理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍主要内容静力学运动学动力学专题理论热学热学大赛知识点介绍静力学部份力、力矩、力系质心、力偶矩、力偶系主矢、主矩、力系简化约束与约束力力系平衡考虑磨擦的平衡问题理论热学热学大赛知识点介绍考虑磨擦的平衡问题理论热学热学大赛知识点介绍定义：两个相接触物体，当其接触处形成相对滑动或相对滑动趋势时，其接触处形成的制约物体相对滑动的力叫滑动磨擦力。滑动磨擦1.静滑动磨擦力及最大静滑动磨擦力如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，当水平方向无拉力时，其实有P=FN。如今该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，如图(b)所示，当拉力F由零逐步降低但又不很大时，物体仍能维持平衡。理论热学热学大赛知识点介绍由此可见，支承面对物体的约束力不仅法向约束力FN外还有一个制约物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力即静滑动磨擦力，简称静磨擦力。似乎有Fs=F，因而静磨擦力也是约束力，随着F的减小而减小。但是，它并不能随F的减小而无限地减小。而有一个最大值Fmax，称为最大静磨擦力，此时物体处于平衡的临界状态。当主动力F小于Fmax时，物体将丧失平衡而滑动。
即理论热学热学大赛知识点介绍实验表明上式称为库仑磨擦定理，是估算最大静磨擦力的近似公式。式中fs称为静磨擦质数，它是一个无量纲的量。通常由实验来确定。2.动滑动磨擦力当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有妨碍相对滑动的阻力，这些阻力称为动滑动磨擦力，简称动磨擦力，以Fd表示，大小可用下式估算。式中fd是动磨擦质数，一般情况下，理论热学热学大赛知识点介绍磨擦角和自锁现象1.磨擦角当有磨擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。它的作用线与接触处的公法线成一偏角j,如图所示，当静磨擦力达最大时，j也达到最大值jf,称jf为磨擦角。理论热学热学大赛知识点介绍2.自锁现象因为全约束力的作用线与接触处公法线的倾角j不能小于磨擦角，即变化范围为0jjf，因而可得：假如作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公法线的倾角qjf，则无论这个力多么小，物体必不能保持平衡。理论热学热学大赛知识点介绍磨擦角就是物块处于临界状态时斜面的夹角q,即下边的螺旋千斤顶就借助了自锁的概念。理论热学热学大赛知识点介绍考虑磨擦时物体的平衡问题考虑有磨擦的平衡问题时动量定理弹性碰撞，其解法与普通静力学问题基本一样。
但需强调的是，在受力剖析和列平衡多项式时要将磨擦力考虑在内，因此除平衡多项式外，还需降低补充等式0FsfsFN，因而有磨擦的平衡问题的解一般是一个范围。为了防止解不方程，常常先考虑临界状态（Fs=fsFN），求得结果后再讨论解的平衡范围。应当指出的是磨擦力的方向在临界状态下不能假定，要依照物体相对运动趋势来判定，只有磨擦力是待求未知数时，可以假定其方向。求解时，依据具体的问题采用解析法或几何法求解，下边举例说明理论热学热学大赛知识点介绍取物块A为研究对象，受力剖析如图。列平衡多项式。解:例题5-1联立求解得最大静磨擦力小物体A重P=10N，置于粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静磨擦质数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力，q=30°，试求作用在物体上的磨擦力。理论热学热学大赛知识点介绍预制构件A及B用楔块C连结，如图(a)所示，楔块自重不计，。已知楔块与预制构件间的磨擦系数fs=0.1,求能自锁的倾斜角q。解：(1)解析法研究楔块C，受力如图(b)，考虑临界平衡例题5-2再考虑补充等式联立解之得理论热学热学大赛知识点介绍(2)几何法仍考虑临界平衡状态,在此情况下,楔块C两端所受的全约束力必大小相等,方向相反且作用线在一条直线上;与作用点处的法线的倾角均等于磨擦角jf如图(c)所示。
