中考数学冲刺复习最后一道题：特殊平行四边形中的最大值问题
中考数学冲刺复习
可选的最后一个问题：特殊平行四边形
最大值问题
主题一：矩形中的最大值问题
主题二：菱形中的最大值问题
主题三：正方形中的最大值问题
主题 4：平行四边形中的极值问题
【主题一】矩形的极值问题
例1.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH的周长最小值为。
变体1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAB=30°，点P为线段AC上的动点，点Q为线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为。
变形二、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为AB上的动点，PQ平行于BC且与CD相交于Q，M为AD上的动点，MN平行于AB且与BC相交于N。则PM+NQ的最小值为。
数学陈老师：
例2.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上的动点，P为DF的中点，连PB，则PB的最小值为。
变式3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2
，E为BC边的一个动点，F、G为AD边的两个动点，且∠FEG=30°，则线段FG的最大长度为。
方案四、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E为边AB中点，F为线段BC上的动点，沿EF所在直线将ΔEBF折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值为。
例3.如图，矩形ABCD，长AD=6，宽AB=4贝语网校，点P为BC边上的动点，连PA与PD，则△PAD的面积为，PA+PD的最小值为，PA+1/2PC的最小值为。
变形5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=
，E为线段AB上的动点，连CE，则1/2AE+CE的最小值为。
数学陈老师：
例4 如图所示，点P为矩形ABCD对角线BD上的动点，已知AB=2，BC=
，则PA+PB+PC的最小值为。
变体6.如图，给定一个矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内部的某点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为。
【主题2】菱形的极值问题
例1.如图所示，菱形ABCD的对角线AC为12，面积为24，ΔABE为等边三角形，若点P沿对角线AC移动，则PD+PE的最小值为（）
A.4
B.4
C.2
D. 6
方案一、如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，点F为对角线AC上的动点，点E为AB上的动点，则FB+EF的最小值为。
变形2.如图菱形ABCD边长为4，∠BAD=120°，E为边CD中点，F为边AD上一动点，将线段EF绕E点顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'与BF'，则ΔABF'的周长最小值为。
数学陈老师：
例2、如图所示，平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系y轴和x轴的正半轴上滑动，并联OA，OA的最小边长为。
变形3.如图所示，菱形ABCD的边长为2
，∠ABC=60°，对角线AC、BD交于0点，点E为直线AD上的动点，连接CE，将线段EC绕C点顺时针旋转∠BCD的角度，得到对应线段CF（即∠ECF=∠BCD），DF的最小长度为。
例3 如图所示，菱形ABCD的边长为
，∠ABC=60°，点M为CD边上任一点（可以与点C或点D重合），过点A、C、D向射线BM作垂线，垂线的脚分别为E、F、G。令AE+CF+DG=m，则m的范围为。
变形4.如图，四边形ABCD为菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为菱形内任一点，连接AM、BM、CM，则AM+BM+CM的最小值为。
数学陈老师：
变式5.如图，四边形ABCD为菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD上任意一点（不包括B点），将ΔABG绕B点逆时针旋转60°得到ΔEBF，当AG+BG+CG取最小值时，EF的长度为（）
A.3
/2B. 2
/3 C.3
/3天.4
/3
例4、如图所示，四边形ABCD为菱形如图ab平行cd，AB=8，且∠ABC=60°，M为对角线BD上的任一点（不包括点B），则AM+1/2BM的最小值为。
【主题三】正方形中的极值问题
例1.如图，正方形ABCD的面积为16，ΔABE为等边三角形，点E在正方形ABCD内部，对角线AC上有点P。求PD+PE之和最小，则最小值为（）
A.2 B.3 C.4 D.6
变式1.如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G分别为边AB、BC、AD上的动点，且AE=BF，将ΔBEF沿EF向内折成ΔB'EF，连通BB'、B'G、GC，则当BB'最大时，B'G+GC的最小值为（ ）
一个。
-2 B. 5.6 C. 210 D. 35
数学陈老师：
变形2.如图所示，正方形ABCD的边长为3，E、F为对角线BD上的两个移动点，EF=
，连接CE与CF，则圆周长的最小值ΔCEF为。
例2、如图所示，点E、F分别为边长为4的正方形ABCD的边AD、AB上的移动点，且AF=DE，BE与CF相交于点P。在点E、F移动过程中，PA的最小值为（ ）
A.2 B.2
C.4
-2D.2
-2
变式3.如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为4和1，若将正方形AEFG绕A点旋转，则旋转过程中C点与E点之间的最小距离为（）
A.3 B.4
-1 厘米. 3
-1 D.4
变式4.如图所示，M、N为正方形ABCD边CD上的两个动点，满足AM=BN。连AC与BN交于点E，连DE与AM交于点F，连CF。若正方形边长为2，则线段CF的最小值为（）
A.2 B.1 C.
