多体系统是最难处理的。经过几十年的研究，我们仍然无法得到一个系统的、完整的理论来处理它们。尺寸是一个关键的物理量。
在相互作用下，一维系统和高维（$dge 2$）系统之间存在显着差异。高维系统是由准粒子（）激发的，但这些粒子由于受到其他粒子的影响，自旋和有效质量会发生一定的变化。但对于一维系统，不存在这种元素激发。在一维系统中，无论相互作用有多弱，都只有集体激发（ ）。最典型的集体激发是声子，所有粒子一起振动/移动。我们甚至可以说，一维系统的激发方式，无论是费米子、玻色子还是任意子，都是——而且只是——集体激发。对于费米子来说，它是第一个非费米液体理论，也是一个定义明确的非费米液体理论。玻色子化的历史可以追溯到1933年布洛赫的工作。他发现费米子和玻色子具有相同的比热容$c_v$；其实配分函数也是一样的，即$Z_text{F} = Z_text{B}$。但这个结果具有更深远的意义，而不仅仅是数学上的巧合。日本物理学家（朝永信一郎）最先认识到了这种关系，并于 1950 年在日本杂志上发表了划时代的论文。十多年后，另一种可解模型被考虑，并于 1980 年被命名为液体——现在也称为- 液体。
注：日本科学家在20世纪上半叶做出了世界级的工作。第一个突破是在数学和物理等理论方面。难能可贵的是这篇文章发表在日本杂志上。如果总结日本在科学方面的成就，可能有几个重要原因（可能并不全面）：第一，普及高等教育；第二，与美国、欧洲的广泛交流；第三，赶上好时光。中国的杨振宁等人在这个时代也做出了伟大的工作。
（在原始论文中感谢普林斯顿大学的工作：他承认奥本海默和玻姆；玻姆在解释量子力学时没有使用量化条件，尽管他将波函数写为 $psi = R e^{ iphi}$；对于费米子来说，这样的表示要复杂得多，因为费米子对应于代数，从参考文献中我们可以看出作者受到了 Bohm、Bloch 等人的工作的启发。）
什么是玻色子？简单来说，就是费米子的集体激发模式——这个模式对应于玻色子。那么为什么费米子会表现出玻色子激发呢？这个玻色子实际上是粒子-空穴对，用数学符号表示，即
begin{} b_q = sum_k c_{k}^ c_{k+q}, end{}
其中$b$和$c$分别代表玻色子和费米子算子（下同）。由于粒子和空穴都是费米子（自旋 $1/2$），因此粒子-空穴对可以被视为玻色子。同样，库珀对、激子、等离激元等也是玻色子。他应该是第一个意识到$b_q$是玻色子的人。这是一个令人惊奇的见解。
下面以费米子玻色化为例来说明这个问题。我们重点关注下面公式的物理意义以及我们对它的理解
begin{} psi = {eta over sqrt{2pi a}} e^{iphi}。 结尾{}
该公式包括以下几部分：
最小距离截止：在一维系统中，两个粒子不会停留在同一个地方。它们的最小尺寸是$a$。此时对应的动量最大值/截止值为$=pi/a$。
玻色场$phi$的组成：相场和密度场——它们是共轭的——两部分
begin{} phi = theta(x) + pi int_{-infty}^x rho(x) dx。 结尾{}
其中$theta$是局部相位波动，$rho(x)$是密度。在量子力学/第二量子化（Dirac，1927）中，粒子数和密度是一对共轭量（相当于复数中的振幅$r$和相位$theta$）。 $phi$ 为玻色场，满足玻色方程，如波动方程、正弦方程等。如果展开
begin{} phi(x) = phi(0) + {N x over L} + sum_{q>0} sqrt{2pi over L} e^{iqx} b_q + text {hc}，quad b_q = sum_{k} c_{k}^ c_{k+q}。 结尾{}
可以看出，这个玻色场可以由费米子粒子-空穴对组成。该算子的形式是固定的，不受交互作用的影响。为了使这个结果有意义，必须获得费米子的交换关系，这需要 begin{} [phi(x), phi(y)] = ipi Theta(xy)。 end{} 另外，费米子的二体相关性与其对应的玻色场的计算结果相同。