由几何关系不难得以上是考虑临界状态所得结果，稍作剖析即可得例题5-2理论热学热学大赛知识点介绍例题5-3平衡多项式为取支架为研究对象,受力剖析如图。（1）解析法解:一活动支架套在固定圆锥的外表面，且h=20cm。假定支架和圆锥之间的静磨擦质数fs=0.25。问作用于支架的主动力F的作用线距圆锥中心线起码多远能够使支架不致下降（支架自重不计）。理论热学热学大赛知识点介绍联立求解得补充等式例题5-3解得（2）几何法由以上二个反例可以看出，当有磨擦处的约束力以全约束力方式给出，如能借助二力平衡条件和三力平衡汇交定律且几何关系又较简单，用几何法常常较便捷。理论热学热学大赛知识点介绍宽a，高b的圆形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其几何中心，柜与地面间的静磨擦质数是fs，在柜的侧面施加水平往右的力F，求柜发生运动时所需推力F的最小值。例题5-4理论热学热学大赛知识点介绍1.假定不坠地但正式滑动，考虑临界平衡。解:取圆形柜为研究对象,受力剖析如图。联立求解得衣柜开始滑动所需的最小推力补充等式列平衡多项式例题5-4理论热学热学大赛知识点介绍2.假定圆形柜不滑动但将绕B坠地。柜绕B翻覆条件：FNA=0使柜翻覆的最小推力为列平衡多项式解得例题5-4综上所述使柜发生运动所需的最小推力为理论热学热学大赛知识点介绍长为l的梯子AB一端靠在墙上上，另一端搁在地板上，如图所示。
假定梯子与墙面的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有磨擦，其静磨擦质数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为P的人沿梯子向下爬，假如保证人爬到顶端而梯子不致下降，求梯子与墙面的倾角q。例题5-5理论热学热学大赛知识点介绍以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下述平衡多项式：同时满足数学条件例题5-5联立解之得因0≤a≤l，当a=l时，上式右边达到最大值。理论热学热学大赛知识点介绍重为P=100N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小为FB=50N。A为光滑合页，轮与杆间的磨擦质数为fs1=0.4。轮直径为r，杆长为l，当q=60°时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，（1）若D处静磨擦质数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F的最小值又为多少？例题5-6理论热学热学大赛知识点介绍解：此题在C，D两处都有磨擦，两个磨擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。假定C处的磨擦先达到最大值，轮有水平往右滚动的趋势。例题5-61.以杆AB为研究对象，受力剖析如图。
解得列平衡多项式补充等式理论热学热学大赛知识点介绍例题5-62.以轮为研究对象，列平衡多项式。理论热学热学大赛知识点介绍解多项式得最小水平推力为受力图不变，补充等式应改为此时C处最大磨擦力为因而当fs2=0.15时，维持系统平衡的最小水平推力改为说明上面假设不创立，D处应先达到临界状态。3.当fs2=0.15时,例题5-6理论热学热学大赛知识点介绍由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，倘若仍用右图的热学模型来剖析就存在问题。即无论水平力F多么小，此物体均不能平衡，因对点A的矩的平衡多项式不满足，即§5-4滚动摩阻的概念出现此类现象的缘由是，实际接触面并不是质心，它们在力的作用下就会发生一些变型，有一个接触面，如图所示。这是与实际情况不符的，说明此热学模型有缺陷，须要修正。理论热学热学大赛知识点介绍与静滑动磨擦力相像，滚动摩阻力偶矩Mf随主动力F的减小而减小；但有一个最大值Mmax,即上式即是滚动摩阻定理，d称为滚动摩阻系数，具有宽度的量纲，单位通常用mm。与滚子和支承面的材料的强度和温度等有关。与滚子的直径无关。理论热学热学大赛知识点介绍滚阻系数的化学意义如下由力的平移定律通常情况下，相对滑动磨擦而言，因为滚阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽视不计。
