到的引力波，再一次证明了这个理论的正确性。
事实上，现在的数学学，早已越来越弄成了理论领先于实验的学科。理论可以独立发展，理论可以预言暂时未观察到的事物，理论甚至还可以创造出新的理论。比如，按照18世纪发展上去的最小作药量原理，只需找到合适的拉格朗日作药量，能够得出化学定理。精典数学中的剖析热学便是这样构建上去的，量子化学更是将此方式应用推广到了极至。据悉，物理家诺特（Emmy，1882-1935）有关对称和守恒的原理也为纯粹从理论预言新的数学规律提供了思路。
为此，衡量一个数学理论是否正确，可以有一系列标准。不仅实验这一条之外，还有所谓的理论美：简单、连贯、一致、优雅等等。为此最早提出量子概念的物理学家，虽然仍未被实验验证，杰出的科学思想也似乎有很大的价值。
尽管弦论最早是来始于对强互相作用的（错误）研究，但后来却是完全靠物理思想和自身逻辑发展成了一个宏大而高贵的理论体系。其实迟早将会有实验或观测结果证明弦论的正确，正如一位弦论学者约翰·施瓦茨（John，1941-）所言：
“弦理论作为一个物理结构实在太美妙了，不可能跟大自然毫不相干。”
03
化学物理互相推动
物理化学初期是一家，分家后各自发展。物理的发展方向包括纯物理和应用物理，与数学相关的主要是应用物理，但是其作用大多数是为了估算。
化学和物理互相推动最早的事例应当是牛顿为了研究运动学而成立的微积分。以后便是刚刚提到的变分法和剖析热学。爱因斯坦用黎曼几何完整地剖析了广义相对论的美妙，以后，广义相对论又反哺物理，推动了整体微分几何及流形理论等领域的发展。
到了量子场论时期，这些反例越来越多了，场论的研究不仅影响应用物理之外，也涉及许多纯物理领域。诸如，杨-米尔斯的非阿贝尔规范场论（non-gaugefield），在物理上是一个十分活跃的研究领域，它形成了西蒙·唐纳森（Simon，1957-）的工作，推动了物理中规范场论（）的发展，促进了物理家研究在四维流形上可微结构的不变量，解决四维流形分类的问题。
杨-米尔斯理论相关的另一个物理问题“存在性与质量间隙”，被纳入克雷物理研究所（Clay,简称CMI）的“千年奖问题”[1]之一。该问题致力寻求对一个推测的证明，即证明杨-米尔斯等式组有惟一解，但是该解满足“质量间隙”这一特点。这个问题至今未被解决，千年奖问题中惟一被破解了的是“庞加莱猜测”（é）。该问题2006年确认由美国物理家格里戈里·佩雷尔曼（，1966-）完成最终证明，他也因而在同年获得菲尔兹奖（Medal），但并未亮相领奖。佩雷尔曼的证明文章中，用到了数学学中“熵”的概念。
弦论研究中数学与物理的互动不胜枚举，数学的直觉灵感促进物理前进，物理则为弦论提供了一个十分重要的检验平台。虽然弦论目前还无法被化学实验证明正确与否，但由弦论所迸发的物理却是正确而漂亮的，这点给与弦论一种间接的验证。下边简单介绍几个弦论研究推动物理发展的实例。
04
卡拉比-丘（-Yau）流形
流形可以被简单地理解为局部平直的几何空间。若果以不同的维数来分类，可以有1维流形、2维流形……n维流形。
图3：各类维度的流形
图3是流形的反例。即使流形的维数n可以是任何正整数，但在一个平面图上我们只能画到2维流形，再高维的就画不下来了，只得辅之以想像。卡拉比-丘是一类非常的6维流形，是难以画下来也无法想像的，图3下图中显示的只是它的低维截面图。为此，读者不用苦恼于“它究竟长哪些样”，可以简单地将它大约理解成极小又缠绕得极紧的“一团东西”，隐藏于我们看不见摸不着的“额外维度”中。
物理家卡拉比（，1923-）最先于1957年就这一类流形提出了一个猜测，法籍日裔物理家丘成桐（Shing-tungYau，1949-）于1978年证明了这个猜测。之后，1985年，四位弦论研究者坎德拉（，1951-）、霍洛维茨（Gary，1955-）、斯特罗明格（，1955-）和威滕（，1951-）写了一篇革命性的论文，她们发觉她们所研究的超弦理论中额外的6维空间是复3维（实6维）的卡拉比-丘流形。这促使卡拉比-丘空间成为以后三六年来物理和化学中十分热门的课题[2]。由弦论所迸发的灵感促使一些特别重要的物理问题得以解决。反之，物理又为验证弦论所迸发的设想是否正确或自洽，提供了一种方法。