begin{} psi^(x) psi(y) = {1over 4pi a } e^{-iphi(x)} e^{iphi(y)} = {i over 2pi(x -y - ia)}。 end{}这个结果保证了任何费米子的相关性与玻色子方法计算的结果相同。
$eta$ 运算符和希尔伯特空间。该运算符扮演两个角色。首先，它可以改变费米子数，因为如果$|psi in {K}_N$，则$c|psi in{K}_{N-1}$，其中${ K}_N$ 表示费米子数 $N$ 的希尔伯特空间。其次，由于不同的玻色场是可交换的，$eta$的反交换关系保证了不同的费米场是反交换的。为此，假设有几个不同的费米场，分别对应$psi_i$、$eta_i$和$phi_i$，其中每个Bose场是独立的，因此$[phi_i(x), phi_j(y) ] = ipi {ij} Theta(xy)$。因此，如果要满足反事务关系，则需要begin{} psi_i(x) psi_j(y) + psi_j(y) psi_i(x) = 0, quad eta_i eta_j = -eta_j eta_i 。 四结束{}
如果费米场要用玻色子来表示，它至少必须满足以下关系式日本物理学家，这些关系式在文献中经常提到——在一个地方或几个不同的地方——但可能没有明确强调。这不是一件容易的事。高维系统也有，但其具体的方法与本文讨论的不同，我们不再讨论。具体如下：
利用玻色子的交换关系，我们可以推导出费米子的反交换关系；
费米子计算出的二体相关函数与玻色子表示计算出的二体相关函数是一模一样的——只有这样才能保证它们的多体相关性也相同，这样我们才能使用Bose字段进行具体计算。并与费米子的实验结果进行了比较；
以玻色子和费米子为代表的希尔伯特空间之间存在一一对应关系；
这些成果，从（1950年），到（1963年），再到（1979-1981年），历时近30年才最终被整理出来，最终成为一个完整的理论体系。对这个理论框架最突出的贡献。此外，许多伟大的物理学家都做了非常有特色的工作，例如证明正弦模型和模型的等价性，以及将扩展到U$(N)$和SU$(N)$领域。发展了非阿贝尔玻色化理论，量子霍尔效应的提出者凯恩，一直从事液体输运等研究。
在这些成果中，需要特别强调转型。使用玻色子来表示费米子存在一个原则上的困难，因为这两种粒子具有完全不同的统计行为。 -转变提供了一些重要的启示。这个变换讲的是费米子和自旋之间的变换关系，begin{} = c_i exp(ipi sum_{j = -infty}^{i -1} c_j^ c_j)。 end{} 另外，通过反思第二次量子化（Dirac，1927），我们或许能够更清楚地理解这种变换的本质——即如何改变粒子的统计特性。我们来看玻色子和费米子的二次量子化
开始{} b_i | cdots n_i cdots sim |n_i-1, quad c_i | cdots n_i cdots sim exp(ipi sum_{j le i-1} n_j) |n_i-1。 结尾{}
这个索引让我们想起了之前中提到的因子$ipi int rho(x)dx$，我们称之为()。五十年后（20世纪80年代），分数霍尔效应的发现让大家看到磁场也能起到类似的作用；但它是二维结果，因此我们可以通过磁场实现高维玻色化。因此，磁场中的电子可以表现得像任意子。如果我们稍微改变一下这个变换，我们就可以表示任何
begin{} psi = {eta over sqrt{2pi a}} e^{inu phi}。 结尾{}
不同的$nu$（称为填充因子）可以代表不同的任意子。因此，我们可以用这种方法来研究任意子的相互作用和相图。
注：我一直对分数霍尔效应有一些疑问，即为什么这些伟大的发现首先是实验发现的，而不是理论上预测的？我暂时把这个问题留在这里。
（2022年《拓扑场论II》课程，学生合影）
