在数学学中，有一类特殊的实验：它们不须要购置高昂的仪器，不须要大量的人力物力，须要的只是有逻辑的脑部；而这些实验却可以挑战前人的推论，完善新的理论，甚至引起人们对世界认识的重新思索。这些实验就是传说中的思想实验。历史上的许多伟大数学学家，都曾设计过发人深思的思想实验，伽利略、牛顿、爱因斯坦便是其中的代表，这种思想实验除了对化学学的发展有着不可磨灭的作用，更是颠覆了人们对世界对宇宙的认识。这篇文章将从易到难地介绍一下数学学历史上的几个知名思想实验。
惯性原理
自从亚里士多德时代以来，人们仍然以为力是运动的缘由，没有力的作用物体的运动就会静止。直至伽利略提出了下边这一个家喻户晓的思想实验，人们才晓得了惯性原理——一个不受任何外力(或则合外力为0)的物体将保持静止或匀速直线运动：
构想一个一个竖直放置的V字形光滑滑轨，一个小球可以在里面无磨擦的滚动。让小球从上端往下滚动，小球将滚到左侧的同样高度。假如增加两侧滑轨的斜率，小球一直将滚动到同样高度，此时小球在水平方向下将滚得更远。斜率越小，则小球为了滚到相同高度就必须滚得越远。此时再构想两侧滑轨斜率不断增加以至于降为水平，则依照上面的经验，倘若无磨擦力阻挠，小球将会仍然滚动下去，保持匀速直线运动。
在任何实际的实验当中，由于磨擦力总是难以忽视，所以任何真实的实验都未能严格地证明惯性原理，这也正是古人没有得出惯性原理的诱因。但是思想实验就可以做到，仅仅通过日常经验的延展就可以让任何一个理智的人相信惯性原理的正确性，这一最简单的思想实验足以彰显出思想实验的锋芒！
两个小球同时落地
仍是受亚里士多德的影响，伽利略之前的人们以为越重的物体下落越快，而越轻的物体下落越慢。伽利略在汉堡斜塔上的知名实验人尽皆知，但是好多人不晓得的是，虽然在这之前伽利略早已通过一个思想实验证明了两个小球必须同时落地：
假如亚里士多德的论断是对的话，这么不妨构想把一个重球和一个轻球绑在一起下落。因为重的落得快而轻的落得慢，轻球会拖放住重球给它一个阻力让它减速，因而俩球的下落速率应当会介于重球和轻球下落速率之间。但是，假若把两个球看成一个整体，则总重量小于重球，它应该下落得比重球单独下落时更快的。于是这两个结论之间自相矛盾，亚里士多德的论断错误，两个小球必须同时落地。
有了上述思想实验，实际上两个小球同时落地就早已除了是一个数学上创立的定理了，而是在逻辑上就必须这么。在这个事例中，思想实验起到了真实实验难以达到的作用：虽然在我们小学所学的牛顿引力理论不适用的情形，两个小球同时落地仍然是创立的！前面我会提到广义相对论中的等效原理，这个思想实验在逻辑上的必然创立是爱因斯坦总结出等效原理的关键诱因。
牛顿的大炮
如图，一门架在高山上的大炮以很高的速率向外水平地发射火箭弹，子弹速率越快，才会落到越远的地方。一旦速率足够快，则子弹就永远也不会落地，而是会绕着地球作周期性的运动。
牛顿的这一简单的思想实验，第一次让人们认识到，原先地球不会掉到地上来（也不会跑掉）的缘由，正是造成苹果落地的引力！牛顿的引力理论促使了人们认识上的一个飞越：天上的东西并不“神圣”，她们遵守的规律和地上的普通物体完全一致。
水桶实验
用长绳吊一水桶，让它旋转至绳扭紧，之后将水注入，水与桶暂时都处于静止中，这时其实液面水平。再猛然使桶反方向旋转，刚开始的时侯海面并未跟随着运动，此时海面一直水平。并且后来，桶逐步把运动传递给水，使水也开始旋转，就可以看见水逐渐离开其中心而沿桶壁上升产生凹面。运动越快，水升的越高。如果此时忽然让桶静止，水因为惯性仍将旋转，此时的液面仍为凹面。牛顿觉得，湖面的下凹，不是由水对周围的相对运动导致的，而是由水的绝对的、真正的圆周运动导致的，因而由海面的下凹就可以判定绝对运动的存在。
这一思想实验，是牛顿为了论证绝对空间的存在而设计下来的。但是，众所周知，牛顿的绝对时空观虽然是错误的，也就是说这一思想实验似乎是个失败的反例。这一谬论，在100多年以后才被哲学家兼数学学家马赫所强调。马赫觉得，湖面的凹坑，并不是因为水相对于“绝对空间”的运动，而是因为相对宇宙间的所有其他物体的运动，这种其他所有物体通过引力对水施加了作用。其中起决定性作用的物体则是遥远的天体，正是遥远的天体的“参考系拖放”作用使得相对于它们旋转的液面发生了凹坑。马赫觉得并不存在绝对空间，所有参考系等价。如果才能使海面保持静止，而让所有遥远天体一齐旋转，根据马赫的观点，静止海面将形成凹液面。我们或许难以做这样的实验，而且假如用几公里厚的水桶做前面的水桶实验，则人们便不能肯定牛顿对液面的平凹的判定了。。后来，马赫的观点对爱因斯坦发明广义相对论形成了决定性的影响，马赫原理本身也随着广义相对论的逐步否认而得到了广泛认可。
