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一、凸透镜，物距、像距、焦距、三者关系
物距为u，像距为v，焦距为f，两者的关系为：1/v+1/u=1/f。
依据该关系，不同的物距、像距、焦距的关系促使成像特性不同：
1、当物距小于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的虚像。此时像距大于物距，像比物小，物像异侧。应用：拍照机、摄像机。
2、当物距等于2倍焦距时，则像距也在2倍焦距，成倒立、等大的虚像。此时物距等于像距，像与物大小相等，物像异侧。应用：测焦距。
3、当物距大于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距小于2倍焦距初中凸透镜成像规律表格，成倒立、放大的虚像。此时像距小于物距，像比物大，物像异侧。应用：投影仪、幻灯机、电影放映机。
4、当物距等于1倍焦距时，则不成像，成平行光射出。
5、当物距大于1倍焦距时，则成正立、放大的实像。此时像距小于物距，像比物大，物像同侧。应用：放大镜。
二、凸透镜光学成像模型
最上面一条从物体发出并平行于透镜的光轴，经过透镜折射后穿过另一侧的焦点。
第二条光束穿过透镜左侧的焦点，经过折射，与光轴平行。
第三条光束直接穿过透镜中心。因为透镜垂直于主光轴并且厚度很小，当光透过其中心时，折射可以忽略不计。
其中u为物距，f为焦距，v为相距。两者满足关系式：
三、相机小孔成像模型
单反的镜头是一组透镜，当平行于主光轴的光线穿过透镜时，会聚到一点上，这个点称作焦点，焦点到透镜中心的距离称作焦距f。数码单反的镜头相当于一个凸透镜，感光器件就处在这个凸透镜的焦点附近，将焦距近似为凸透镜中心到感光器件的距离时就成为小孔成像模型。小孔成像模型如图所示。
四、相机模型四个座标系
数码相机图像拍摄的过程实际上是一个光学成像的过程。相机的成像过程涉及到四个坐标系：
世界座标系、相机座标系、图像座标系、像素座标系以及这四个座标系的转换。
①世界座标系：是客观三维世界的绝对座标系，亦称客观座标系。由于数码单反安放到三维空间中，我们须要世界座标系这个基准座标系来描述数码单反的位置，而且用它来描述安放到此三维环境中的其它任何物体的位置，用（Xw,Yw,Zw）表示其座标值。
②相机座标系（光心座标系）：以单反的光心为座标原点，X轴和Y轴分别平行于图象座标系的X轴和Y轴，单反的光轴为Z轴，用（Xc,Yc,Zc）表示其座标值。
③图像座标系：以CCD图象平面的中心为座标原点，X轴和Y轴分别平行于图象平面的两条垂直边，用(x,y)表示其座标值。图象座标系是用化学单位（比如毫米）表示象素在图象中的位置。
④像素座标系：以CCD图象平面的左上角顶点为原点，X轴和Y轴分别平行于图象座标系的X轴和Y轴，用(u,v)表示其座标值。数码单反采集的图象首先是产生标准联通号的方式，之后再通过模数转换变换为数字图象。每幅图象的储存方式是M×N的字段，M行N列的图象中的每一个元素的数值代表的是图象点的灰度。这样的每位元素叫象素，象素座标系就是以象素为单位的图象座标系
1）、模型一
四个座标系的关系图如右图所示，其中M为三维空间点，m为M在图象平面投影成的像点。
2）、模型二
四个座标系的关系图如右图所示，其中M为三维空间点，m为M在图象平面投影成的像点。
3）、模型三
四个座标系的关系图如右图所示，其中P为三维空间点，p为P在图象平面投影成的像点。
4）、模型四
四个座标系的关系图如右图所示，其中P为三维空间点，p为P在图象平面投影成的像点。真实世界中的空间点
