一、模型建构
1、流体问题：
"流体"通常是指液体流、气体流等，质量具有连续性。涉及有求解质量、体积和力等问题。
2、两类问题
第一类：连续流体类问题
对于该类问题流体运动,可沿流速v的方向选定一段柱形流体作微元
设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的宽度为Δl,如图所示。设流体的密度为ρ
则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm=ρSΔl=ρSvΔt
依据动量定律得：FΔt=ΔmΔv
分两种情况:
(1)作用后流体微元停止，有Δv=-v，则F=-ρSv2
(2)作用后流体微元以速度v大跌，有Δv=-2v，则F=-2ρSv2
第二类：连续微粒类问题
"微粒"通常是指电子流、尘埃等，质量具有独立性，一般给出单位容积内的粒子数n：
（1）构建"柱状"模型，沿运动速率v0的方向选定一段微元，柱体的横截面积为S；
（2）微元研究，作用时间△t内的一段柱体的厚度为v0△t，对应的容积为△V=Sv0△t，则微元内的粒子数N=nSv0△t
（3）先应用动量定律研究单个粒子，构建多项式，再除以N估算。
二、例题精析
例1、有一横截面积为S的铜导线，流经其中的电压为I，设每单位容积的导线有n个自由电子，电子的电荷量为q，此时电子的定向联通速度为v，在t时间内，通过导线横截面的自由电子数量可表示为（）
A．Nst
B．Nvt
C．
D．
解答：在t时间内通过导体横截面的自由电子的电量Q＝It，
则在t时间内，通过导体横截面的自由电子的数量为：N＝
，
依照电压的微观表达式I＝nqvS，将I＝nevS代入得：
N＝
＝nvSt
故选：C。
例2、运动员在水上做飞行运动演出他操控喷射式漂浮飞行器将水带竖直送上来的水反转180°后向上喷吐，令自己悬停在空中，如图所示。已知运动员与武器的总质量为90kg，两个喷管的半径均为10cm，已知重力加速度大小g＝10m/s2，水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，则喷管处喷水的速率大概为（）
A．2.7m/s
B．5.4m/s
C．7.6m/s
D．10.8m/s
解答：设飞行器对水的平均斥力为F，依据牛顿第三定理可知，水对飞行器的斥力的大小也等于F，对飞行器，则：F＝Mg
设水喷吐时的速率为v，选定一段柱形流体
在时间t内喷吐的水的质量：△m＝ρ•V＝ρ•2Svt
t时间内质量为△m的水获得的冲量：I＝Ft＝△mv
联立可得：v＝
＝
＝7.6m/s
故选：C。
三、针对训练
1．如图所示，一根横截面积为S的均匀带电长直橡胶棒沿轴线方向做速率为v的匀速直线运动。棒单位宽度所带电荷量为﹣q，则因为棒的运动而产生的等效电压大小和方向（）
A．vq重力加速度单位，方向与v的方向相反
B．vqS，方向与v的方向相反
C．
，方向与v的方向相反
D．
，方向与v的方向相同
【解答】解：棒沿轴线方向以速率v做匀速直线运动时，每秒通过的距离为v米，每秒v米长的橡胶棒上电荷都通过直棒的横截面，每秒内通过横截面的电量大小为：Q＝q•v
依照电压的定义式为：I＝
，t＝1s，
得到等效电压为：I＝qv．
因为棒带负电，则电压的方向与棒运动的方向相反，即与v的方向相反。
故A正确，BCD错误。
故选：A。
2．打开水龙头，水顺水而下，仔细观察将会发觉在流下的过程中，连续的水流柱的半径是逐步减少的．设进水口方向竖直向上的水龙头半径为1cm，g取10m/s2．假若测得水在进水口处的速率大小为1m/s，则距进水口75cm处水流柱的半径为（）
A．1cm
B．0.5cm
C．0.75cm
D．0.25cm
【解答】解：设水在水龙头出口处速率大小为v1，水流到距进水口75cm处的速率v2，
由
代入数据解得v2＝4m/s，
设极短时间为△t，在水龙头出口处流出的水的容积为V1＝v1△t
①
水流进接脸盆的容积为V2＝v2△t•
②
由V1＝V2得v1△t•