理论热学热学大赛知识点介绍取轮子为研究对象,受力剖析如图。由平衡多项式解:例题5-7匀质轮子的重量P=3kN，直径r=0.3m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成q=30°的斜面匀速向下作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ=0.05cm，试求力FH的大小。联立求解补充等式理论热学热学大赛知识点介绍如图所示，总重为P的拖车在牵引力F作用下要爬上夹角为θ的斜坡。设车轮直径为r动量定理弹性碰撞，轮毂与桥面的滚动摩阻系数为δ，其它规格如图所示。求拖车所需的牵引力。例题5-8理论热学热学大赛知识点介绍拖车的两对轮子都是从动轮，因而滑动磨擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向下滚动的临界状态，因而前后轮的滚动摩阻力偶的质心矩M1,max和M2max都达到最大值。解：由平衡多项式首先取整个拖车为研究对象，受力剖析如图。例题5-8理论热学热学大赛知识点介绍再取后轮为研究对象，受力剖析如图。同样由前轮得轮子滚动临界时的补充等式解多项式可得列平衡多项式例题5-8理论热学热学大赛知识点介绍运动学部份矢量法、直角座标法、自然座标法（轨迹、速度、加速度）平动、定轴转动（各点速率与加速度）点的复合运动（速率与加速度）质心平面运动（瞬心、各点速率与加速度）理论热学热学大赛知识点介绍动力学部份质点运动微分等式转动力矩、惯量积、惯性主轴动量、动量矩、动能、冲量、功、势能动力学普遍定律的综合应用平面运动质心动力学多项式及其应用惯性力及惯性力系简化、动静法、静平衡与动平衡的概念理论热学热学大赛知识点介绍专题部份机械震动（单自由度震动的周期、频率、振幅、临界怠速和隔振的概念）第二类拉格朗日多项式（广义力的概念与估算，第二类拉格朗日多项式的应用）理论热学热学大赛知识点介绍专题部份质点系虚位移原理应用（虚位移、虚功、自由度、广义座标）碰撞问题（碰撞问题特点及其简化条件，恢复质数、对心碰撞及定轴转动质心和平面运动质心的碰撞问题）理论热学热学大赛知识点介绍机械震动基础理论热学热学大赛知识点介绍震动是日常生活和工程实际中常见的现象。
比如：钟摆的往复摆动,车辆行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的震动，以及水灾时造成的建筑物的震动等。利：震动给料机弊：锈蚀，降低寿命，影响硬度震动筛造成噪音，影响劳动条件震动沉拔桩机等消耗能量，增加精度等。3.研究震动的目的：去除或减少有害的震动，充分借助震动为人类服务。2.震动的优劣：1.所谓震动就是系统在平衡位置附近作往复运动。理论热学热学大赛知识点介绍本章重点讨论单自由度系统的自由震动和逼迫震动。理论热学热学大赛知识点介绍§单自由度系统无减振自由震动一、自由震动的概念：理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。物体遭到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的震动称为无减振自由震动。理论热学热学大赛知识点介绍二、单自由度系统无减振自由震动微分多项式及其解对于任何一个单自由度系统，以q为广义座标（从平衡位置开始量取），则自由震动的运动微分等式必定是：则自由震动的微分多项式的标准方式：理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍三、自由震动的特征：A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。nt+q——相位，决定振体在某瞬时t的位置q——初相位，决定振体运动的起始位置。
T——周期，每震动一次所经历的时间。f——频率，每秒钟震动的次数，f=1/T。——固有频度，振体在2秒内震动的次数。反映震动系统的动力学特点，只与系统本身的固有参数有关。理论热学热学大赛知识点介绍无减振自由震动的特征是：(2)振幅A和初相位q取决于运动的初始条件(初位移和初速率)；(1)震动规律为简谐震动；四、其它1.假如系统在震动方向上遭到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的震动规律，如震动频度、振幅和相位等。理论热学热学大赛知识点介绍2.弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效挠度理论热学热学大赛知识点介绍§19-2求系统固有频度的方式理论热学热学大赛知识点介绍无减振自由震动系统为保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速率为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。理论热学热学大赛知识点介绍能量法是从机械能守恒定理出发，对于估算较复杂的震动系统的固有频度来得更为简便的一种技巧。例2图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，直径为R，质量为m1，重物质量m2，试列举系统微幅震动微分等式，求出其固有频度。
