4.4.2内阻、电感、电容串联电路按照KVL定理可列举设电路中的电压为电容器件上的电流uC比电压滞后，即则内阻器件上的电流uR与电压同相，即电感器件上的电流uL比电压超前电感器串联和并联公式，即电源电流为由电流相量所组成的直角三角形，称为电流三角形.借助这个电流三角形，可求得电源电流的有效值，即4.4.2内阻、电感、电容串联电路图4.27电流三角形（2）电路中的阻抗及相量图电路中电压与电压的有效值（或幅值）之比为。它的单位也是欧姆，也具有对电压起制约作用的性质，我们称它为电路的阻抗模，用代表，即、R、（-）两者之间的关系也可用一个直角三形——阻抗三角形来表示，图4.28阻抗三角形4.4.2内阻、电感、电容串联电路电源电流u与电压i之间的相位差也可从电流三角形得出，即用相量表示电流与电压的关系为将上式写成式中的称为电路的阻抗，用小写的Z表示，即阻抗的幅角即为电压与电流之间的相位差。对感性电路，为正；对容性电路，为负。4.4.2内阻、电感、电容串联电路2．RL串联电路实际的设备大部份是呈感性的，如日光灯负载，可以用理想内阻与理想电感相串联的电路模型表示，这类负载称为电感性负载，简称RL电路。
如图4.30所示。图4.30RL串联电路电路的电流多项式为由于所以RL串联电路的阻抗为电路阻抗的模为幅角或阻抗角为4.4.2内阻、电感、电容串联电路例4.11在RLC串联电路中，，，，若电源电流，求：电路的电压、电阻电流、电感电流和电容电流的相量。解：因为所以4．4．3内阻、电感、电容并联电路图4.32RL串联大道与C并联的电路RL大道中的电压为该大道相角电容大道中的电压为总电压相量等于两条大道中电流的相量和图4.33电路相量图其相量图如图4.33所示。4．4．3内阻、电感、电容并联电路例4.14一只日光灯和一只白炽灯并连接在f=50Hz、电压U=220V的电源上，如图4.34所示，日光灯的额定电流UN=220V，取用功率P1=40W，其功率质数cos1=0.5；白炽灯的额定电流UN=220V，取用功率P2=60W。求电压I1、I2和总电压I大小是多少？图4.34例4.13图图4.35例4.13相量图解：日光灯大道的电压4．4．3内阻、电感、电容并联电路因为，所以，设电流相量为参考相量，令，则电压I1的相量白炽灯大道的电压电压I2的相量在并联电路中有=[（0.1815-j0.314）+0.272]A=(0.4535-j0.314)A=0.552A因而有各电压与电流的相量图如图4.35所示。
4．5谐振电路案例4.4在无线电技术中常应用串联谐振的选频特点来选择讯号。收音机通过接收天线，接收到各类频度的电磁波，每一种频度的电磁波都要在天线回路中形成相应的微弱的感应电压。为了达到选择讯号的目的，一般在收音机里采用如图)所示的谐振电路。(a)接收器的调谐电路(b)等效电路4.5.1串联谐振1．谐振条件图4.37RLC串联电路如图4.37所示的RLC串联电路，其总阻抗为当ω为某一值，恰管用感抗XL和容抗XC相等时，则X=0，此时电路中的电压和电流同相位，电路的阻抗最小，且等于内阻（Z=R）。电路的这些状态称为谐振。因为是在RLC串联电路中发生的谐振，故又称为串联谐振。4.5.1串联谐振对于RLC串联电路，谐振时应满足以下条件或ω为谐振角频度，用ω0表示，则电路发生谐振的频度称为谐振频度2．谐振电路剖析电路发生谐振时，X=0，为此，电路的阻抗最小，因此在电源电流不变的情况下，电路中的电压将在谐振时达到最大，其数值为发生谐振时，电路中的感抗和容抗相等，而检波为零。电源电流，如图4.38相量图所示。图4.38RLC串联谐振相量图*第4章余弦交流电路4．1交流电路中的基本化学量4．6余弦交流电路中的功率4．2余弦量的相量表示4．3电路基本定理的相量方式4．4内阻、电感、电容电路4．5谐振电路4．1交流电路中的基本化学量案例4.1我们最熟悉和最常用的家用家电采用是都是交流电，如电视、电脑、照明灯、冰箱、空调等家用家电。