＝v2△t•
代入解得 d2＝1cm
故选：A。
3．图是某城市广场喷泉喷吐火柱的场景。从远处看，喷泉喷吐的火柱超过了40层楼的高度；紧靠看，机翼的半径约为10cm。请你据此恐怕用于给机翼喷水的电动机输出功率起码有多大？
【解答】解：管口的方形外径约有10cm，则直径r＝5cm＝0.05m
依据实际情况，每层楼高h＝3m，所以喷水的高度H＝40h＝120m，
则水离开管口的速率为：v＝
＝
设给机翼喷水的电动机输出功率为P，在接近管口很短一段时间△t内火柱的质量为：
m＝ρ•v△tS＝ρπr2v△t
按照动能定律可得：P△t＝
mv2，
解得：P＝
代入数据解得：P＝4.62×105W，
答：给机翼喷水的电动机输出功率起码4.62×105W。
4．某市有一风力发电机如图所示，它的茎秆转动时可产生直径为20m的圆面。某时间内该地区的风速是6.0m/s，风向正好跟茎秆转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2kg/m3，如果这个风力发电机能将空气动能的10%转化为电能。（保留两位有效数字）
（1）求一秒内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的容积；
（2）求一秒内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的动能；
（3）求此风力发电机发电的功率。
【解答】解：（1）一秒冲击风车车叶的二氧化碳容积为：
V＝SL＝πr2vt＝3.14×400×6×1m3＝7.5×103m3；
（2）1s内气流的质量：m＝ρV＝1.2×7.5×103kg＝9×103kg；
气流的动能：E动＝
mv2＝
×9×103×36J＝1.6×105J；
（3）一秒风的动能转化为的电能：
E电＝ηE动＝10%×1.6×105J≈1.6×104J；
则功率P＝
＝1.6×104W。
答：（1）一秒内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的容积为7.5×103m3；
（2）一秒内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的动能为1.6×105J；
（3）此风力发电机发电的功率1.6×104W。
5．新型冠状病毒主要传播形式为飞沫传播。有关专家研究得出打喷嚏时气流喷吐的速率可达50m/s，假定一次打喷嚏人遭到的平均反冲力约为0.16N，时间大概0.03s，计算打一次喷嚏喷吐空气的质量约为（）
A．9.6×10﹣3kg
B．9.6×10﹣5kg
C．1.92×10﹣3kg
D．1.92×10﹣5kg
【解答】解：设打一次喷嚏喷吐空气的质量为m，由动量定律可得：F×Δt＝mv
代入数据解得：m＝9.6×10﹣5kg。故B正确，ACD错误。
故选：B。
6．如图所示为某市一风力发电机，它的茎秆转动时可产生直径为20m的圆面。某时间内该地区的风速是5.0m/s，风向正好跟茎秆转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2kg/m3，如果这个风力发电机能将此圆内10%的空气动能转化为电能，π取3。下述说法正确的是（）
A．单位时间内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的容积为
B．单位时间内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的动能为900J
C．单位时间内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的动量为900kg•m/s
D．此风力发电机发电的功率为900W
【解答】解：A、单位时间内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的容积为