-1 D。
-2
数学陈老师：
变式5.如图，正方形ABCD边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上动点，连EF，以EF为边向右作一等边边ΔEFG，连CG，则CG的最小值为。
例3.如图，正方形ABCD边长为4，点E为边AD上的动点，点F在边CD上，且线段EF=4，点G为线段EF的中点，连线BG与CG，则BG+1/2CG的最小值为。
变形6.如图所示，边长为4的正方形ABCD中有一动点P，BP=
.连接CP，并将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ。连接CQ与DQ，则1/2DQ+CQ的最小值为。
例4.正方形ABCD中，点E为对角线AC上的任意一点（不包括点A），AB=2
（1）如图1所示，将ΔADE绕D点逆时针旋转90°得到ΔDCF，并连接EF；
①完成图形（无需写出画法）；
② 求出EF的取值范围；
（2）如图2所示，求BE+AE+DE的最小值。
数学陈老师：
变体7.如图所示，正方形ABCD中，AB=3，E为AD上一点，AE=1、F、G为AB、CD上的动点，且BE=FG、BELFG，连接EF、FG、BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长度为（6A.D.5D）B.{3一2C。
【主题四】平行四边形中的极值问题例题
例1.如图，平行四边形ABCD中，∠D=150°，BC=6，CD=6
，E为AD边的中点，F为AB边的某动点，ΔAEF沿EF所在线折叠得到ΔA'EF，并与A'C相连，则A'C的最小长度为（）
A.3
B.3
C.3
-3D.6
方案一、如图，平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=3，BC=4，E为边AD的中点，F为边AB上的动点，沿EF所在线将ΔAEF折叠得到ΔA'EF，并与A'C相连，则A'C的最小长度为。
变形2.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AD=4
,AB=8，点E、F分别在边AB、AD上，ΔAEF、ΔGEF关于直线EF对称，点A的对称点G落在边DC上，则BE的最大长度为。
数学陈老师：
例2.已知：如图，平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，BC=10，点E为AD上的动点，连接CE，并将ΔABE沿BE折叠至ΔA'BE的位置。
（1）当点A'落在BC上时，DE=；
（2）若点A落在∠DCE以内（包括边界），则DE的范围为。
变形3.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E为直线BC上的点，点F为直线CD上的点，连接AF、AE、EF，点M、N分别为AF、EF的中点，连接MN，则MN的最小值为（）
A.1 B.
-1 摄氏度
/2 D.2-
变形4.如图，四边形ABCD为平行四边形如图ab平行cd，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，点E、F为边AD上的动点，EF=2，则四边形BEFC的周长最小值为。
例3如图所示，平行四边形ABCD中，∠DAB=30°，AB=6，BC=2，P为边CD上的动点，则2PB+PD的最小值等于。
变体4。如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AD=8，AB=4，点H、G分别为边DC、BC上的动点，点H与点C不重合。连接AH与HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值之差为。