虽然是像收音机、复读机等采用直流电源的家用家电也是通过稳压电源将交流电转变为直流电后使用。这种家电设备的电路模型在交流电路中的规律与直流电路中的规律是不一样的，因而剖析交流电路的特点及相应电路模型的交流响应是我们的重要任务。第4章余弦交流电路4．1．1交流电路概述交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周期性的变化，但是在一周期内的平均值为零。图4.1所示为直流电和交流电的电波波形。余弦电流和电压等化学量，常合称为余弦量。频度、幅值和初相位就称为确定余弦量的三要素。4．1．1交流电路概述图4.1直流电和交流电的电波波形图4．1．2余弦交流电的基本特点和三要素以电压为例介绍余弦量的基本特点。根据余弦量的概念，设某大道中余弦电压i在选取参考方向下的瞬时值表达式为1．瞬时值、最大值和有效值把任意时刻余弦交流电的数值称为瞬时值，用大写字母表示，如i、u及e表示电压、电压及电动势的瞬时值。瞬时值有正、有负，也可能为零。最大的瞬时值称为最大值（也叫幅值、峰值）。用带下标的大写字母表示。如Im、Um及Em分别表示电压、电压及电动势的最大值。
余弦量的有效植：例4.1已知某交流电流为V，这个交流电流的最大值和有效值分别为多少？解：最大值有效值4．1．2余弦交流电的基本特点和三要素2．频度与周期余弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T，如图4.2所示。每秒内变化的次数称为频度f，它的单位是赫兹（Hz）。图4.2余弦电压波形图频度是周期的倒数，即在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频度，习惯上称为工频。角频度是指交流电在一秒钟内变化的电角度。若交流电一秒钟内变化了f次，则可得角频度与频度的关系式为4．1．2余弦交流电的基本特点和三要素解：例4.3已知某余弦交流电流为，求该电流的最大值、频率、角频度和周期各为多少？3．初相称为余弦量的相位角或相位，它反映出余弦量变化的进程。t=0时的相位角称为初相位角或初相位。规定初相的绝对值不能超过π。如图4.3所示，图中u和i的波形可用下式表示4．1．2余弦交流电的基本特点和三要素图4.3u和i的相位不相等两个同频度余弦量的相位角之差或初相位角之差，称为相位差，用表示。图4.3中电压u和电压i的相位差为＞，则u较i先抵达正的幅值。
在相位上u比i超前角，或则说i比u滞后角。初相相等的两个余弦量，它们的相位差为零电感器串联和并联公式，这样的两个余弦量称作同相。同相的两个余弦量同时抵达零位，同时抵达最大值，步调一致。如图4.4中的i1和i2。相位差为的两个余弦量称作反相。4．1．2余弦交流电的基本特点和三要素图4.4余弦量的同相与反相例4.4已知某余弦电流在时为110V，初相角为，求其有效值。解：此余弦电流表达式为则4．2余弦量的相量表示4．2．1复数1．复数的实部、虚部和模叫虚单位，物理上用i来代表它，由于在钳工中i代表电压，所以改用j代表虚单位，即图4.5有向线段的复数表示如图4.5所示，有向线段A可用下边的复数表示为A=a+jb由图4.5可见，表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的倾角，称为复数的幅角，用表示，规定幅角的绝对值大于。2．复数的抒发形式复数的直角座标式：4．2．1复数复数的指数方式：复数的极座标方式：实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数称作共轭复数。用A*表示A的共轭复数，则有A=a+jbA*=a-jb例4.5写出下述复数的直角座标方式。