丘成桐深刻感遭到化学学家的直觉对解决物理问题的作用，但以上所述并不是第一个使他震惊的反例。丘成桐与4位作者之一的威滕早有交集，由于他有关流形的研究工作，原本就与广义相对论弯曲时空性质有关。广义相对论中有一个正能量定律（），或称正质量猜想（mass）。丘成桐使用非线性偏微分等式中的极小曲面理论，在1979年对此推测给出了一个完全的证明。这在当时是一项了不起的工作，是丘成桐1982年获得菲尔兹奖的主要成就之一。
1981年的三天，化学学家戴森（Dyson，1924-2020）来敲丘成桐耶鲁高研院（forStudy，简称IAS）办公室的门，向他举荐了年青的化学学家威滕。当时只有30岁的威滕用线性偏微分等式理论和Dirac旋量的方式，以及始于数学中精典超引力的思想，对正能量猜想给出了一个非常简约的证明。化学学家尤其喜欢威滕的证明，由于她们不须要再钻研物理中复杂的极小曲面理论了。这个另辟蹊径的证明让丘成桐惊讶。以后，威滕于1990年获得了菲尔兹奖。
图4：物理家丘成桐和弦论学家威滕
再回到卡拉比-丘流形的话题。后来，坎德拉、布莱恩·R.格林（BrianR.，1963-）等化学学家又发觉-Yau3-fold具有一种性质叫镜像对称性（），但指的不是一般意义下的镜面对称性。坎德拉将这个对称性用于解决卡拉比-丘流形的一个与“枚举几何”有关的问题。
枚举几何的目的，是研究几何中某类图形的数目。诸如，举两个最简单的枚举几何问题：通过平面上给定两点能作几条直线？答案是1；另一个反例稍稍复杂（'s）：平面上给定三个圆，和这三个圆都相切的圆有多少个？通常情况下，答案是8。
刚刚是极为简单的平面（枚举）几何事例，答案很容易估算，但随着问题复杂性降低，即便是2维中的问题，估算也会很快就显得十分繁杂，完全不可能依赖直觉估算下来。到了高维空间就异常困难了。首先是没有了直观图象，几何方法不便使用，只得依靠于代数，所以就有了“代数几何”这门学科。当初的坎德拉等人要解决的问题，是要估算6维的卡拉比-丘流形上有理曲线的数量，她们1991年算下来了[3]，推论是：317,206,375。
但是，两位法国物理家尔林斯瑞德（Geir，1948-）和斯达姆（Stein，1951-2014）早已努力用她们复杂的工具和一系列天才的计算机程序，来估算同样的问题，却得到了不同的结果：2,682,549,425。因而，开始时物理家们有点怀疑弦论学家们的结果，由于化学学家用了物理家没有据说过的“镜像对称”技巧。后来，尔林斯瑞德和斯达姆慎重地检测了她们的工作，之后在计算机程序中发觉了一个错误。于是，她们宣布了她们的修正，结果的数值与化学学家们估算的完全一致！
图5：在UT
虽然最初的镜像对称方式是从数学学出发的，物理上并不严格，但后来它的许多物理预测早已被严格证明了。再后来，镜像对称成为纯物理界中的热门话题，美国俄裔物理家马克西姆·孔采维奇（Maxim，1964-）于1998年获得菲尔兹奖，其部份缘由便与镜像对称及枚举几何有关。
参考资料：
[1]千禧年大奖困局：%E5%8D%83%E7%A6%A7%E5%B9%B4%E5%A4%A7%E7%8D%8E%E9%9B%A3%E9%A1%8C
[2]Shing-TungNadis，TheShapeofInnerSpace,BasicBooks，NewYork，pp.169-70.
[3],;delaOssa,Xenia;Green,Paul;Parks,Linda.Apairof–Yauasanfield.B.1991,359(1):21–74.
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