以上剖析推论不计及分子总动能改变的其它过程,因而分子总动能的增量乙E=一二氧化碳对外界作的元功渗A,即岔A二Pdy。_这个简单的例说明作功作为系统与外界交换能量的一种形式书与书重叠的摩擦力原理,是有序运动能量与不规则热运动能量间的转换。参考文献c1〕李椿、章立源、钱尚武编,《热学》,人民教育出版社(1978),50一54页。〔2〕王竹溪著,《统计数学学概论》,高等教育出版社(1956),180一181页。叠加原理上海交大化学系李平在普通数学中,有不少地方提到叠加原理。各类教材中对叠加原理有不同的理解,本文就叠加原理的意义、作用,以及在普通数学教学中怎样处理等问题,初步地提出一种见解。并且是彼此独立的。所以有时也把作用的叠加原理叫·做作用的独立性原理。(3)任何一个线性系统的运动都可表示为一个线性微分等式。线性微分多项式的一个重要特征就是解的叠加性。诸如,弹簧振子的受迫震动的微分多项式为一、什么是盈加原理当一个系统遭到某种作用时,此系统便形成相应的响应。
通常说来响应可以是很复杂的。但在个别情况下,响应也可以呈十分简单的方式,即当几个性质相同的作用同时作用于系统时,所形成的响应是彼此独立的。井且,合作用形成的合响应,等于各单独响应的和。在这些情况下,我们就说作用是满足叠加原理的。叠加原理是一个数学规律,是由化学系统的性质所决定的。下边再补充几点说明(1)我们把满足叠加原理的响应吗做线性响应;形成线性响应的系统吗做线性系统。因为当响应与作用之间成正此的关系时,一定满足叠加原理;而满足叠加原理的响应与作用之间不一定是反比的关系。所以用响应与作用或反比的关系来定义线性系统,是一个狭义的定义。(2)因为各作用形成的响应是可加量砂xdx,。m而丁十r不+K’x=厂“)是一个线性二阶常微分等式。引入一个算子L:一(爪黯二橇·“)后,此微分等式便可写成Lx=F在上式中,策动力F是作用于系统的作、用量;x是系统的响应量;L表示系统的性质。由此式可以看出,作药量与响应量之间是线性关系;L是一个线性算子,所以此系统是一个线性系统。
若作用为F:时的解为xl,作用为F:时的解为孔,则有Lxl=FIL耘=FZ相乘后得L(x;+孔)二F;十FZ即F:+FZ的解是x:+xZ。此结果就是解的叠加性。说明作用F是满足叠加原理的。(4)既然满足叠加原理时,作用的叠加等于响应的叠加,所以有时是作用的叠加原理,有时是响应的叠加原理。比如力的叠加原理就是作用的叠加原理;电场的叠加原理就是响应的叠加原理。因为这儿只是一个定义的间题,井不存在作用与响应之间是哪些关系的问题。井不是一个数学规律。所以按照我们的定义它不是一个原理。不宜将矢量性做为叠加原理而被提出。二、为什么要引入盈加原理引入叠加原理的目的,实际上就是从作用与响应的关系上把数学系统分成两类:满足叠加原理的是线性系统;不满足叠加原理的是非线性系统。通常说来,线性现象所满足的线性微分多项式通常都可以归结为代数运算而得到解答。非线性现象所满足的非线性微分多项式通常是很难求解的。至于什么系统是属于线性的,什么系统是属于非线性的,则取决于系统的物理性质。
必须直接地或间接地由实验来确定。实际上可以分为两种情况,一种情况是响应的规律与作用的强弱无关。即无论作用的强弱怎么,线性现象或非线性现象仍然不变。另一种情况是响应的规律随作用的强弱而变。诸如,当作用很强时便表现出非线性现象;当作用很弱时便表现出线性现象。因为线性现象具有特殊规律和固有的处理方式,使人们在个别理论中,常常把满足叠加原理做为基本出发点。下边具体讨论一下,在普通数学教学中各有关部份关于叠加原理的处理问题。三、运动的独立性原理有些教材在质点运动学部份把机械运动的矢量性哄做运动的独立性原理。实际上运动的矢量性来始于位矢的定义。党参照系确定后,质点在空间的位置便可表示为自原点引向质点的一个有方向的线段,即用一个矢量来表示书与书重叠的摩擦力原理,哄做位矢。由位矢的定义便可导入位移、速度、加速度的矢量性。四、力的独立性原理也畔做力的叠加原理。这个原理是在质点动力学部份关于牛顿第二定理的构建过程中引进的。在通常教材中牛顿第二定理是做为一个实验定理引出的。井且是只从一维运动的实验引出的。即首先从实验证明了一个一维的表示式F二fna式中质量仇已知是一个标量。
有一种推理方式,觉得既然加速度为一矢量,则可以预期力也是一个矢量。很自然地把力的方向考虑为,当它独立作用时所形成的加速度的方向。假如上式F=琳a是一个定义式,即从a来定义F的话,这些推理方式可以说是可以的。但实际上,式F=ma是一个实验定理。所以这个推理方式是不可以的。对一于一个实验定理来说,式中两侧的数学量必须是独立检测和确定的。所以力的性质必须通过实验来确定。按照实验发觉:几个力同时作用于一物体上时,所形成的加速度,等于每位力分别作用时所形成的加速度的矢量和。所以力是满足叠加原理的,这就确定了力的矢量性。有了叠加原理后便可独立地研究一个分力的作用。在牛顿第二定理中,我们是以质点。为系统,以F为作药量,以加速度a为响应量。五、振动的盈加原理在一些教材中,在述说震动的合成(叠加)时,首先述说了叠加原理。这些安排的目的,虽然是为了说明震动合成的基础是叠加原理。依据这些观点,就是说假如不满足蚕加原理就不能合成了。