，故A正确；
B、单位时间内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的动能为
，故B错误；
C、单位时间内冲击风力发电机茎秆圆面的气流的动量为
p＝mv＝ρV0v＝1.2×6000×5kg•m/s＝3.6×104kg•m/s，故C错误；
D、依题意，此风力发电机发电的功率为
，故D错误。
故选：A。
7．近年大型无人机发展迅速，在交通管理，航拍摄影、安防搜救等方面都有广泛的应用。如图所示为某机型的无人机，它通过4个涵道螺旋桨向外推进空气获得升力，假定质量为M无人机在某次无风状态下飞行时，处于水平悬停状态下，被推进空气获得速率为v，空气的密度为ρ。忽视推出空气对机身的斥力，则下边说法正确的是（）
A．无人机的动能为
B．无人机的功率Mgv
C．单位时间内推出空气的总质量为
D．每位螺旋桨转动时产生空气流动的圆面面积
【解答】解：AB、由于客机静止，所以空气对客机的斥力为：F＝Mg
客机对空气斥力为：F′＝F＝Mg
对被推向下的空气应用动量定律可得：F't＝Mgt＝mv
得：m＝
空气获得的动能为：Ek＝
，解得：Ek＝
Mgvt
无人机做功使空气获得动能，无人机的功率为：P＝
＝
＝
Mgv，故AB错误；
C、由上可知：m＝
，单位时间内推出空气的总质量为m0＝
＝
，故C正确；
D、螺旋桨转动时产生空气流动的圆面面积为S，则有：Sρv＝
，
每位螺旋桨转动时产生空气流动的圆面面积：S′＝
联立解得：S′＝
，故D错误。
故选：C。
8．水面上有帆船正以速率v1匀速顺风航行。已知：该船帆的有效受风面积为S，水平风速恒为v2，且v1＜v2，水面上空气密度为ρ。则风对船帆的推力的功率为（）
A．ρSv22
B．ρS（v2﹣v1）2
C．ρS（v2﹣v1）2v1
D．ρS（v2﹣v1）2v2
【解答】解：单位时间t内冲击船帆的空气的容积
V＝SL＝S（v2﹣v1）t
单位时间t内冲击船帆的空气质量
m＝ρV＝ρS（v2﹣v1）t
空气的动量改变量
Δp＝m（v2﹣v1）
帆对空气的斥力F，由动量定律
Ft＝Δp
解得：F＝ρS
依据牛顿第三定理，帆船在航行过程中遭到的风的水平推力大小
F'＝F＝ρS
风对船帆的推力的功率为
P＝F'v1＝ρS
v1，故C正确，ABD错误。
故选：C。
9．如图，横截面积为5cm2的火柱以10m/s的速率垂直冲到墙面上，已知水的密度为1×103kg/m3，假定水冲到墙壁后不大跌而顺墙上流下，则墙上所受火柱冲击力为（）
A．5×105N
B．50N
C．5×103N
D．5×102N
【解答】解：ts时间内喷水质量为：m＝ρSvt＝1000×0.0005×10tkg＝5tkg，
水在时间ts内遭到墙的冲量为：I＝0﹣mv＝Ft
所以：
减号表示水遭到的墙的斥力的方向与运动的方向相反。
故选：B。
10．2021年9月24日，中国用长征5号运载湖人成功将太空飞船货物舱送入预定轨道。运载湖人打火时向上喷气，会对地面形成力道。假定湖人喷气口的横截面积为s，喷吐二氧化碳的速率为v（相对于地面），二氧化碳垂直射向地面后，竖直速率变为零，已知二氧化碳的密度为ρ，重力加速度大小为g，忽视二氧化碳自身重力，则二氧化碳对地面的平均力道是（）
A．sv2ρ
B．
sv2ρ
C．svgρ
D．
svρ
【解答】解：设Δt时间内雄鹿喷吐二氧化碳的质量为Δm，则Δm＝ρsv•Δt
以Δt此时间内喷吐的二氧化碳Δm为研究对象，设地面对二氧化碳的斥力为F，取喷吐二氧化碳速率的方向为正方向，由动量定律得：
﹣F•Δt＝0﹣Δmv
联立解得：F＝ρsv2
由牛顿第三定理知，二氧化碳对地面的冲击力为：F′＝F＝ρsv2，故A正确，BCD错误。
故选：A。