奥伯斯佯谬
在20世纪的宇宙大爆燃理论提出之前，人们对于宇宙的认识是朴实的：宇宙无限大、存在的时间无限长、宇宙处于稳恒态、宇宙中的星系分布在大尺度上均匀。但是那时的人们不晓得的是，从这四条基本假定却可以逻辑地推出与事实显著偏颇的推论——奥伯斯佯谬：
假如宇宙是稳恒，无限大，时空平直的，其中均匀分布着同样的发光体，因为发光体的亮度与距离的平方成正比，而一定距离上球壳内的发光体数量和距离的平方成反比，这样就促使对全部发光体的亮度的积分不收敛，黑夜的天空应该是无限亮的。
但是每晚的黑夜总是如期降临，天空并不是始终无限亮着。这就说明先前我们对宇宙的认识存在问题。奥伯斯本人给出了一个解释，他觉得宇宙中存在的尘埃、不发光的恒星吸收了一部份光线。但是这个解释是错误的，由于依据热力学第一定理，能量必将守恒，甚或中间的阻隔物会变热而开始放出幅射，结果造成天上有均匀的幅射，气温应该等于发光体表面的气温，也即天空和恒星一样亮，但是事实上没有观察到这些现象。直至宇宙大爆燃理论的提出，奥伯斯佯谬才迎刃而解。按照大爆燃理论，宇宙诞生于150亿年前的一个大爆燃，到现今宇宙仍处在膨胀的过程当中，为此，宇宙的存在时间便是有限的，但是并非处在稳恒态。四条基本假定的两条早已不再创立，因而奥伯斯佯谬也自然被击溃。
拉普拉斯妖
牛顿然后的时代，精典热学在描述世界上形成了巨大的成功，人们渐渐的相信世界是可以用数学定理机械地描述的。比较极端地，拉普拉斯就相信机械决定论，觉得世间万物（包括人类、社会）都逃不过确定的数学定理的掌控。
“我们可以把宇宙如今的状态视为其过去果以及未来的因。假如一个智能晓得某一刻所有自然运动的力和所有自然构成的物件的位置，如果他也就能对那些数据进行剖析，那宇宙里最大的物体到最小的粒子的运动就会包含在一条简单公式中。对于这智者来说没有事物会是含混的，而未来只会像过去般出现在他面前。”——拉普拉斯
拉普拉斯提及的“智能”，便是后人所称的“拉普拉斯妖”。如果拉普拉斯妖是存在的，那这个世界也太可怕了：你我的行为全部都可以通过估算得出，我们的命运也全都被数学定理+初始条件严格的定出了，没有哪些会是估算之外的，那生活还有哪些乐趣可言！辛运的是，混沌理论和量子热学的发展，让拉普拉斯妖永远也不可能存在了。量子热学告诉我们，数学量都是有不确定性的，不可能无偏差地精确检测。而混沌理论则表明，只要涉及3个及更多的物体，初始条件的非常微小的差异将造成最后结果的千差万别。从另一个角度来说，拉普拉斯妖是基于精典热学可逆过程的，但是真实的系统确实满足热力学第二定理（熵增原理）的不可逆过程。因而世界仍是充溢不确定性饱含了惊喜的，人也可以凭着自己的主观努力去改变自己的命运。
麦克斯韦妖
高中时我们都曾学过热热学第二定理（熵增原理）：孤立系统的不可逆过程熵总是在降低。“落叶永离，覆水难收；欲死灰之复燃，艰乎其力；愿破镜之重圆，冀也无端；人生易老，返老还童只是幻想；生米煮成熟饭，无可挽回...”这些都是熵增原理在实际生活中的反应，它如今也早已成为了数学学中最牢不可破的原理之一。可是当初麦克斯韦却曾提出过一个对熵增原理的诘难，十分令人困扰：
一个绝潜热器被分成相等的两格，中间是由“麦克斯韦妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速率较快的分子装入一格，而较慢的分子倒入另一格，这样，其中的一格都会比另外一格湿度高，系统的熵增加了。可以借助此温差，驱动热机做功，而这是与热力学第二定理相矛盾的。
对于这个诘难的指责，可并不是一件轻松的事情。有人可能以为麦克斯韦妖在打开、关闭门的时侯须要消耗能量，这儿形成的熵增会抵消掉系统熵的增加。但是开关门消耗的能量却不是本质的，它可以任意增加到足够小。对于麦克斯韦妖的真正解释，直至20世纪才被揭露。关于熵的问题向来比较难懂，因而我直接引用赵凯华先生在《新概念热学·热学》中的话：“麦克斯韦妖有获得和储存分子运动信息的能力nb物理实验，它靠信息来干预系统，使它逆着自然界的方向进行。按现代的观点，信息就是负熵，麦克斯韦妖将负熵输入给系统，增加了它的熵。这么，麦克斯韦妖如何能够获得所需的信息呢？它必须有一个气温与环境不同的微型光源去点亮分子，这就须要花费一定的能量，形成额外的熵。麦克斯韦妖正是借此为代价才获得了所需的信息（即负熵）的，这额外熵的形成补偿了系统里熵的降低。总上去说，虽然真有麦克斯韦妖存在，它的工作方法也不违背热力学第二定理。”
