2021年10月1日是杨振宁先生诞辰100周年。 （杨先生的实际年龄是99岁，也就是100岁，官方文件上的生日是9月22日。）我们特发此文，向杨先生表示祝贺。
撰写者 |倪一
杨振宁先生（1922.10.1-）从来不认为自己是数学家。事实上，杨先生曾说过：“现在的数学著作只有两种，一种是读完第一页就不想再读，另一种是读完就不想再看。”读完第一句话后再读。”然而杨振宁先生对现代数学却产生了广泛而深远的影响。在20世纪下半叶的物理学家中，或许只有威滕（1951-）对数学的影响能与杨先生相媲美。本文试图简要介绍杨先生的数学贡献。需要注意的是，这涉及到很多非常高深的数学，而作者本人只了解其中的一小部分。错误和遗漏在所难免，还望方老师指正。
杨振宁题为“20世纪数学与物理的分野与结合”讲座的一页图片
杨-米尔斯理论
杨振宁先生最重要的成就是杨-米尔斯理论，它是一种非阿贝尔规范场理论。规范场论的思想已经出现在麦克斯韦（James，1831-1879）的电磁理论中。 1918年，Weyl（1885-1955）试图统一电磁场和引力场，并将比例因子引入场论。这个比例因子带来了一定程度的冗余，需要选择一个“量规”来消除这种冗余。韦尔的尝试没有成功。爱因斯坦（1879-1955）高度评价数学，但强烈批评物理学。 [1]
20 世纪 40 年代在普林斯顿高等研究院举行的一次会议，与会者包括爱因斯坦（左三）和韦尔（右二）（来源：高等研究院档案）
韦尔最初引入的比例因子是正实数。量子力学兴起后，韦尔于1929年修改了他的规范场理论，将比例因子改为模数为1的复数来描述电磁场。福克（1898-1974）和伦敦（弗里茨，1900-1954）在此期间也有类似的发现。 1941年，泡利（1900-1958）向物理学界推广了规范场理论。
在数学中，所有模长度为 1 的复数形成群 U(1)。这个群在外尔规范理论中被称为规范群。如果群中的乘法是可交换的，则该群称为阿贝尔群，否则称为非阿贝尔群。例如，大多数矩阵群都是非阿贝尔矩阵，因为乘法交换律对于矩阵乘法不成立。外尔理论中的规范群是阿贝尔群，因此外尔理论是阿贝尔规范场理论。
我们知道自然界存在四种基本力：电磁力、弱相互作用、强相互作用、万有引力。韦尔等人的工作用U(1)规范场理论描述了电磁力，而引力物理理论则是爱因斯坦的广义相对论。 1954年，杨振宁和米尔斯（1927-1999）将规范场理论中的规范群从U(1)改为二阶正交酉矩阵群SU(2)，建立了第一个非阿贝尔规范场理论。杨和米尔斯原本想用这个理论来描述强相互作用，但这是错误的。后来经过许多物理学家的努力，SU(2)规范场理论成功地用于描述弱相互作用。强相互作用需要使用规范群为SU(3)的规范场理论，通常也称为Yang-Mills理论。
1999年，杨振宁与米尔斯在杨振宁退休庆祝会上丨图片来源：
统计学家斯蒂格勒（1941-）曾提出“斯蒂格勒定律”，即“没有任何科学发现是以最初发现者的名字命名的”。斯蒂格勒定律本身与这条定律是一致的，因为斯蒂格勒认为这条定律首先是由默顿（1910-2003）提出的。杨-米尔斯理论也与斯蒂格勒定律一致——泡利在1953年也有类似的理论。日本物理学家内山龙夫（1916-1990）在1954年独立提出了非交换规范场理论，以统一重力和电磁学。他曾在京都大学做过演讲，但没有得到听众的积极回应。在了解杨-米尔斯的工作后，内山于1955年将其论文修改为更广泛的规范场理论，并于1956年发表。比杨振宁和米尔斯稍晚，肖（1929-2016）是阿卜杜勒·萨拉姆（Abdus Salam）（1926-2016）的学生。 1996），并于1955年独立发现了杨-米尔斯理论。