（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）若两个复数相加减，可用直角座标式进行。如：A1=a1+jb1A2=a2+jb2则A1±A2=（a1+jb1）±a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）即几个复数相乘或相乘就是把它们的实部和虚部分别相加减。4.2.2复数的运算1．复数的加减复数与复平面上的有向线段（矢量）对应，复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应，但是复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来估算。图4.6矢量和与矢量差4.2.2复数的运算2．复数的乘除两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极座标式来进行。A1=a1+jb1=A2=a2+jb2=如：如将复数除以另一个复数，则得A2=r=同理，如以除复数，则得A3=r虽然原矢量顺秒针旋转了角。就是矢量A3比矢量A1滞后了角。当=±时，则乘上-j后，即顺秒针（向后）旋转了。因而任意一个相量乘上+j后，即逆秒针（往前）旋转了；所以j称为旋转的旋转因子。4.2.3向量1．向量法的定义在余弦交流电路中，用复数表示余弦量，并用于余弦交流电路剖析估算的方式称为相量法。
设有一余弦电流图4.7用余弦波形和旋转有向线段来表示余弦量4.2.3向量2．余弦量的向量表达式为了与通常的复数相区别，我们把表示余弦量的复数称为相量，并在小写字母上打“●”表示。于是表示余弦电流的相量为或：电流的幅值相量：电流的有效值相量根据余弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。图4.8电流和电压的相量图表示余弦量的相量有两种方式：相量图和复数式（相量式）。4.2.3向量例4.7试写出表示，和的相量，并画出相量图。解：分别用有效值相量、和表示余弦电流、和，则相量图如图4.9所示。图4.9例4.7图4．3电路基本定理的相量方式1．基尔霍夫电压定理的相量方式余弦交流电路中，联接在电路任一节点的各大道电压的相量的代数和为零，即通常对参考方向背离节点的电压的相量取正号，反之取减号。由相量方式的KCL可知，余弦交流电路中联接在一个节点的各大道电压的相量组成一个闭合六边形。如图4.10，节点O的KCL相量抒发式为图4.10KCL的相量方式4．3电路基本定理的相量方式2．基尔霍夫电流定理的相量方式在余弦交流电路中，任一回路的各大道电流的相量的代数和为零，即余弦交流电路中，一个回路的各大道电流的相量组成一个闭合六边形。
比如图4.11，回路的电流多项式为：其KVL相量抒发式为：图4.11KVL的相量方式4．4内阻、电感、电容电路案例4.2各类加工机械，如机床、铣床、刨床、磨床及小型加工机械（龙门机床、龙门铣床）等，应用最多的是马达类负载。交流异步电动机的等效电路如图4.12所示。电路中的f1侧为转子侧，f2侧为定子侧，r1、r2和X1、X2分别为转子侧和定子侧的等效内阻和电感。从电路中可见，交流异步电动机属于电感性负载，但是不是简单的内阻与电感相串联的负载。因而剖析电动机时就要根据它的等效电路模型，借助交流电路估算的方式进行剖析估算。图4.12交流异步电动机的等效电路模型4．4内阻、电感、电容电路案例4.3在照明电路中使用的白炽灯为纯内阻性负载，日光灯属于感性负载，家用吊扇为三相交流电动机，它的等效电路如图4.13所示。图中U1、U2为工作定子，V1、V2为起动定子，它们实际上是纯内阻与纯电感相串联。由图中可知，吊扇是一种内阻、电感和电容混联的负载。图4.13家用吊扇电动机等效电路模型4．4．1单一参数电路1．纯内阻电路（1）器件上电流和电压关系纯内阻电路是最简单的交流电路，如图4.14所示。
