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1、会计学1学院数学角动量守恒定理学院数学角动量守恒定理第一页，共55页。1质点(zhdin)的角动量质点(zhdin)对O点的角动量：角动量的大小(dxio)：左手螺旋定则：左手四指由r经大于180角转向p，伸开的手指的指向就是角动量的指向。必须指明是对那个点而言的第1页/共55页第二页，共55页。3(2)的大小在0之间变化，假如把动量分解为径向份量和纵向份量，则仅纵向份量才对角动量有贡献。sinp通常情形下，和都是变化的，所以没有确定的方向，但任一时刻，总垂直于和所确定的平面。在直角座标系下，的三个份量为
2、：注意(zhy)两点：L(1)质点的角动量是相对某一参考点而言的，因而对不同的参考点，角动量不同;第2页/共55页第三页，共55页。作圆周()运动质点对O点的角动量的方向垂直于圆周()平面，大小为把过O点并垂直于圆周平面的直线当成转轴，上式表示(biosh)质点绕该轴转动的角动量。xpyp第3页/共55页第四页，共55页。5直线运动的角动量若质点m沿直线运动，任一时刻相对于参考点o的矢径为，动量为，如右图。在估算其角动量时，注意有两个特征：(1)o点
3、到方向的垂直距离不变;(2)方向不变;2sinro如果的大小也不变，其实的大小不变。这表明，自由质点对任意参考点的角动量保持不变。Lp第4页/共55页第五页，共55页。6质点(zhdin)角动量定律质点(zhdin)对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点(zhdin)所受合力对该固定点的扭矩tddlM扭力(lj)：frM方向用左手螺旋定则判定，大小为第5页/共55页第六页，共55页。7证明()：牛顿定理角动量定律tddpf因，则有0ddtddpr
4、)d(ddlM即第6页/共55页第七页，共55页。8质点(zhdin)角动量守恒定理：当质点(zhdin)不受力，或所受合转矩M=0时，常矢量()质点角动量的大小和方向都保持不变。【例1.20】开普勒第二定理：行星相对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。在微观化学现象中，角动量守恒起到非常重要的作用。第7页/共55页第八页，共55页。9rrdr设t时刻，行星在点，时刻在点，矢径扫过的面积为dA，因为dt很小，该面积近似为一三角形面积，即1ptdt2prpr12(sin)dArd
5、s式中，就是三角形的高，ds是三角形斜边厚度，也就是行星在dt时间内运动的距离，这样sinr第8页/共55页第九页，共55页。22(sin)rpmm而行星的角动量大小恒定，所以rpdAdt常量假如一个力的方向仍然()指向某一点，这力称为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的扭矩恒为0，因而，在有心力作用下的质点对力心的角动量守恒。这就是开普勒第二(dr)定理。第9页/共55页第十页，共55页。11质点系角动量变化(binhu)定律和角动量守恒定理1.质点系角动量.质点系角动
6、量变化(binhu)定律质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个(zhge)质点系所受对该固定点的合外扭力tddLM外外合外扭力：第10页/共55页第十一页，共55页。12证明()：对第i个质点应用角动量定律)()(对i求和(qih))(,)(0任意一对(ydu)内力的扭力之和为零：内力总成对出现，则质点系所受合内扭矩等于零，对弱冠动量没有影响。第11页/共55页第十二页，共55页。133.角动
7、量守恒定理0外M假如质点系所受合外转矩，则0ddtL，常矢量L实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所经历的任意(rny)过程，包括不能用牛顿热学描述的过程，都遵循角动量守恒定理。第12页/共55页第十三页，共55页。14【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球，开始弹簧处于自然宽度，两小球静止。今同时严打两个小球，让它们(tmen)沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速率v0。若果在之后的运动过程中弹簧的最大宽度为2l0，求初速率v0。k解刚体C点固定不动，相对()C点系统的角动量守恒。系统(xtng)：弹簧和小球初始时刻角动量：
8、lmvlL第13页/共55页第十四页，共55页。15弹簧达到最大厚度时，小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动(yndng)，则系统的角动量020vv机械能守恒(shuhn)：)2(第14页/共55页第十五页，共55页。16例1一直径为R的光滑圆环放在竖直平面内.一质量为m的小球(xioqi)穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球(xioqi)开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上)，之后从A点开始(kish)下降设小球与圆环间的摩