虽然泡利、内山和肖都独立于杨和米尔斯获得了非交换规范场论，但杨和米尔斯无疑应该获得最大的荣誉。泡利和肖的作品都没有出版，因为他们不理解物理图片。内山在杨米尔斯之后发表了他的论文，并受到杨米尔斯的影响。只有杨振宁和米尔斯最先发表了这个有缺陷的理论，让后来者可以在此基础上进行研究。
一个经常流传的故事是，杨振宁在普林斯顿大学讲授杨米尔斯理论时，听众中的泡利一直问他非阿贝尔规范玻色子的质量是多少。泡利深入研究了这个问题，知道质量应该为零，这是不可能的。杨振宁回答说不知道，保利却一再追问。杨振宁认为泡利的敌意太严重，干脆不再说话，坐在观众席上。一时间场面十分尴尬。最后，奥本海默（J.，1904-1967）说：“我们应该让杨振宁继续发言。”杨振宁回到讲台上，保利没有再问什么。 [2] 杨-米尔斯理论中的质量问题直到20世纪60年代才被希格斯机制解决。
1945 年，泡利在普林斯顿高等研究院庆祝了他的 45 岁生日 |资料来源：欧洲核子研究中心
杨振宁和米尔斯建立了杨-米尔斯理论的数学形式，其物理应用应归功于后人。然而，与杨-米尔斯理论相关的数学成为现代数学的重要组成部分。 1969年爱因斯坦物理学家演讲，杨振宁在纽约州立大学石溪分校教授广义相对论课程。有一天，他在黑板上写下了广义相对论所需的黎曼曲率张量公式，突然发现这个公式与杨-米尔斯理论中的一个公式非常相似。他非常震惊，于是去咨询数学系主任西蒙斯（James，1938-）。西蒙斯告诉他，这两个公式是纤维束（纤维）上的连接（）。杨振宁被这奇妙的联系深深震撼了。 [3]
杨振宁与西蒙斯丨来源：《石溪》杂志
1975年，杨振宁和吴大军（1933-）发表论文，将纤维丛的数学语言翻译成杨-米尔斯理论的物理语言，引起了数学界和物理界对彼此工作的浓厚兴趣。这就是著名的五阳词典（Wu-Yang）。事实上，在《五阳词典》之前就有人提到过纤维束与杨-米尔斯理论的关系。例如，赫尔曼（，1931-2020）在 1970 年的一本专着中详细阐述了这一点。但这样的工作并没有产生《吴杨词典》的影响，《吴杨词典》也可以算作斯蒂格勒定律的一个例子。
五阳词典丨来源：IM，部分在量规和）
20世纪70年代末，辛格（1924-2021）将五阳词典引入数学界爱因斯坦物理学家演讲，引发了数学家学习杨-米尔斯理论的热潮。大量新的数学著作诞生，为数学的发展提供了新的动力。下面简要介绍其中一些。
杨-米尔斯理论中出现偏微分方程
称为杨-米尔斯方程。 1974年，杨振宁访问其父亲杨武之（1896-1973）生前任教的复旦大学。他与顾朝豪（1926-2012）、胡和声（1928-）等人讨论了杨-米尔斯理论中的数学问题。双方合作，在国际上率先研究了杨-米尔斯方程，解决了方程的许多基本问题。
1974年，顾朝豪（左一）、胡和声（左二）与杨振宁开始在规范场论方面合作（来源：中国科学报）
1977-1978年，Atiya（1929-2019）、（Nigel，1946-）和证明了四维球面上Yang-Mills方程解的模空间是流形，并用指数计算出来定理其维数。 1978年，Atiya、、（1954-）和Yuri Manin（1937-）共同撰写了一篇论文，彻底确定了这个模空间。
1982年，凯伦·乌伦贝克（Karen ，1942-）证明了杨-米尔斯方程解的许多基本性质，包括非奇异性定理（在四个维度上）和紧致性定理（在任何维度上）。田罡（1958-）和陶哲轩（1975-）后来将非奇点定理推广到高维。
1969 年乌伦贝克在伯克利 |来源：照片
1982年，（1954-）发现了一种构造Yang-Mills方程解的新方法，并证明了一大类四维流形解的存在性。