理论热学热学大赛知识点介绍解1：以x为广义座标（静平衡位置为座标原点）静平衡时：理论热学热学大赛知识点介绍应用动量矩定律：震动微分等式：固有频度：A理论热学热学大赛知识点介绍解2：用机械能守恒定理以x为广义座标（取静平衡位置为原点）以平衡位置为估算势能的零值置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x因平衡时理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍如图所示两个相同的塔轮，相渐开线的蜗杆直径皆为R，直径为r的鼓轮上绕有细绳，轮Ⅰ连一铅直弹簧，轮Ⅱ挂一重物。塔轮对轴的转动力矩皆为J，弹簧挠度为k。重物质量为m，求此系统的固有频度。例3理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍解：系统平衡处弹簧虽非拉长，但如前所述，从平衡位置起估算弹性变型，可以不再记入重力。由几何关系，当重物坐落x处，弹簧由平衡位置估算的变型量也是x，则系统的势能为以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。重物于任意座标x处，速率为x的行列式，两塔轮的角速率皆为。系统动能为理论热学热学大赛知识点介绍不计磨擦，系统的机械能守恒，有两端对时间取一阶求导，得上式为自由震动微分等式，系统固有频度为理论热学热学大赛知识点介绍如图所示表示以质量为m，直径是r的圆锥体，在一直径是R的弧形槽上作无滑动的滚动。
求圆锥体在平衡位置附近做微小震动的固有频度。例4理论热学热学大赛知识点介绍解：用能量法求解这个问题。设在震动过程中，圆锥体中心与圆槽中心的连线OO1与铅直线OA的倾角为。圆锥体中心O1的线速率为由运动学知，当圆锥体做纯滚动时，其角速率为为此系统的动能为理论热学热学大赛知识点介绍整理后得系统的势能即重力势能，圆锥在最低处平衡，取该处圆心位置C为零势能点，则系统的势能为当圆锥体作微震动时，可觉得因而势能可改写成理论热学热学大赛知识点介绍设系统做自由震动时的变化规律为则系统的最大动能由机械能守恒定理，有Tmax=Vmax，解得系统的固有频度为系统的最大势能理论热学热学大赛知识点介绍例5鼓轮：质量m1，对轮心回转直径，在水平面上只滚不滑，大轮直径R，小轮直径r，弹簧挠度，重物质量为m2,不计轮D和弹簧质量，且钢缆不可伸长。求系统微震动的固有频度。解：取静平衡位置O为座标原点，取C偏离平衡位置x为广义座标。系统的最大动能为：理论热学热学大赛知识点介绍系统的最大势能为：系统的最大动能为：理论热学热学大赛知识点介绍按照Tmax=Vmax,解得理论热学热学大赛知识点介绍§19-3单自由度系统的有减振自由震动一、阻尼的概念：减振：震动过程中，系统所受的阻力。
黏性减振：在好多情况下，振体速率不大时，因为介质黏性导致的减振觉得阻力与速率的一次方成反比，这些减振称为黏性减振。投影式：c——粘性减振系数，简称减振系数。理论热学热学大赛知识点介绍二、有减振自由震动微分多项式及其解：质量—弹簧系统存在黏性减振：有减振自由震动微分多项式的标准方式。理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍衰减震动的特征：(1)震动周期变大，频度降低。——阻尼比有减振自由震动：理论热学热学大赛知识点介绍(2)振幅按几何级数衰减对数减缩率理论热学热学大赛知识点介绍可见，物体的运动随时间的下降而无限地趋于平衡位置，不再具备震动的特点。理论热学热学大赛知识点介绍§19-6临界怠速阻尼与隔振的概念一、转子的临界怠速导致定子剧烈震动的特定怠速称为临界怠速。这些现象是由共振导致的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。单圆盘定子：圆盘：质量m,刚体C点；转轴过盘的几何中心A点，AC=e，盘和轴共同以匀角速率转动。当0。在ω2→0的临界情形时,v0趋近于最小速率v01,代入(3)得由此求得所需的最小速率按照积分方式的动能定律T2－T1＝∑W,有(c)理论热学热学大赛知识点介绍A，B两球大小相同，质量相等。
球A以速率v1=2m·s－1撞击静止的球B。碰撞前球A球心的速率与球B相切，如图所示。设碰撞是光滑的。恢复系数k=0.6，求碰撞后两球的速率。[例5]理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍考察球A，因碰撞力沿法线n-n方向，其沿切线t-t的动量不变，即碰撞后球B的速率u2沿n-n线，球A碰撞后的速率u1与公切线t-t成β角。依据动量守恒定律，沿n-n方向动量守恒，(a)(b)解：理论热学热学大赛知识点介绍又知恢复系数(c)求得理论热学热学大赛知识点介绍滚珠轴承中钢球的检验装置简图如图所示。钢球从H=1m高度静止落下，撞在一斜置的重厚板光滑平面上（夹角θ=10º）。如要求恢复系数大于0.7的钢球，碰撞后回跳时不能超过固定障碍A，求挡板下端A点的位置xA，yA应为多少？[例6]理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍恢复系数为，此处，Oy轴与切线t-t之间的倾角j为设钢球质量为m，重厚板质量为M，。碰撞前后厚板不动，即v2=u2=0。解:因碰撞力沿法线n-n方向，故切线t-t方向的动量不变，得解联立多项式，求得：理论热学热学大赛知识点介绍由此可知钢球碰撞后的速率u1的大小和方向决定于k。