我在2020年《拓扑场论II》课程中首次讨论，参考量子场论教材，讨论了无序模型方面的重要工作； 2022年《拓扑场论II》课程，我更系统地讨论了过程、液体和正弦模型重正化。这两次的教学方法不同，个人经历也有很大不同。第一次比较陌生，讨论的细节很少（甚至可能不清楚），还算满意；第二次则更加熟练，图案更大，覆盖范围更广。但还是有一些遗憾。每次课后反思，总感觉有些部分讲解得不够透彻，理解不透彻：要么实物图像不清楚，要么讲课顺序不对，要么应用介绍太少，要么推导出公式。没有达到本质等等。即便如此，仍有很多问题没有讨论：正弦模型与 BKT 的关系、Kondo 问题、Kane- 单一杂质模型、输运、分数霍尔效应等。如果进一步扩展，有与共形场论（CFT）有很大关系。我下次教授这门课程是在2024年春季。我可能会讲到上述内容，但很难讲到全部。今年的课有一半的内容没有参考课本，只能直接参考原论文。感谢同学们的理解和包容。
写这篇文章的目的是因为同学们在学习的时候可能会被那些眼花缭乱的公式吓到。另外，即使你理解了这些公式，你也可能没有真正理解其本质并创建直观的图像。以下是一些“要点”，可能对一些同学有帮助。在准备这些内容时，我深刻地认识到是一个大课题，大智慧，需要反复思考其本质；否则，你可能会用它来做一些具体的计算，但你可能无法真正做到。明白了。也许所有的物理都是这样，都是为了记忆。
补充材料： 的重要结果列表
1933年日本物理学家，布洛赫意识到一维费米子和玻色子具有相同的比热；
1950年，布洛赫的声波方法被用来讨论相互作用费米子的玻色化过程；
1963年，他改进了该方法，提出了严格可解模型；
1970 年，等人。写了一篇长篇评论，讨论 在一维模型中的应用；
1974年至1975年，他做了一些工作，将费米子的玻色化问题推广到自旋模型；同时，他计算了吸引力交互模型的过程（-状态）。此时，自旋配对有能隙，电荷无能隙，被集体激发；
1975年，证明了量子正弦模型与质量模型的等价性；
1979年至1980年，他发表了一系列文章，提出了液体理论，给出了系统方法贝语网校，并研究了他的希尔伯特空间的对应关系；他是的大师；
1984年，他提出非阿贝尔玻色化的概念及其与拓扑的关系，即著名的韦斯术语；
1992年，Kane等人在量子输运和杂质问题（$d=0$维）的重整化过程方面的工作，得到了新的重整化结果；
在费米子模型、近藤模型和凯恩杂质模型中，吸引和排斥相互作用往往具有完全不同的行为，从平均场和重整化的角度没有太多检查。
20世纪80、90年代，在分数霍尔效应边界态等方面的应用；很多人都有重要的工作，包括文小刚等；
其他方向的发展：如CFT等。
这些内容形成了一个庞大且自洽的系统，成为描述低维系统的标准范式。写一本大书也不为过。在低维系统中，我们有时仍然存在一些严格可解的模型，因此比较这些方法的结果（）也构成了当今许多理论计算的核心目的。
关于布洛赫声波理论的一些注释：
将费米子的哈密顿量视为 $H = sum_{k}v|k| c_k^ c_k$，玻色子的哈密顿量为 $H = sum_k u |k| b_k^ b_k$，这样划分就可以得到函数$Z_text{F}$和$Z_text{B}$，并得到它们的自由能
begin{} F_text{c} = {pi^2 over 12} {1over 2pi beta^2 v}, \text{b} = {pi^2 over 6} {1over 2pi beta^2 u}。 结尾{}
如果我们考虑两个费米子并且 $v = u$，那么它们的自由能相同，并且它们的配分函数也相等。该计算采用如下积分方程，具有重要意义
begin{} int_0^infty ln {1over 1+ exp(-x)} = -{pi^2 over 12}, quadint_0^infty ln ({1- exp(-x)}) =- {pi^2 over 6}。 结尾{}
2020年3月写了一点这个笔记，2022年3月稍微总结了一下，写了一点笔记。 2022年5月28日晚上我花了两个小时，重新编辑，更正公式和错别字，终于定稿。
原始论文：.pdf