双生子佯谬
爱因斯坦的狭义相对论构建了全新的时空观，对于当时的人们来说无法接受。因而自从提出以来，狭义相对论就遭到了各类诘难，其中最知名的当属双生子佯谬。并且无论怎样诘难，狭义相对论都可以很完美的给出解释，所有的佯谬都被一一化解，研究这种佯谬可以愈发深刻的理解狭义相对论的时空观。
在狭义相对论中，运动的参考系时间会变缓，即所谓的动钟变慢效应。现今构想这样一个情境：有一对胞胎A和B，A留在月球上，B搭乘接近光速的飞船向宇宙深处飞去。飞船在飞出一段距离以后调头往前飞，最终降落回月球，两兄弟碰面。现今问题来了：A觉得B在运动的时侯时间变慢，B应该比A年青；而同样地，在B看来，是A仍然在运动，是A的时间变慢了，A应该比B年青才是。这么兄弟俩到底谁更年青呢？狭义相对论是否自相矛盾了？
事实上，理解双生子佯谬的关键，是要清楚A和B的地位并不对等：三人中只有B经历了加速过程，B在飞船调头的时侯不可防止的要经历一次加速。为此，只有A才是处在狭义相对论创立的惯性系当中，只有A的想法是正确的：当兄弟俩碰面时，B比A更年青。类似的效应早已被精密实验所否认了。虽然只要用狭义相对论做详细的估算，也才能从B的角度理解为何B比A更年青，然而这不得不做繁杂的估算，这儿就不给出了。至此我们可以放心地说，狭义相对论在这个问题上是没有包含矛盾的。并且出去旅游一圈的胞胎兄弟竟然回去就比较年青了，这一点而且颠覆了大多数人的世界观的...而且这是事实，不信也得信呀！
等效原理
在学校里你们都学了质量的概念，但是事实上是有两种不同的质量的：惯性质量和引力质量。惯性质量是F=ma中的m，它是惯性大小的量度；引力质量是F=GMm/r^2中的m，它是引力大小的量度。之所以学校里并不对这两者进行分辨，是由于这两者精确地相等。这一事实并不是理所其实的，而爱因斯坦正是通过这一神奇的事实，归纳出了广义相对论的一个基本假定：等效原理。
构想一个处于自由空间（没有引力作用）中的宇宙飞船，它以a=9.8m/s^2的加速度做加速直线运动。如果上面的人扔出一个小球，小球因为惯性，将以9.8m/s^2的加速度落地；而这正如一个处于引力场中的惯性系所表现的那样。非惯性系中的惯性力反比于惯性质量，而引力则反比于引力质量。惯性质量与引力质量相等这一事实，引起了惯性力与引力这两种效应难以分辨，这就是弱等效原理。爱因斯坦进一步推广，对于一切化学过程（不仅仅是力学过程）nb物理实验，自由空间中的加速运动参考系，与引力作用下的惯性系，这两者在原则上完全不可分辨，这就是强等效原理。
“引力场中一切物体都具有同一的加速度，这条定理也可叙述为惯性质量同引力质量相等，它当时就使我认识到它的全部重要性。我为它的存在倍感极为惊奇，但是推测其中必有一把可以更深入了解惯性和引力的锁匙。”——爱因斯坦。
薛定锷的猫
薛定谔的猫显然是数学界最知名的一只虚构小昆虫了，它是量子热学的创始人之一——薛定谔为了说明量子热学并不完备而提出的：
把一只猫放进一个封闭的袋子里，之后把这个袋子联接到一个包含一个放射性原子核和一个装有有毒二氧化碳的容器的实验装置。构想这个放射性原子核在一个小时内有50％的可能性发生衰变。倘若发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，因而杀害这只猫。依照量子热学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，猫则处在死和活的叠加态，即“既死又活”（而不是好多人误会的“半死不活”、“要么死要么活”）。并且，假如在一个小时后把袋子打开，实验者只能听到“衰变的原子核和死猫”或者“未衰变的原子核和活猫”两种情况。现今的问题是：这个系统从哪些时侯开始不再处于两种不同状态的叠加态而成为其中的一种？在打开袋子观察曾经，这只猫是死了还是活着甚或既死又活？这个实验的本意是想说明，假若不能对波函数塌缩以及对这只猫所处的状态给出一个合理解释的话，量子热学本身是不完备的。
薛定谔的猫是化学学家的一个恶梦，它把微观的量子热学效应放大到了宏观的日常生活，致使一切都显得非常奇特。对于薛定谔的猫的解释，涉及到了多种对量子热学的深刻哲学理解，本文就不深究了。