令k=0.7，代入数据，求得理论热学热学大赛知识点介绍两个质量相等的球1和2，碰撞前的速率分别为v1=2m·s－1和v2=3m·s－1，方向如图所示。设恢复系数为k=0.60，求碰撞后每球的速率和碰撞时所损失的动能占原有动能的百分率。[例7]理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍设两球质量均为m，假定两球碰撞后速率为u1和u2。因每位球碰撞前后在切线方向的动量不变，故u1必沿法线方向。设u2与法线的倾角为β，则（a）因整个质点系动量守恒，故沿法线n-n方向的动量守恒投影式为（b）解:1.求碰撞后每球的速率。理论热学热学大赛知识点介绍式（d）+（e）得由式（a），（b）和（c），可求得三个未知量u1，u2和β。由式（c）得由式（b）得（e）（d）据悉由恢复系数的定义，得（c）理论热学热学大赛知识点介绍代入数据求得代入式（a）由式（a）和（e），消掉u2，得理论热学热学大赛知识点介绍动能的损失2.碰撞时所损失的动能占原有动能的比率。碰撞前动能损失的动能占原有动能的比率为理论热学热学大赛知识点介绍匀质薄球壳的质量是m，直径是r，以刚体速率vC斜向撞在水平面上，vC对铅直线成偏角q。
同时球壳具有绕水平刚体轴(垂直于vC)的角速率w0。假设碰撞接触点的速率能按反向全部恢复(k=k´=1)，求碰撞后球壳的运动。[例8]理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍解：球壳作平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向反力的冲量IN和瞬时磨擦力的冲量IF。设碰撞结束时刚体速率是uC，绕刚体轴的角速率是ω(规定以逆钟向为正)。写出刚体冲量多项式和对力偶的冲量矩等式，并注意球壳对力偶轴的转动力矩JC=2Mr2／3，有理论热学热学大赛知识点介绍由恢复系数的定义可知，在完全弹性碰撞结束后，接触点的切向和法向相对速率都按相反方向全部恢复。以vA和uA分别表示碰撞始末接触点A的速率，则有由运动学知因而可得理论热学热学大赛知识点介绍于是，前面两个方程()就可写成联立求解上列等式(1)(5)，就可得到需求的全部答案。理论热学热学大赛知识点介绍(a)由式(a)可以求出球壳回跳时的角度β，有这个结果表明β有可能取任意的数值，只要vC，q和w配合适当。理论热学热学大赛知识点介绍均质细杆长l，质量为m，以速率v平行于杆自身而斜撞于光滑地面，杆与地面成角θ，如图所示。若为完全弹性碰撞，试求撞后杆的角速率。
[例9]理论热学热学大赛知识点介绍理论热学热学大赛知识点介绍地面光滑，杆只受有y方向的碰撞冲量I，杆沿x方向动量守恒。设杆撞后刚体C的速率为v'C，角速率为w，如图所示。则x方向有沿y轴投影为由平面运动基点法获知点A速率为(a)解：理论热学热学大赛知识点介绍对力偶C的冲量矩定律为冲量定律沿y轴投影式为代入式（a），得理论热学热学大赛知识点介绍由(c)、（d）二式消掉I，得解出代入式（b），得即理论热学热学大赛知识点介绍均质杆AB长为l，质量为m，如图所示。设杆在铅直面内保持水平升高，杆与固定支点E碰撞，前其形心的速率为v0，恢复系数为k。求碰撞后杆的刚体速率uy和杆的角速率Ω。已知E点到杆上端的距离为。[例10]理论热学热学大赛知识点介绍不考虑碰撞时杆的弹性震动，可看成是质心碰撞的突加约束问题。E为固定障碍，碰撞前杆作平动，碰撞后杆作平面运动。作Exy座标轴，Ey向上为正。图上所表示的方向均假定为正。应用投影式，得（a）（b）解：前面三个未知量uy，Ω，S，故还需构建一个多项式能够求解。理论热学热学大赛知识点介绍（c）前面三个未知量uy，Ω，S，故还需构建一个多项式能够求解。理论热学热学大赛知识点介绍由式（a），（b）和（c），消掉I，求得代入得理论热学热学大赛知识点介绍若为弹性碰撞，k=1，此时求得若为塑性碰撞，k=0，则减号表示碰撞后刚体C的速率向下，与碰撞前速率v0的方向相反。理论热学热学大赛知识点介绍k=1k=0理论热学热学大赛知识点介绍一均质圆锥体，质量为m，直径为r，其形心以匀速vC沿水平面作无滑动的滚动，忽然与一高度为h（h