·查找非周期性瓷砖方案和相关瓷砖的过程就像打破花瓶然后恢复它。然而，研究人员希望破碎的花瓶能够形成均匀的碎片，并且破碎的纹理将是“非周期性的”。即使这样的瓷砖遍布世界各地，拼接图案也不会重复。
美籍华裔数学家、菲尔兹奖获得者、加州大学洛杉矶分校数学教授陶
是否有可能找到一种即使在世界各地使用也不会重复的瓷砖？
近日，数学界的“莫扎特”、中国数学家、菲尔兹奖获得者、加州大学洛杉矶分校数学教授陶哲轩（Tao）在个人博客上宣布推翻了“周期平铺猜想”。
他们在超高维空间中发现了这样一块“瓦片”。
预印本网站arXiv显示，陶哲轩及其合作者共同撰写的相关论文于2022年11月29日凌晨上传。
但事实上，陶哲轩提前两个多月在自己的博客上公布了上述消息；并且在9月18日凌晨，他们向arXiv网站提交了一份简短的“公告”论文——全文为13页。
论文完整版共有 48 页。论文的标题是“周期性平铺猜想的反例”（A to the）。
该论文的共同作者是雷切尔·格林菲尔德（ ），曾任加州大学洛杉矶分校数学系助理教授，现为普林斯顿高等研究院数学学院成员。她是陶哲轩的博士后。
诺贝尔奖和永不重复的谜题
什么是周期平铺猜想？
想象一下，使用相同尺寸的方形瓷砖来覆盖方形房间的地板。这似乎并不困难。人们只需“复制粘贴”合适大小的瓷砖，不留任何间隙即可。在这样的地板上，图案的周期性很明显：如果将图案的一部分平移到另一个位置，就好像它根本没有移动一样。
这可能是最简单的“施工解决方案”之一，被称为周期瓷砖。
周期性平铺和非周期性平铺产生的不同效果。截图来自“”
六年前的2016年2月18日，印度孟买塔塔基础研究所数学学院的数学家 （）在arXiv网站上上传了一篇预印本论文《and of ℤ^2》，宣布证明了二维平面上的“周期性平铺猜想”——通过平移，单个瓦片只能在平面上周期性平铺，而不能非周期平铺。
数学家推测，在二维以上的更高维度中，没有任何瓦片可以实现同类瓦片的非周期瓦片。这个假设被称为“周期性平铺猜想”。
换句话说，“周期性平铺猜想”断言，如果只能以平移方式平铺或填充，那么在任何维度（二维及以上）俄罗斯裔物理学家，都不存在一块可以平移平铺或填充的土地。非周期性方式。充满整个空间的表面或特殊瓷砖。即使设计了这样的瓦片，也只能以周期性的方式平铺或填充相应的空间。
但“周期性平铺猜想”似乎只在二维平面上成立。
彭罗斯瓷砖风格之一。截图自39(1978)16-32
早在六十年前，即1960年前后，在牛津大学任教的中国数学家王浩在美国新泽西州贝尔电话实验室进行学术访问时研究了周期平铺问题，并提出了“王砖”（或称“王砖”）。王砖，王浩瓷砖，又名王）模型。
王浩瓷砖的一部分。来自塔克塞尔
四年后，出现了一种看似更先进的解决方案：非周期性平铺。虽然也是大量的瓷砖拼接在一起，密密麻麻的铺满了整个地板，但它的拼接图案却永远不会重复，哪怕是铺满了整个世界。 1964年，王浩的学生提出了最早的非周期瓷砖方案，需要20426块瓷砖的组合。
带有“王砖”的非周期性平铺。从
随后，英国数学物理学家、牛津大学数学名誉教授罗杰·彭罗斯将所需的瓦片组合减少到5种贝语网校，最终只使用了2种形状的瓦片组合，例如一大一小两个菱形。 ，可以实现二维平面上的非周期平铺。这种类型的瓷砖称为彭罗斯瓷砖。它成为数学艺术的象征之一，被铺设在牛津大学数学系等著名大学相关建筑的地板上。相关的平铺样式被称为彭罗斯平铺、或彭罗斯镶嵌、彭罗斯密集平铺、彭罗斯拼图、彭罗斯几何拼图等。
平面上的非周期性图案具有特殊的性质。有关排列的信息似乎以某种方式远距离传输，从而防止某些图案出现在数百（甚至数千或数百万）远的瓷砖上。安排类型。阿肯色大学助理教授埃德蒙·哈里斯 ( ) 撰写了有关彭罗斯瓷砖的博士论文。他说：“局部限制意外地扩展为全球限制。”
彭罗斯瓦不仅在数学领域家喻户晓，而且在建筑装饰领域甚至材料科学领域也成功普及，给人们带来了新的启迪。
彭罗斯瓷砖或拼图的一种风格。从
1982年，在美国休学术假的以色列材料科学家丹·谢特曼（Dan ）在实验室观察到该合金出现奇怪的衍射图案，该图案与以前对晶体的印象不一致，而且缺乏标准的对称性。它们的原子排列方式，就像彭罗斯地砖的图案一样，是不重复和非周期性的。他后来称其为“准晶体”()。
Dan 拍摄的电子衍射图像。物理截图。莱特牧师。卷。 53(20),1984
丹·谢特曼的论文和他的发现引起了相当大的争议和攻击。直到20多年后的2011年，他才因“发现准晶体”而获得诺贝尔化学奖。
准晶体的电子衍射图。从