在日常生活和工作中接触到的白炽灯、电炉、电烙铁等，都属于内阻性负载，它们与交流电源联接组成纯内阻电路。4．4．1单一参数电路图4.15内阻电流电压的波形图图4.14纯内阻器件交流电路设内阻两端电流为则比较电流和电压的关系式可见：内阻两端电流u和电压i的频度相同，电流与电压的有效值（或最大值）的关系符合欧姆定理，但是电流与电压同相（相位差）。它们在数值上满足关系式4．4．1单一参数电路或用相量表示电流与电压的关系为内阻器件的电压、电压相量图如图4.16所示。图4.16内阻电路电流与电压的相量图（2）内阻器件的功率1）瞬时功率内阻中某一时刻消耗的电功率称作瞬时功率，它等于电流u与电压i瞬时值的乘积，并用大写字母p表示。4．4．1单一参数电路在任何瞬时，恒有p≥0，说明内阻只要有电压就消耗能量，将电能转为热能，它是一种耗能器件。图4.17内阻器件瞬时功率的波形图2）平均功率瞬工程中常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为平均功率，用小写字母P表示。由图所见：抒发形式与直流电路中电阻功率的方式相同，但式中的U、I不是直流电流、电流，而是余弦交流电的有效值。
4．4．1单一参数电路例4.8图4.14电路中，，，求电压i的瞬时值表达式，相量抒发式和平均功率P。解：由得2．纯电感电路（1）器件的电流和电压关系纯电感线圈电路如图4.18所示。设电路余弦电压为在电流、电流关联参考方向下，电感器件两端电流为4．4．1单一参数电路图4.18纯电感器件交流电路比较电流和电压的关系式可见：电感两端电流u和电压i也是同频度的余弦量，电流的相位超前电压90°，电流与电压在数值上满足关系式或表示电感电流、电流的波形如图4.19所示。图4.19电感器件电流与电压的波形图4．4．1单一参数电路（2）感抗的概念电感具有对交流电压起制约作用的化学性质，所以称为感抗，用XL表示，即感抗表示线圈对交流电压制约作用的大小。当f=0时XL=0，表明线圈对直流电压相当于漏电。这就是线圈本身所固有的“直流畅通，高频遇阻”作用。用相量表示电流与电压的关系为电感器件的电流、电流相量图如图4.20所示。图4.20电感电路相量图（3）电感器件的功率1）瞬时功率2）平均功率纯电感条件下电路中仅有能量的交换而没有能量的耗损。
4．4．1单一参数电路图4.21纯电感电路瞬时功率的波形图工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时功率的最大值定义为电感的无功功率，简称感性无功功率，用QL表示。即QL的基本单位是乏（var）。例4.9把一个电感量为0.35H的线圈，接到的电源上，求线圈中电流瞬时值表达式。解：由线圈两端电流的解析式可以得到4．4．1单一参数电路因而通过线圈的电压瞬时值表达式为3．纯电容电路（1）器件的电流和电压关系图4.22电容电路假如在电容C两端加一余弦电流则比较电流和电压的关系式可见：电容两端电流u和电压i也是同频度的余弦量，电压的相位超前电流90°，电流与电压在数值上满足关系式4．4．1单一参数电路或图4.23电容电流电压波形图（2）容抗的概念电容具有对交流电压起制约作用的化学性质，所以称为容抗，用XC表示，即电容器件对高频电压所呈现的容抗很小，相当于漏电；而当频度f很低或f=0（直流）时，电容就相当于开路。这就是电容的“隔直通交”作用。用相量表示电流与电压的关系为4．4．1单一参数电路电容器件的电流、电流相量图如图4.24所示。
图4.24电容电路相量图（3）电容器件的功率1）瞬时功率其变化波形如图4.25所示。图4.25电容瞬时功率的波形图2）平均功率由图4.25可见，纯电容器件的平均功率为了表示能量交换的规模大小，将电容瞬时功率的最大值定义为电容的无功功率，或称容性无功功率，用QC表示，即（var）4．4．1单一参数电路例4.10把电容量为40μF的电容器接到交流电源上，通过电容器的电压为，试求电容器两端的电流瞬时值表达式。解：由通过电容器的电压解析式可以得到电容器两端电流瞬时表达式为则电容器的容抗为4.4.2内阻、电感、电容串联电路1．RLC串联电路（1）RLC串联电路的电流电压关系图4.26RLC串联电路(a)(b)*