其实这是从动力学的角度来考虑问题的。并且在震动合成这一部份所讲的内容井没有涉及策动力的问题。它只是从纯运动学的角度来研究合震动中位移的合成问题。拜且,倘若不单独来研究位移的合成,也就难以在位移的合成与策动力的合成之间做比较。由此可见,在震动的合成这一部份所讲的内容,既然是从纯运动学的角度来讨论的,也就浚有必要先讲叠加原理了。点。七、电势的必加原理电场中一点p处的电势U(p)定义为电场自p点到无穷远处的线积分。拜按照电场的叠加原理得:U(p)一{:E·“六、电场的必加原理静热学中最基本的一个定理就是库仑定理。设有两个点电荷q。和q,相距为r,则库仑定理的表示式为一{:(El+EZ+⋯+‘·,·“‘=Ui(P)+UZ(P)+⋯+U,(p)=习U‘(p),1qoq人矛=4元。。万r库仑定理只适用于两个点电荷。但在许多情况下常有若干个电荷彼此同时互相作用。对于此类情况应怎样解决就必须补充新的实验事实。实验证明,作用于某一电荷上的合力,等于各个电荷单独作用时所造成的力的矢量和。
这一事实便是电力的叠加原理。此时的“作用”是源电荷q;“系统”是试探电荷q0,“响应”是电力F。有了叠加原理之后,当空间除了电荷q0之外尚存在电荷q:、qZ一q。时,则作用在q0上的力为即电场中某点的电势,等于各个点电荷单独存在时电场在该点电位的代数和。这就是电势的叠加性。但因为井没有补充新的实验事实,所以电势的叠加性可以不做为一个原理。、裁臀;‘一舒电场硬度的定义是单位正电荷所受的力。设q。为试探电荷,于是有_F‘石二二—二二成客升燕一郭‘由于电力是满足叠加原理的,所以电场也满足叠加原理。在静电学中,把库仑定理和叠加原理这两个经验事实做为解决问题的出发八、波的盈加原理波的叠加原理常见于机械波部份和光学部份。机械波是震动在介质中的传播过程。各类机械波的共同特征是:在小振幅的情况下,波动多项式是线性的;在大振幅的情况下,波动等式便是非线性的。这是由于在小振幅的情况下做了一系列的线性近似的原故。做了近似之后,才得到线性波动多项式。
线性多项式说明,介质对于振源的响应是线性的。由此可见,机械波在小振幅的情况下是符合叠加原理的。当有两个振源同时做小震动时,各自形成的波可在介质的同一区域中独立传播。在机械波的情况下,“作用”是振源,“系统”是介质,“响应”是振幅。电磁波的叠加原理则又是另一个特性。电磁波是电磁场的一种运动方式,它的传播是不需耍介质的。在其空中电磁波的多项式是线性多项式,这归根结蒂是来始于电场和磁场的叠加原理。当电磁波作用于物质时,比如电磁波在介质中的传播,则交变电场将对介质中的原子系统发生作用,原子系统将形成响应,即形成电偶极矩,电偶极矩是一种场源,它形成极化场,极化场发射出次级辐射。假如入射波比原子内部的场强小得多,则介质中咸生的极化硬度与外加场强成反比P=aE由此可知,P的变化与E是相同的,次级辐射与入射波叠加后频度不变。假如几种不同频度的波同时作用于该介质时,各类频度的波都线性独立地传播,不会形成新的频度。这就是通常所说的光的独立性原理。此时的“作用”是电磁波,“系统”是介质,“响应”是次级辐射。
假如入射的电磁波很强,则介质对此入射波的响应便是非线性的,即P=aE+刀EZ+夕E3+⋯此时,因为出现了非线性项,所以不满足叠加原理。因此形成非线性光学现象。保持滚动无滑动的条件长沙学院卢国生圆锥、圆筒或球体在曲面上滚动时,保持无滑动的条件是:滚动物体和曲面之间的最大静磨擦力f,。要小于或等于维持滚动无滑动所需的静磨擦力f。设f和f,。与刚体运动方向相同时为正,相反时为负,则这一条件可表示为If,。}》}fl.上式表示的保持滚动无滑动的条件很简单,但却常常被忽略。如今我们来剖析因为忽略这一条件,在处理有关滚动的热学问题时,一些数学学教科书和习题集中出现的问题。一、质量均匀的小球在圆环轨道上滚动《物理学习题集》(上海学院化学系、中国科学技术学院数学教研室合编)第一册P.190质心力学习题7一95全文如下“如图7一95所示,直径为r的均匀球在斜面上从静止开始滚下,设球没有滑动,轨道上部是一个直径为R的圆环。
如不计阻力耗损,试问:(1)要使小球能滚到圆环最低点,问开始时它的刚体要比圆环的顶高多少?_二、__,_,、、__,_.__二,._.、._~_~.、“__,.⋯_,.,,_._~_‘l,(2)球沿圆轨道抵达最高处的最小速率是多少?”习题集给出的答案是:(1)六(7R、一‘f~‘曰~,“~一“~~’一J~”J~‘刁~~~~一.一刁~~‘目~曰子曰~~.、一10、’一17r),(2)侧g(R一r)。观察图1可以构建小球无滑动滚到圆环轨道任意位置尸的运动多项式为f一mgsins=ma:,(1)N一m夕eoss=爪t)2(R一r)(2)‘一(普m犷2)二(3)