Pw(Xw，Yw，Zw)，其对应的单反座标系座标为Pc(Xw，Yw，Zw），对应的图象座标
系座标为P(x,y),对应的象素座标为p(u，v）。
五、像素座标系与图象座标系
她们间的转换公式，其中（u0,v0）是图象座标系原点在象素座标系中的座标，dx和dy分别是每位象素在图象平面x和y方向上的数学规格。
1、采用齐次座标再用矩阵方式将上式表示为
2、也可以写成下边
六、图像座标系与单反座标系
其中f为焦距（像平面与单反座标系原点的距离）。用齐次座标系和矩阵表示上述关系：
七、相机座标系与世界座标系
单反座标系与世界座标系的变换为：
其中R为3×3正交旋转矩阵，t为三维平移向量，综合上去：
ax,ay分别是图象水平轴和垂直轴的尺度因子。K的参数中只包含焦距、主点座标等只由单反的内部结构决定，因而称K为内部参数矩阵，ax,ay,u0,v0称作内部参数。M1中包含的旋转矩阵和平移向量是由单反座标系相对于世界座标系的位置决定的，因而称M1为单反的外部参数矩阵，R和t称作外部参数，M叫投影矩阵。单反标定就是确定单反的内部参数和外部参数。
也可以写成下边的公式。
八、畸变标定
实际成像模型
理想的透视模型是针眼成像模型，物和像会满足相像三角形的关系。并且实际上因为单反光学系统存在加工和装配的偏差，透镜就并不能满足物和像成相像三角形的关系，所以单反图象平面上实际所成的像与理想成像之间会存在畸变。畸变属于成像的几何失真，是因为焦平面上不同区域对图象的放大率不同产生的画面扭曲变型的现象，这些变型的程度从画面中心至画面边沿依次递增，主要在画面边沿反映比较显著。为了减少畸变，拍摄图片时应尽量避开用镜头焦距的最广角端或最远端拍摄。实际的单反成像模型如右图所示。
其中mr(xr,yr)表示实际投影点的像平面座标系下的化学座标，mi(xi,yi)表示理想投影点的像平面座标系下的化学座标。镜头的畸变模型可表示为：
σx和σy是非线性畸变值，它包括径向畸变和偏心畸变和薄棱镜畸变等。
理论上来说镜头都存在径向和切向畸变，而且一般径向畸变较大，切向畸变较小。径向畸变的模型可由下边的模型来表示：
其中k1k2k3……示径向畸变系数，，一般情况下径向畸变系数只考虑到一阶或二阶就可以满足精度需求了。
偏心畸变模型是因为多个光学镜头的光轴不能完全共线形成的，这些畸变是由径向和切向畸变共同构成的，物理模型可表示如下：
其中p1,p2为切向畸变系数。薄棱镜畸变是因为镜头设计制造缺陷和加工安装所引起的，如镜头与单反成像平面有一个很小的夹角等。由于薄棱镜畸变特别小，一般不考虑，这儿只考虑径向畸变和偏心畸变，畸变总的可以表示为：
实际的成像模型为：
下边的是另一个博客参考的，觉得不是这样，我实际开发项目用的模型是里面的，采用opcv库，获取标定参数（下章节将提到怎样标定，畸变校准）
，并且公式可以参考一下。
里面推论了单反投影成像的物理模型，这是在理想状况下推论的，实际上因为单反
光学系统存在加工和装配的偏差，透镜就并不能满足物和像成相像三角形的关系，所以
单反图象平面上实际所成的像与理想成像之间会存在畸变。畸变属于成像的几何失真，
是因为焦平面上不同区域对图象的放大率不同产生的画面扭曲变型的现象，这些变型的
程度从画面中心至画面边沿依次递增，主要在画面边沿反映比较显著。
单反的畸变可以由非线性模型来表示，因为公式比较复杂，对于推论过程，此处将
不再赘言，最后给出简化后的畸变模型：
其中(X,Y,Z)为世界座标系下的座标，(x,y,x)为单反座标系下的座标初中凸透镜成像规律表格，归一化为(x’,y’)，
(x’’,y’’)为加入畸变参数的归一化座标，(u,v)为畸变模型下的象素座标。݇K1,݇2,݇3,݇4,݇5,݇6,为径向畸变参数，1,2为切向畸变参数。