思考 1
斜抛运动中，速度向反方向延长后，会和匀速运动位移中点相交吗？
斜抛运动也可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿垂直方向的自由落体运动。如图所示，在从O到A的过程中，可以画出相应的位移矢量三角形和速度矢量三角形。反向延伸后，两个三角形相似（阴影部分）如图所示，且对应边成比例，如下式所示：
解决方案是：
发现d是对应位移的一半，即速度向反方向延伸后会与匀速运动位移的中点相交。
此结论适用于水平和斜投影，也可推广至所有匀加速曲线运动。
思考2
在斜抛运动中，若将位移矢量延长，它还会与速度变化量△v的中点，即垂直速度gt相交吗？
如图所示，在从O到A的过程中，继续画出对应的位移向量三角形和速度向量三角形，将位移向量延伸后，两个三角形相似（阴影部分）如图所示，且对应边成比例，如下：
解决方案是：
发现L是相应速度的一半，即位移矢量延长，将与速度变化△v的中点相交，也就是垂直速度gt。
这个结论仍然适用于水平投影，斜投影，以及所有匀加速曲线运动。
思考三
在斜抛运动中，速度偏转角与位移偏转角之间有确定的关系吗？
如图所示，在从O到A的过程中，速度偏转角为θ，位移偏转角为φ，初速度与垂直方向的夹角为α，针对上面的位移矢量三角形和速度矢量三角形，写出正弦定理表达式如下：
解决方案是：
当α=90°时，变为水平投影运动，公式可简化为：
思考 4
斜抛运动中，当射程最大时，初速度和终速度一定是垂直的吗？
情景一：着陆点与起点处于同一高度
如图所示，一个小球以一定的初速度斜向上抛出，由常规方法可得，当射程最大，α为45°，落点与起点对称时，初速度与终速度必定垂直。
也可以分析速度矢量三角形的面积，如图所示，三角形的面积为：
其中，x为水平射程，为了使水平射程x最大，面积S必须最大，而且初、终速度是确定的，且初、终速度必须相互垂直。
场景 2：较低的着陆点
这种情况是落地，比较常见，投掷铅球时，以一定的初速度向上抛出，人有一定的身高，落地点较低，速度向量三角形的面积也可以分析出来，如图所示，三角形的面积为：
其中，x为水平射程，为了使水平射程x最大，必须使面积S最大，初、终速度恒定，且初、终速度相互垂直。
此场景是落到一个固定的斜面上，以一定的初速度被向上抛出，通过调整抛射角度，可以最大化在斜面上的射程。也可以分析速度矢量三角形的面积，如图所示，三角形的面积为：
其中x为水平射程，如果要使斜面上的射程最大，水平射程x必须最大，也就是面积S必须最大，此时初速度确定，但终速度不确定，需要重新考虑。
发现当斜面倾斜角度确定后，小球落到斜面上时的位移方向也确定了。根据第二种考虑的结论，位移经过延伸后必定交于垂直速度的中点。如图所示，阴影部分的面积为S的一半。当速度方向调整到图中所示位置时，对应的面积最大。
与此同时，其他的关系也逐渐清晰起来，如下图所示，三条红色边的长度是相同的。
角度关系为：2α+2β=180°，即α+β=90°，决定了初速与终速必须垂直。
场景三：高着陆点
此场景是落到一个固定的斜面上，以一定的初速度被向上抛出，通过调整抛射角度，可以最大化在斜面上的射程。也可以分析速度矢量三角形的面积，如图所示，三角形的面积为：
其中x为水平射程，如果要使斜面上的射程最大，水平射程x肯定最大，也就是面积S肯定最大，这时候初速度是确定的，末速度也是不确定的，需要模仿场景2（二）中的情况思考。
同理，如果斜面的倾斜角度确定了，那么小球落到斜面上时的位移方向就确定了。根据思考2的结论，位移经过延伸后必定交于垂直速度的中点。如图所示，阴影部分的面积为S的一半。当速度方向调整到图中所示位置时，对应的面积最大。
如下图所示，三条红色边长度相同，且角度关系为：2α+2β=180°，即α+β=90°，这就决定了初速与终速必然是垂直的。
结论：
在斜抛运动中从高出地面3M的位置竖直向上抛出一个小球，不管何种情况，在射程最大时，初速度与终速度必定是互相垂直的。
思考五
斜抛运动中，当射程最大时，初速度方向一定在位移与铅垂方向夹角的角平分线上吗？
当然，情况1也是如图向上45°；
对于场景2，请参考下图：
容易看出，当落点较低时，初速度也是沿着最大位移与垂直方向夹角的角平分线，所以夹角α必定大于45°，看来运动员在投掷铅球时，铅球的速度方向肯定不是向上45°角。
对于场景三，请参考下图：
还可以看出，当落点较高时留学之路，初速度也是沿着最大位移与垂直方向夹角的角平分线方向。
结论：
斜抛运动中，当射程最大时，初速度方向必定在位移与铅垂方向夹角的角平分线上。
思考六
怎样计算斜抛运动的最大射程？
和大家分享一些通用的思路和基本的数学处理方法。
情景一：着陆点与起点处于同一高度
斜抛运动可以分解为水平匀速直线运动和垂直向上抛掷运动，如下图所示：
解决
显然，当α=45°时，取最大值，结果为：
场景 2：较低的着陆点
此场景为：物体从一定高度斜抛至地面，初速度恒定，高度确定，根据机械能守恒定律，落地速度亦为常数，当水平射程最大时从高出地面3M的位置竖直向上抛出一个小球，初速度与终速度相互垂直。
此时速度矢量三角形的面积为：
坠落过程机械能守恒：
联立两个方程，我们可以得到：
场景为落到斜面上，初速度确定，抛射体落到斜面上的最大射程为x，位移向量三角形如下：
很容易看出：
设斜面的倾斜角为θ，对于下图中的红色三角形，可以利用勾股定理表达出下列方程：
联立上述公式，可得：
场景三：高着陆点
此场景同样落在斜面上，初速度确定，抛射体落在斜面上的最大射程为x，位移向量三角形如下：
很容易看出：
设斜面的倾斜角为θ，对于下图中的红色三角形，可以利用勾股定理表达出下列方程：
联立上述公式，可得：
思考 7
斜抛运动中，当初速度方向沿位移与铅垂方向夹角的角平分线时，射程最大，如果将一个物体以一定的初速度沿关于角平分线对称的方向抛出，能落在同一位置吗？
答案是肯定的，请大家自己分析一下。这篇整理花了很长时间，都是利用业余时间做的，希望对大家有所启发和帮助。谢谢阅读和点赞，欢迎讨论和批评。