11．用豆粒模拟二氧化碳分子，可以模拟二氧化碳浮力形成的原理。如图所示，从距秤盘80cm高度把1000粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为1s，豆粒弹起时竖直方向的速率变为碰前的一半。若每位豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短（在豆粒与秤盘碰撞极短时间内，碰撞力远小于豆粒遭到的重力），已知1000粒的豆粒的总质量为100g。则在碰撞过程中秤盘遭到的压力大小约为（）
A．0.2N
B．0.6N
C．1.0N
D．1.6N
【解答】解：豆粒下落到秤盘上的速率v＝
＝
＝4m/s；大跌后速率为v'＝﹣2m/s，设向上为正方向，则依据动量定律可知：
Ft＝mv'﹣mv
解得：F＝0.6N；由牛顿第三定理可知，在碰撞过程中秤盘遭到的压力大小为0.6N；
故B正确，ACD错误。
故选：B。
12．高压水枪是世界上公认的最科学、经济、环保的清洁工具之一。如图所示为某高压水枪工作时的场景。考虑能量耗损，可近似觉得高压水枪工作时电动机所做功的80%转化为喷吐水的动能，已知水枪进水口半径为d，水从枪口喷吐时的速率为v，水的密度为ρ，求：
（1）单位时间从枪口喷吐的水的质量；
（2）这个水枪工作时电动机做功的功率；
（3）用高压水枪冲洗物体时，在物体表面将形成一定的压力。若水从枪口喷吐时的速率大小v＝100m/s，近距离垂直喷射到物体表面，水枪进水口半径d＝5mm。忽视水从枪口喷吐后的发散效应，水喷射到物体表面时速率在短时间内变为零。因为火柱后端的水与物体表面互相作用时间很短，因而在剖析水对物体表面的斥力时可忽视这部份水所受的重力。已知水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，g＝10m/s2，计算水枪在物体表面形成的冲击力的大小。
【解答】解：（1）Δt时间内，水枪喷吐的水的质量为：Δm＝ρSvΔt＝ρ•
πd2vΔt
则单位时间从枪口喷吐的水的质量为：
＝
ρπd2v
（2）水枪在时间Δt内做功转化为火柱的动能为：W＝
这个水枪工作时电动机做功的功率为：P电＝
＝
＝
＝
ρπd2v3
（3）取很短的时间Δt'重力加速度单位，则Δt'时间内打到物体表面的水的质量为m'，则有：m'＝ρ
πd2vΔt'
以这部份水为研究对象，设物体表面对其斥力为F'，以水流速率方向为正方向，由动量定律可得：
﹣F'Δt'＝0﹣m'v
代入数据解得：F′＝196.25N
依据牛顿第三定理可得水枪在物体表面形成的冲击力大小：F＝F'＝196.25N
答：（1）单位时间从枪口喷吐的水的质量为
ρπd2v；
（2）这个水枪工作时电动机做功的功率为
ρπd2v3；
（3）水枪在物体表面形成的冲击力的大小为196.25N。
13．某游乐园入口旁有一喷泉，水枪喷吐的火柱将一玩具纸盒稳定地悬停在相对于喷管高度为h的空中，如图所示。为估算便捷起见，假定火柱从横截面积为S的喷管持续以恒定的速率v0竖直向下喷吐；纸盒顶部为平板（面积略小于S）；火柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速率变为零，在水平方向朝四周均匀飘动。忽视空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度为g。求
（1）水枪单位时间喷吐的水的质量
（2）玩具纸盒的质量M。
【解答】解：（1）设△t内喷水的质量为△m，则：△m＝ρSv0△t
单位时间喷吐的水的质量：
；
（2）设△t内，木盒对△m的水的平均斥力为F，冲击纸盒时水的速率为v，取向下为正
动量定律有：（F+△mg）△t＝△mv
又△mg＜＜F
所以F＝ρSv0v
由运动学公式有：
由平衡条件及牛顿第三定理有：F'＝Mg，F'＝F
联立解得：
。
答：（1）水枪单位时间喷吐的水的质量为ρSv0；
（2）玩具纸盒的质量为
。
14．高压掘进水枪进水口的横截面积为S，水的射程为v，火柱水平垂直地射到矿体后，速度变为0，若水的密度为ρ，假设火柱截面不变，则水对矿体的冲击力是多大？
【解答】解：设t时间内有V容积的水打在矿体上，则这种水的质量为：m＝ρV＝ρSvt，
