流体流动、传热和传热传质：能量守恒能量多项式
热力学第一定理将内能定义叙述为：封闭系统的内能变化ΔU等于系统吸收的热量
除以系统所做的功
：
(1)
假如系统可以运动，则多项式可以扩充为包含系统动能
：
(2)
在剖析容积无限小的流体时，我们可以改写多项式，得到总内能守恒多项式（）：
(3)
在上式中：
总挠度张量一般写为：
(4)
其中，
表示压力，
表示粘性挠度张量。
等式右边第二项表示表面力所做的功，在使用
定义后，该项可以写为
(5)
该等式右边第一项一般称为压力功焦耳定律计算工具，第二项称为粘性功。这两项可以通过以下方法进一步分解：
(6)
等式的第一行表示可逆效应，可以描述使内能降低的功以及内能做功的过程。第二行描述不可逆效应，即：功怎样通过粘性耗散使内能降低，以及粘性效应怎样使动能减低。
多项式包含动能守恒多项式。通过将速率
与动量多项式进行点积，可以推导入该多项式。执行代数运算后，可以得到：
(7)
从上式可以看出，总能量多项式中体力做的所有功就会改变动能。多项式两侧其余的项包含等式中描述的影响动能的表面力做功部份。从等式中除以多项式，可以得到内能多项式：
(8)
假如存在由反应或与幅射互相作用等形成的内热源，则须要添加一个附加的内热源项
，此时的内能等式变为：
(9)
焓多项式
内能是一个热力学状态变量，极少用于实际应用。较为常用的数学量是焓
，它通过下式与内能关联：
(10)
将等式代入等式，经过重新整理，可以得到焓多项式（）：
(11)
多项式为守恒方式，这些方法是通过在编撰等式右边时，将密度和速率包含在散度运算符中来实现的。使用连续性等式可以推导入焓多项式的非守恒方式。等式右边可以展开为以下方式：
(12)
等式右边的第一项是连续性多项式除以焓，因而恒等于零。多项式由此可以写为：
(13)
虽然多项式为非守恒方式，但仍可以描述焓守恒。
室温多项式
相信所有工程师都熟悉气温概念，因而用体温描述能量守恒十分便捷。焓与气温
和压力的关系通过以下微分关系来表征：
(14)
其中，
为恒压潜热，β为容积膨胀系数。
等式可用于替换多项式中的
。再度调用连续性等式，可以得到体温多项式：
(15)
最后一步是使用傅里叶导热定理
（
为导热系数）来定义传导热通量矢量
。据此可以得到体温多项式：
(16)
观察上式可以发觉焦耳定律计算工具，只有在恢复焓或内能的情况下，才会改写守恒方式的气温多项式。
室温多项式是另一种表征能量守恒的形式，在物理上等效于多项式。但是，在使用数值方式实现多项式时，不同的守恒多项式并不等效。许多商业软件都基于有限容积法，并求解守恒方式的总焓输运多项式。通过这些方法，这种商业软件可以实现总能量守恒。但总焓多项式容易形成数值振荡，因而增加数值精度。为此，求解气温多项式相对要稳定、精确得多。有限元法支持求解气温多项式，同时能够实现总能量守恒。
能量守恒的特殊情况
对于理想二氧化碳，
项等于一，此时方程变为：
(17)
假如流体不可压缩，则压力功项为零，多项式可以简化为：
(18)
对于大多数工程应用而言，假若系统没有经历显著的压力变化，或则马赫数远大于一，则压力功项也可以忽视不计。
在一些特殊情况下，剪切速度十分高，此时的粘性加热就变得十分重要。轴承系统和油压系统便是两个典型的工程事例。但是，在大多数其他情况下，粘性加热可以忽视不计，等式可进一步简化为：
(19)