贡献者：addis
1.几何法
预备知识小角极限，速率的定义
如图设一个点$P$做直径为$R$的圆周运动，角速率为$omega$（可以是时间的函数），这么在一段微小时间$Deltat$内，可以觉得$omega$是常量，点$P$转过的角度为$Deltatheta=omegaDeltat$。这样，依照小角极限，当$Deltatto0$时，点$P$在$Deltat$内走过的位移厚度（线段的宽度）趋近于弧的宽度，即$leftlvertDelta{{s}}rightrverttoRomegaDeltat$。
按照速率的定义
begin{}{{v}}=lim_{Deltatto0}frac{Delta{{s}}}{Deltat}~,end{}
速率的大小为
begin{}v=lim_{Deltatto0}frac{leftlvertDelta{{s}}rightrvert}{Deltat}=lim_{Deltatto0}frac{omegaRDeltat}{Deltat}=omegaR~,end{}
速率的方向似乎与过$A$点的圆的切线重合。
2.导数法
如图圆周运动，在平面直角座标系（单位矢量分别为$hat{{{x}}}$，$hat{{{y}}}$）中，令一个绕原点做逆秒针匀速圆周运动的质点的位矢为${{r}}$，与$hat{{{x}}}$的倾角是时间的函数$theta(t)$，圆周运动的直径为$R$。这么任意时刻$t$将位矢${{r}}$顺着$x$与$y$轴方向分解圆周运动，有
begin{}{{r}}(t)=Rcostheta(t),hat{{{x}}}+Rsintheta(t),hat{{{y}}}~,end{}
其中$hat{{{x}}}$是$x$轴正方向的单位矢量，$hat{{{y}}}$是$y$轴正方向的单位矢量。由速率的定义${{v}}={d}{{{r}}}/{d}{t}$，即
begin{}begin{}{{v}}&=frac{{d}}{{d}{t}}(Rcostheta,hat{{{x}}}+Rsintheta,hat{{{y}}})=-Rdotthetasintheta,hat{{{x}}}+Rdotthetacostheta,hat{{{y}}}\&=dotthetaR[cosleft(theta+pi/2right)hat{{{x}}}+sinleft(theta+pi/2right)hat{{{y}}}]~.end{}end{}
定义瞬时角速率（简称角速率）等于$theta$关于时间的行列式$omega=dottheta$，则速率大小为$v=omegaR$，方向为$hat{{{r}}}$逆秒针旋转$pi/2$，即圆的切线方向。
3.三维空间的圆周运动
预备知识矢量叉乘
图2：角速率矢量与线速率矢量
如，在三维空间中，圆周运动所在的平面可以任意选定，我们可以将角速率拓展成一个矢量${{omega}}$，其方向垂直于该平面并由左手定则确定。令座标系的原点在圆周运动的轴上，用位矢${{r}}$表示点$P$的位置，则圆周运动的直径为$r_bot=rsintheta$，其中$theta$是${{r}}$与${{omega}}$的倾角。所以圆周运动速率的大小为$v=omegarsintheta$。按照矢量叉乘的几何定义，有
begin{}{{v}}={{omega}}\times{{r}}~.end{}