复流形上的 Yang-Mills 方程的研究始于 和 Raoul Bott (1923-2005) 在 20 世纪 80 年代初的工作。 （1932-2012）和推测复流形上Yang-Mills方程的解与向量丛的稳定性有关。这一猜想被唐纳森（Simon，1957-）、乌伦贝克和丘成桐（1949-）采纳。 ）解决。受此启发，丘成桐对复流形的凯勒-爱因斯坦度量做出了类似的猜想。田钢和唐纳森进一步阐述了丘成桐猜想，引入了K-稳定性概念，在复几何和代数几何领域发挥了核心作用。
1982年，丘成桐、阿提亚、希钦丨图源：照片
希钦于1987年在一维复流形上定义了希格斯丛，并研究了其杨-米尔斯方程。辛普森（，1962-）将希钦的工作扩展到了更高的维度。希格斯丛是近年来几何拓扑领域的研究热点，在数论和表示论中都有意想不到的应用。吴宝珠（1972-）利用希钦的工作证明了朗兰兹纲领的“基本引理”，并因此获得了2010年菲尔兹奖。法尔廷斯（Gerd，1954-），1986 年菲尔兹奖获得者，开创了 p 进数域希格斯丛的研究。 (Anton, 1971-) 和 使用希钦的工作（及其扩展）来研究几何朗兰兹纲领。
杨-米尔斯方程最著名的数学应用是在低维拓扑领域。 1983年，在和工作的基础上，利用Yang-Mills方程研究了四维流形的微分拓扑，取得了令人惊讶的结果。结合和（1951-）的工作，可以证明四维空间R^4中存在奇怪的微分结构，但这对于其他维度的欧几里得空间并不成立。唐纳森后来进一步发展了他的理论，定义了平滑四维流形的不变量。唐纳森因这项工作获得了 1986 年菲尔兹奖。
2009年，唐纳森（右二）和陶布斯（右三）荣获邵逸夫数学奖丨来源：中国政府网
1988年，Floer（1956-1991）将唐纳森的理论发展到三维流形上，并定义了瞬子同调理论。 1998年，和他的学生 ( )利用SU(4)规范场理论研究了-Yau三维复流形。 2006年菲尔兹奖获得者奥孔科夫（1969-）和他的合作者对唐纳森-托马斯理论做出了重要贡献。
唐纳森理论的思想现在在低维拓扑、辛几何、代数几何、复几何等许多领域占据主导地位，其后续发展包括格罗莫夫-维滕理论、塞伯格-维滕理论等，尽管杨-米尔斯方程不再出现在这些理论中。
Yang-Mills方程在低维拓扑中的另一个应用与琼斯多项式有关，它是Jones（1952-2020）在1984年发现的一个新的结不变量。在1989年指出琼斯多项式可以用Yang来解释-米尔斯理论。威滕的思想被 (1958-)和 (1952-)发展成为严格的数学理论，可以用来构造一般三维流形的不变量。在过去的二十年里，琼斯多项式的推广——同调理论（ ）——已成为低维拓扑学的研究热点。威滕还用Yang-Mills理论对的同调理论给出了解释，引起了许多数学家的关注。
杨-巴克斯特方程
杨振宁另一项对数学产生深远影响的著作是杨-巴克斯特方程。这是一个类似的形式
的矩阵方程涉及非线性可积物理模型的严格解。
Yang-方程可以追溯到（Lars，1903-1976）1944年对二维Ising模型的工作，其中使用了星三角方程。 [4] 1963年，加州大学洛杉矶分校博士生麦奎尔（James B.，1934-2019）在研究一维量子多体问题时发现了类似的矩阵方程。 1963年杨振宁访问加州大学洛杉矶分校时，与麦奎尔讨论了一维量子多体问题。当时，杨振宁已经是举世闻名的诺贝尔奖获得者，而麦奎尔还只是一个尚未获得博士学位的无名之辈。不过，杨振宁并没有鄙视麦奎尔的工作。受麦奎尔的启发，杨振宁在1967年和1968年的两篇论文中提出了杨-巴克斯特方程的现行形式。后来，巴克斯特（1940-）在1971年和1972年的两篇统计力学论文中独立发现了这个方程。
杨振宁与巴克斯特在杨振宁退休庆祝会上丨来源：和-杨，1999