9、擦力略去不计求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速率第15页/共55页第十六页，共55页。17解小球受力、作用(zuyng),的转矩为零，重扭力垂直纸面向里由质点(zhdin)的角动量定律得：第16页/共55页第十七页，共55页。18考虑到,得21)sin2()sin2(gmRL第17页/共55页第十八页，共55页。左手螺旋质点：园周运动：22()
10、iirmrJ质点系：园周运动：角动量定律：dLMdt合外扭力(lj)为0，角动量守恒。第18页/共55页第十九页，共55页。20二质心(gngt)定轴转动的角动量定律和角动量守恒定理1质心(gngt)定轴转动的角动量)(2第19页/共55页第二十页，共55页。212质心(gngt)定轴转动的角动量定律因为(yuy)质心转动力矩为一常量所以即称质心(gngt)定轴转动的角动量定律第20页/共55页第二十一页，共55页。22非质心(gngt)定轴转动的角动量定律
11、刚体(gngt)定轴转动的角动量守恒定理0MJL，则若=常量对定轴转的质心，受合外转矩M，从到内，角速率从变为，积分可得：第21页/共55页第二十二页，共55页。23角动量守恒定理是自然界的一个(y)基本定理.内扭力(lj)不改变系统的角动量.守恒条件0M若不变，不变；若变，也变，但不变.JJLJ讨论在冲击等问题中L常量第22页/共55页第二十三页，共55页。24许多(xdu)现象都可以用角动量守恒来说明.花样溜冰(huynhubn)跳水运动员跳水点击(dinj)图片播放第23页/共55页第二十四页
12、，共55页。25质心对转轴的角动量守恒是常常()可以看到的，如人手持杠铃的转动,芭蕾舞艺人和花样溜冰运动员作各类快速旋转动作,都借助了对转轴的角动量守恒定理。第24页/共55页第二十五页，共55页。26常量tJtJtJ第25页/共55页第二十六页，共55页。27第26页/共55页第二十七页，共55页。28自然界中存在(cnzi)多种守恒定理2动量()守恒定理2能量守恒定理2角动量()守恒定理2电荷守恒定理2质量()守恒定理2宇称守恒定理等第27页/共55页第二十八页，共55页。29例1一均质棒，厚度为L，质量为M，现
13、有一炮弹在距轴为y处水平射入细棒，炮弹的质量为m,速率为v0。求炮弹细棒共同的角速率。其中(qzhng)子棒讨论(toln)解炮弹、细棒系统的动量矩守恒ym0vJ水平()方向动量守恒第28页/共55页第二十九页，共55页。30例2：在光滑水平()桌面上放置一个静止的质量为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质量为m的小球以速率v0与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的回调速率v及杆的转动角速率。mo解：在水平面上，碰撞过程中系统(xtng)角动量守恒，mlml0（1）0v第29
14、页/共55页第三十页，共55页。31mo弹性碰撞(pnzhun)动能守恒，（2）2231)2(其中(qzhng)0v联立(1)、(2)式求解(qiji)3mMM)v-()l(M6mv0第30页/共55页第三十一页，共55页。32例3磨擦离合器飞轮(filn)1：J1、w1磨擦轮2：J2静止，三轮沿轴向结合，结合后三轮达到的共同角速率。三轮对共同转轴()的角动量守恒解：试与下例的蜗杆渐开线(nih)过程比较。21第31页/共55页第三十二页，共55页。33三轮绕不同轴转动(zhun
15、dng)，故对两轴分别用角动量定律：211rr解：例4两圆盘形蜗杆直径r1、r2，对通过盘心垂直于大盘转轴的转动力矩为J1、J2，开始1轮以转动，之后三轮正交渐开线，求渐开线后三轮的角速率。0第32页/共55页第三十三页，共55页。34得：第33页/共55页第三十四页，共55页。35例5质量很小宽度为l的均匀细杆，可绕开其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只
16、小虫以速度垂直落在距点O为l/4处，并背离点O向细杆的端点A爬行设虫子与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速率转动，虫子应以多大速度向细杆端点爬行?0vl/4O第34页/共55页第三十五页，共55页。36220)4(v解虫与杆的碰撞前后，系统(xtng)角动量守恒第35页/共55页第三十六页，共55页。v由角动量定律(dngl))()121(考虑到t)(g第36页/共55页第三十七页，共55页。38例6一杂技
17、演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端(ydun)A，并把跷板另一端(ydun)的艺人N弹了上去问艺人N可弹起多高?ll/第37页/共55页第三十八页，共55页。39设跷板是匀质的，厚度为l，质量为，跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动，艺人(ynyun)的质量均为m假设艺人(ynyun)M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞m解碰撞(pnzhun)前M落在A点的速率21M)2(ghv碰撞后的顿时(shnjin)，M、N具有相同的线速率2lu第38页/共55页第三十九页，共55页。40M、N和跷板组成的系统(xtng)，角动量守恒