以这部份水为研究对象，它深受矿体的斥力为F，以水运动的方向为正方向，由动量定律有：Ft＝0﹣mv，
即：F＝﹣
＝﹣ρSv2，减号表示水遭到的斥力的方向与水运动的方向相反；
由牛顿第三定理可以晓得，水对矿体的冲击力大小也为ρSv2．
答：水对矿体的冲击力是ρSv2．
15．某游乐园入口旁有一海豚喷泉，在电机作用下会从海豚模型头部喷吐竖直向下的火柱，将站在滑水板上的公仔模型托起，悬停在空中，伴随着音乐曲调，公仔模型还能上下运动，特别引人伫足，如图所示。这一水景可做如下简化，假定火柱从横截面积为S的喷管持续以速率v0竖直向下喷出；设同一高度火柱横截面上各处水的速度都相同，滑水板顶部为平板且其面积小于火柱的横截面积，保证所有水都能喷到滑水板的顶部。火柱冲击滑水板前其水平方向的速率可忽视不计，冲击滑水板后，水在竖直方向的速率立刻变为零，在水平方向朝四周均匀飘动。已知公仔模型和滑水板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻力及水的粘滞阻力均可忽视不计。
（1）试估算公仔模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷吐的水的质量；
（2）实际上当我们仔细观察发觉喷吐的火柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方向上一端粗一端细，请你剖析上升阶段的火柱是下端较粗还是上端较粗，并说明火柱呈现该形态的诱因。
（3）因为火柱底部的水与滑水板互相作用的时间很短，因而在剖析水对冲浪板的斥力时可忽视这部份水所受的重力作用。求公仔在空中悬停时，其底面相对于喷管的高度。
【解答】解：（1）公仔处在空中静止，此时受重力与水向下的推力，由二力平衡可知F＝Mg
设△t时间内，从喷管喷吐的水的容积为△V，质量为△m，
则△m＝ρ△V，△V＝v0S△t由以上两式得，单位时间内从喷管喷吐的水的质量为
（2）火柱下端较粗，上端较细。
缘由是：任意横截面流速相等，上端火柱速率较下端火柱的速率大，由Q＝Sv，（S为火柱截面积，v为火柱中水的流速）可知，下端火柱截面较大。
（3）设玩具悬停时其底面相对于喷管的高度为h，水从喷管喷吐后抵达玩具底面时的速率大小为v。
对于△t时间内喷吐的水，由能量守恒定理得
；
在h高度处，△t时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为△p＝（△m）v设水对玩具的斥力的大小为F，依据动量定律有F⋅△t＝△p因为玩具在空中悬停，
由力的平衡条件得F＝Mg
联立以上各色得
答：（1）水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷吐的水的质量为ρv0S；
（2）火柱下端较粗，上端较细。任意横截面流速相等，上端火柱速率较下端火柱的速率大，由Q＝Sv，（S为火柱截面积，v为火柱中水的流速）可知，下端火柱截面较大。
（3）公仔在空中悬停时，其底面相对于喷管的高度
。
16．如图所示，静止在光滑水平面上的货车质量为M＝20kg．从水枪中喷吐的火柱的横截面积为S＝10cmcm2，速率为v＝10m/s，水的密度为ρ＝1.0×103kg/m3．若用水枪喷吐的水从车后沿水平方向冲击货车的前壁，且冲击到货车前壁的水全部沿前壁流进货车中．当有质量为m＝5kg的水步入货车时，试求：
（1）货车的速率大小；
（2）货车的加速度大小．
【解答】解：（1）流进货车的水与货车组成的系统动量守恒，当淌入质量为m的水后，货车速率为v1，
则mv＝（m+M）v1，
解得：
（2）质量为m水流进面包车后，在极短的时间△t内，冲击货车的水的质量为△m＝ρS（v﹣v1）△t
此时，水对车的冲击力为F，则车对水的斥力也为F，
据动量定律有
﹣F△t＝△mv1﹣△mv
解得：
依据牛顿第二定理得：
答：（1）货车的速率大小为2m/s；
（2）货车的加速度大小为2.56m/s2．