20世纪70年代末，法捷耶夫（1934-2017）领导的苏联数学物理学院将这个方程命名为杨-巴克斯特方程，并对其在数学和物理中的应用进行了深入研究。受他们工作的影响， 和 Jimbo（1951-）开始了“量子群”的研究。德林菲尔德甚至将一种量子群命名为“杨代数”（）以纪念杨振宁的贡献。
Yang-方程可以看作是数学中“辫子群”的基本关系，可以用下面的“辫子”图像来表示。
上图中的辫子关系在打结琼斯多项式中起着重要作用。图拉耶夫发现许多结不变量，包括琼斯多项式，都可以从杨-巴克斯特方程的解中获得。 和 的进一步工作使用量子群来构造结不变量。
西蒙斯几何和物理中心的墙上刻着一些基本的物理公式。图左下角是Yang-方程 |资料来源：西蒙斯几何与物理中心
1990年四位菲尔兹奖获得者中，德林菲尔德、琼斯和威滕（部分）的获奖工作与杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程密切相关。森重文（1951- ）是一位代数几何学家，其获奖作品与物理学没有直接关系。近年来，徐晨阳（1981-）等人的工作将森重文首创的最小模型程序与K稳定性相结合，很大程度上受到Yang-Mills理论的启发。
1990年四位菲尔兹奖获得者，左起：威滕、森重文、琼斯、德林菲尔德 |来源：
李杨单位圆定理
1952年，李政道和杨振宁发表了两篇统计力学论文，证明了某类配分函数的零点都在单位圆上。这就是著名的李阳单位圆定理。爱因斯坦对这项工作非常感兴趣，并邀请李和杨到他的办公室讨论了一个半小时。 [5]
李杨定理依赖于纯数学结果，即某类多项式的所有零点都位于单位圆上。为了证明这个结果，李和杨阅读了GH Hardy（1877-1947）、John （1885-1977）和Pólya（1887-1985）写的《不平等》。书中，还咨询了约翰·冯·诺伊曼（John von (1903-1957)）和塞尔伯格（Atle (1917-2007)）等同事。马克·卡克（Mark Kac，1914-1984）当时正在普林斯顿高等研究院访问。听到李阳的问题，他立刻就想到了波利亚那篇关于黎曼猜想的论文，并利用其中的方法来证明李阳所需要的东西。最简单的情况结果。卡茨将此事告知了李阳。受此启发，杨振宁和李政道持续研究了数周，最终利用卡茨方法和数学归纳法证明了最广泛的情况。 [6]
1957 年，李政道和杨振宁在普林斯顿高等研究院 |来源：国际会计准则
李-杨单位圆定理是统计力学中的重要著作，但其对数学的影响远非杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程可比。然而，这个定理的陈述与黎曼假设非常相似。如果替换一个变量，李杨定理可以表述为：某类配分函数的零点都在虚轴上。黎曼假设是指黎曼zeta函数
的非平凡零点都在直线Re(s)=1/2上。因此，一些数学家希望将黎曼zeta函数表示为某个物理系统的配分函数来研究黎曼假设。 （利用物理方法研究黎曼假设是当前的趋势，该领域更常见的工作是将量子力学与黎曼zeta函数联系起来。）
杨振宁的纯数学著作
杨振宁多次说过，如果他不做物理，他一定会做数学。 [5,7]事实上，除了数学物理方面的诸多成就外，杨振宁还发表了一些纯数学论文。这些任务对于杨振宁这样的科学巨人来说是微不足道的。不过，从这些论文中可以看出，与许多其他理论物理学家不同，杨振宁也能与数学家有相同的品味、使用相同的语言。
杨振宁发表的第一篇论文是一篇纯数学论文。这是他在西南联大时写的贝语网校，题为《论杨氏微分的独特性》，发表于1944年的《美国数学会通报》（下）。纸质不高，杨振宁也很不满意。杨振宁最初将其视为学习微积分的课外练习。几年后，他在老师曾元戎（1903-1994）的建议下才将其发表。 [8]