此外，彭罗斯也是诺贝尔奖获得者之一。
1965年1月18日，彭罗斯在《物理评论快报》（ ）上发表论文，解释了彭罗斯的奇点定理。史蒂芬·霍金与彭罗斯研究奇点后，用彭罗斯定理颠覆了宇宙起源理论。这个奇点后来被称为“黑洞”。
2020年，89岁的彭罗斯因其“发现黑洞的形成作为广义相对论的有力预测”而获得诺贝尔物理学奖。他独家获得一半奖金，并于 2020 年与“在银河系中心发现超大质量致密天体”的德国科学家莱因哈德·根泽尔 ( ) 和美国科学家安德里亚·盖兹 ( Ghez)（诺贝尔物理学奖）分享了这一奖项。
但问题是，没有人用单个图块完成过非周期性平铺“游戏”。直到最近，陶哲轩和他的合作者在超高维空间中发现了这样一块奇怪的“瓦片”。
使用数独和俄罗斯方块游戏寻找反例
寻找非周期性瓷砖解决方案和相关瓷砖的过程就像打破花瓶然后恢复它。然而，研究人员希望破碎的花瓶能够形成均匀的碎片，并且破碎的纹理将是“非周期性的”。
从二维平面的“拼图”到高维空间中的“叠块”，陶哲轩希望找到一块可以非周期性堆叠的“瓦片”。
立方体铺装。从
在一篇解释他最新证明策略和方法的博文中俄罗斯裔物理学家，陶提到了数独和俄罗斯方块游戏，以及计算机编程。
三年后，即 2019 年，格林菲尔德作为博士后来到加州大学洛杉矶分校，三年前，印度数学家 证明了“周期平铺猜想”在二维平面上成立。随后，她和陶哲轩用另一种与 不同的方法在二维平面上再次证明了“周期平铺猜想”。
然而，当他们想要在三维空间中进一步证明这个猜想时，却碰壁了。陶哲轩表示，这个猜想在更高维度无法得到证明可能是有原因的，我们应该开始寻找反例。
2021年8月，他们第一次接近目标：在超高维空间中找到了两块可以实现非周期填充的瓦片，但没有找到一块。
2021年8月17日，格林菲尔德在arXiv网站上上传了一篇由她和陶哲轩共同签署的论文，题为《只有两块瓷砖，还是一块瓷砖》。六天后，她上传了更新版本。
“两个非常接近，但还不够，”格林菲尔德说。
像“俄罗斯方块游戏”一样消除行。截图自陶哲轩2022年9月19日博文
2022 年 9 月 19 日，陶哲轩在博文中表示，“ 和我刚刚将我们的公告——‘周期平铺猜想的反例’上传到了 arXiv。这是我们目前正在写的东西（并希望能发布更长的论文）几周后将发布，我们将在其中反驳 Grünbaum 和 Wang 的周期性平铺猜想。”
在上述博客文章中，Tao 写道，他们创建了一种“平铺语言”（“平铺语言”），它使用平铺方程组来描述非周期函数。 “这个证明强烈让人想起解决数独难题所需的推理类型，因此我们在论证中采用了一些类似数独的术语来提供直觉和视觉冲击力。关键的一步是剪切变换……然后执行“俄罗斯方块”移动消除了恒定的行以达到第二个数独谜题，然后按顺序分析该过程，最终生成非周期性 p-adic 结构。”
两个月后，也就是 11 月 29 日，Tao 在他的博文中写道：“ 和我刚刚将论文上传到 arXiv。这是我几个月前在这个博客上发布的结果的完整版本……论文采取了由于我们在发布公告时并未意识到需要解决方法的技术问题，因此完成时间比预期要长一些。”
陶哲轩进一步解释说，正如公告中所说，最初的策略是构建一种“平铺语言”——一种可以用来编码“P-adic数独谜题”的语言；然后证明如果 P 是足够大的素数，则后一种类型的难题只有非周期解。 “事实证明，后半程的策略成功了。” “在编程过程中，我们还发现，一旦引入‘可表达属性’和‘弱表达属性’这两个新定义，证明的编码部分就变得更加模块化和概念化。”
陶和格林菲尔德将他们的方程组视为一个计算机程序：每一行代码或方程都是一个命令，当组合起来时，会产生一个实现特定目标的程序。
最终，他们在一个尚未详细计算的极高维空间中找到了目标“瓦片”，但大约有2^100^100维——一个非常复杂、蜿蜒、千疮百孔的空间。
此外，陶哲轩表示，使用他们新创造的“语言”应该能够创造出一个无法判定的谜题。 “（例如）那里可能有一些瓷砖，我们永远无法证明它是否会填满它所在的空间。”
既没有被证明也没有被反驳，数学中充满了这样的“不可判定的”（）陈述。为了证明一个命题是不可判定的，数学家通常证明它等价于另一个已知不可判定的问题。因此，如果平铺问题被证明是不可判定的，它将成为证明许多其他问题的不可判定性的新工具。
格林菲尔德的简历显示，他的研究课题“平移和正交系统指数”（和）获得了美国国家科学基金会（NSF）117,056的资助，编号为DMS-，资助期限为2022年至2025年。
参考：
1.#
2.
3.
4.
5.