18、/第39页/共55页第四十页，共55页。)6()2(解得艺人N以u起跳，达到的高度：)63(Jlmv第40页/共55页第四十一页，共55页。420v解：碰撞(pnzhun)前的顿时杆对点的角动量为.求：杆在碰撞前后的瞬时绕点转动的角速率。(细杆绕通过其端点且与其垂直的轴转动时转动力矩为)例7：一匀质细杆长为质量为，以与杆长垂直的速率在光滑水平面内平动时与前方一固定光滑支点发生完全非弹性碰撞，碰撞点坐落杆中心的一方处如图所示2
19、Lm0vo/式中为杆的线密度32LLvxdxvxdxvLmvL第41页/共55页第四十二页，共55页。43碰撞后顿时杆对点的角动量为o2221331137()()3423因碰撞(pnzhun)前后角动量守恒，所以=22007/12/LvL第42页/共55页第四十三页，共55页。44Rv/2R例8：在直径为R的具有光滑竖直轴的水平园盘上，有一人静止躺卧在距转轴处刚体的角动量定理，人的质量是园盘质量的，开始时盘载人相对地以角速率匀速转动，倘若此人垂直园盘直径相对于盘以速
20、率沿与盘转动相反方向作园周运动如图所示。巳知园盘对中心轴的转动力矩为，求：(1)园盘对地角速率;(2)欲使园盘对地静止,人顺着园周对园盘的速率的大小及方向？1/10,R/202/2MRv第43页/共55页第四十四页，共55页。45解(1)设当人以速率沿相对园盘转动相反的方向走动时，园盘对地转动的角速率为，则人对与地固联的转轴的角速率为v人与盘视为一个系统，对转轴合外扭力为零，系统的角动量守恒。设盘的质量为，则人的质量为,M10/M22/vvRR(1)2222()()MRMRMRMR(2)将(1)式代入(2)式得：(3)第44页/共5
21、5页第四十五页，共55页。46(2)欲使盘对地静止(jngzh)则(3)式必为零即,.得：2/210Rv(式中减号表示(biosh)人的走动方向与上一问中人的走动方向相反,即与盘的转动方向一致)。第45页/共55页第四十六页，共55页。例:一质量均匀分布的园盘，质量为M,直径为R,置于一粗糙水平面上,园盘可绕开其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时,园盘静止,一质量为m的炮弹以水平速率垂直于园盘直径攻入园盘边沿并嵌在盘边上,求(1)炮弹击中园盘后,园盘获得的角速率；(2)经过多少时间后,园盘停止转动？(忽视炮弹重力引起的磨擦阻转矩)0v第46页/共55
22、页第四十七页，共55页。48(1)以炮弹和园盘为系统，在炮弹击中园盘的过程中对轴的角动量守恒O(2)设为园盘单位面积的质量，可求出园盘所受水平面的磨擦扭矩的大小为()mvRMRmR012()mvMmR03222ssss第47页/共55页第四十八页，共55页。2()R根椐角动量定律(dngl)，有Rmv解得,设经过时间园盘停止转动,t第48页/共55页第四十九页，共55页。例3.2.3重力有一特性，月球上任一物体遭到的重力都指向地心;同样，在点电荷产
23、生的静电场中，其他点电荷遭到的斥力都指向场源电荷。人们把物体所受的指向一固定点的力称为有心力，把对应的力场称为有心力场。证明：(1)在有心力作用下运动的物体，角动量守恒;(2)所有有心力都是保守力，因此有心力场中运动质点机械能守恒;(3)在与距离成平方正比的有心力场中刚体的角动量定理，龙格-楞次矢量守恒;(4)平方反比力场中质点的运动一定满足开普勒运动。第49页/共55页第五十页，共55页。51证明()：(1)在有心力场中，质点只遭到有心力作用(zuyng)，有心力对力心的扭矩一直为0，故质点角动量守恒;(2)如图所示，质点遭到的有心力指向(zhxin)坐
24、标原点，于是有心力可表示为质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做功为0FFr(1)()()()()()drFrrdrrdrnFrrdrrUrUr(2)第50页/共55页第五十一页，共55页。52由式(2)可知，有心力是保守力，它做功只与质点(zhdin)始末位置有关，因而，也可以引入相应势能0()rrrUrFdr(3)将形成有心力场的场源和受有心力作用的质点看作一个系统，这么，该质点只遭到保守力-有心力作用，按照质点系的功能原理，系统的机械能应该()守恒。(3)若果有心力是平
25、方()反比力，令(4)第51页/共55页第五十二页，共55页。53式中，k为常数()，考察()()()()()()()1()vrvrvrrrrkrdrdrv11()()rkdtrrdtdtr有心力作用(zuyng)，角动量守恒()()()ABCACBABC第52页/共55页第五十三页，共55页。54()即或(常量)(4)为证明平方正比有心力场中质点的运动一定(ydng)满足开普勒运动，考察2()()LrBrB联解以上两式，得(10)()()()第53页/共55页第五十四页，共55页。55式中，常数常数式(10)表明，质点运动正是极座标下的圆柱曲线多项式(当时，为椭圆多项式，当时，为双曲线多项式;当时，为抛物线多项式)111第54页/共55页第五十五页，共55页。