杨振宁的父亲杨五之教授获得芝加哥大学博士学位。回国后任教于清华大学数学系，是中国数论研究的先驱。在杨五之的博士论文中，他考虑了华林问题的一个变体：找到最小k，使得任何自然数都可以表示为最多k个“金字塔数”的总和。这里的“金字塔数”指的是
数字。杨无知证明了k不超过9，这个结果后来被改进为8。
童年的杨振宁和父母丨来源：香港中文大学
1993年，杨振宁和邓岳凡（1962-）用计算机研究这个问题，发现十亿以内的自然数最多可以表示为5个金字塔数的和，足够大的数可以表示为和最多 4 个金字塔数字。和。据此，他们推测任何足够大的自然数都可以表示为至多4个金字塔数的和。他们进一步猜想了可以表示为最多 k 个金字塔数之和的自然数个数的渐近公式。
杨振宁、陈省身
陈省身先生（1911-2004）、杨振宁先生是20世纪中国科学家的领军人物。两人私交密切，学术联系也密切。陈省身1930年至1934年在清华大学任助教、研究生，与杨五之教授有师生关系。陈省身与妻子郑世宁的婚姻是由杨无知夫妇介绍的。陈胜深曾多次在杨武家吃饭，并见过年仅八岁的杨振宁，但杨振宁对陈胜深没有任何印象。 [3,9]后来，杨振宁在西南联大读书时，选修了陈省身开设的许多课程，其中包括微分几何。 [3]
陈省身是纤维束和接触理论的主要推动者。他的陈-韦尔理论将杨-米尔斯方程中的曲率项与声明类联系起来，陈-西蒙斯理论也与杨-米尔斯理论密不可分。 1975年，在了解了杨-米尔斯理论与纤维束的关系后，杨振宁开车来到陈省生家，与他谈论此事，他说：“这既让我惊讶，又让我困惑，因为这些概念都是你们数学家凭空想象出来的。”凭空。”陈省身立即反对：“不不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的、真实的。”[3]
陈省身、杨振宁丨来源：杨振宁文集
1985年，陈省身先生在南开大学创办了南开数学研究所。1986年，他邀请杨振宁在研究所内建立理论物理实验室。经杨振宁推荐，葛墨林（1938-）具体负责数学研究所的工作。理论物理研究实验室。本实验室的主要研究方向是杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程相关的数学。
杨振宁在20世纪70年代写下一首诗《赞美陈班》，在数学界和物理学界广为流传：
天衣浑然一体，匠心剪裁而成。
融为一体，博大精深。
创造热爱几何学和纤维能量的四种力量。
永恒的思念，欧高丽嘉辰。
最后一句称赞陈省身可以与欧几里得（公元前3世纪）、卡尔·高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）、嘉当（埃利，1869-1951）相媲美。几何学家。
2002年，蒋才健出版了《杨辰宁传——标准对称之美》。陈省身先生还题诗作序：
以诗作序
艾翁首先打开了几何之门，而杨子则开始开启了深路。物理几何是一家，炎黄子孙是西方圣贤之列。注：爱因斯坦的广义相对论将物理学解释为几何学。规范场论是一条伟大的道路，令人鼓舞。
两位大师虽身处不同领域，但其佳作却相得益彰，可谓佳话。
杨振宁丨摄影：邓伟
参考
[1]张天荣、韦尔、杨振宁——物理的真理与数学的美丽|量子英雄会议
[2]，非阿贝尔规范场的起源与争议：泡利和杨振宁的轶事
[3] 张殿周和杨振宁如何看待数学和物理？
[4] Helen Au-Yang 和 HH Perk，《明星-：关键》，载于 Pure 19，1989 年，收录于 Field 和
[5]刘盾、王浩强编《爱因斯坦、物理与生活——杨振宁先生访谈录》
[6] Mark Kac，谈 G. Pólya 的“uber die der zeta-”
[7]华东师范大学数学科学学院杨振宁专程拜访数学科学学院张殿周先生
[8]石宇、杨振宁对西南联大的新回忆
[9]陈省身，我与杨家两代人的关系