1、会计学14角动量角动量守恒定理角动量角动量守恒定理【引入】为什么提出“角动量”概念？1rvmP2r问题一：两个质点如下图，以不同直径的轨道转动，动量大小相等，位移方向相同时连动量方向也相同，该怎样区别两个质点？vmrL0CvMp总总并且系统有机械运动，说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题二：将一绕通过刚体的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为CM*引入与动量对应的角量角动量（动量矩）pL动量对参考点（或轴）求矩第1页/共30页一、相关概念1.质点的角动量()mopr定义：sin大小：pr
2、方向：服服从从右手臂手定定则则。组组成成的的平平面面，和和垂垂直直于于pryzmrporLp质点相对O点的矢径第2页/共30页v质点的角动量的方向质点以角速率作直径为的圆运动，相对圆心的角动量r2mrL的方向符合右手法则。1）从位矢转向速率2）倾角大于180度L注意四指代表质点相对于0点的转动趋势，则大食指代表角动量的方向【特别】在圆轨迹运动时第3页/共30页vmrL直角座标系中角动量的份量表示pmorpor注意*必须指明参考点，角动量才有实际意义。*质点对某参考
3、点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。，大大小小相相同同，则则：、若若为为参参考考点点：以以00Lo为为参参考考点点：以以第4页/共30页2、力矩(offorce)FrM单位：扭矩（Nm）定义：力对定点的扭矩rFodm大小：sin方向：服从手指定则扭力服从手指定则组成的平面和垂直于,Fr四指代表该力作用下质点相对于0点的转动趋势，则大手指代表转矩的方向【特别】在圆轨迹运动时第5页/共30页例题、365-已知：)()()(smkgk/1742)(sNk56
4、)()(解：求角动量和扭矩直角座标系中扭矩的份量式:FrM第6页/共30页合力为零时，其合扭力是否一定为零？合扭力为零时角动量定理怎么用，合力是否一定为零？0,0,例：不一定斥力和反斥力对同一参考点合扭力为零。因而，质点系内扭力矢量和一定为零。0iiM内内12讨论第7页/共30页?dd,dd)(作用于质点的合力对参考点O的扭矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.
5、d0,二、质点的角动量定律(of)pv/第8页/共30页质点的角动量定律(of)质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的扭矩质点角动量定律的微分方式。质点角动量的增量等于外扭矩对质点的角冲量（冲量矩）角动量定律的积分方式冲量矩第9页/共30页例一直径为R的光滑圆环放在竖直平面内.一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上),之后从A点开始下降.设小球与圆环
6、间的磨擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速率.质点的角动量定律第10页/共30页小球受重力和支持力作用,圆环的支持力为有心力，扭力为零；重扭力垂直纸面向里由质点的角动量定律质点的角动量定律解LL得tdd2,第11页/共30页由题设条件积分上式)sin2(gmRL21)sin2(本题也可以用质点的功能原理（或质点和月球构成的质点系的机械能守恒定理）求解。第12页/
7、共30页dtLdM由于时，0M1212LL三、质点的角动量守恒定理所以角动量守恒定理（2）力的作用线与矢径共线，即过0点（即，有心力）扭力为零的情况（1）力等于零；讨论1这也是自然界普遍适用的一条基本规律。FrM力心第13页/共30页假如作用于质点的合扭力不为零,而合扭力沿z轴的份量为零,则恒量(当Mz=0时)zL当质点所受对z轴的扭矩为零时,质点对该轴的角动量保持不变质点对轴的角动量守恒定理。讨论2第14页/共30页例、已知：月球R=6378km（月球均匀圆球）卫星近地：h1=439kmv1=8.1
8、km.s-1远地:h2=2384km求：v2=?解：因为卫星是在月球的万有引力有心力作用下运动，故卫星m对地心o的角动量守恒.o.61.hRv近地.3km9.03.2vH可充分借助卫星大,t远地小很快飞过小很快飞过t第15页/共30页例：行星运动的开普勒第二定理觉得,对于任一行星,由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定理证明之。解:将行星看为质点,在dt
9、时间内以速率完成的位移为,矢径在dt时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。vtv按照质点角动量的定义)(则第16页/共30页矢径在单位时间内扫过的面积（称为掠面速率）万有引力属于有心力,行星相对于太阳所在处的点O的角动量是守恒的,即=恒矢量,故有恒量行星对太阳所在点O的角动量守恒,除了角动量的大小不随时间变化,即掠面速率恒定,并且角动量的方向也是不随时间变化的,即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。第17页/共30页例：质量为m的小球系于细绳的一端,绳的另一端
10、缚在一根竖直放置的细棒上,小球被置于水平桌面上内绕细棒旋转,某时刻角速率为1，细绳的宽度为r1。当旋转了若干圈后,因为细绳缠绕在细棒上,绳长变为r2,求此时小球绕细棒旋转的角速率2。2r1r解：小球受力绳子的张力,指向细棒；重力，竖直向上；支撑力,竖直向下。与绳子平行,不形成转矩；与平衡，扭力仍然为零。所以,作用于小球的力对细棒的扭矩仍然等于零,故小球对细棒的角动量必将是守恒的。第18页/共30页按照质点对轴的角动量守恒定理式中v1是直径为r1时小球的线速率,v2是直径为r2时小球的线速率。代入上式得解得
11、12212)(rr可见,因为细绳越转越短,,小球的角速率必将越转越大,即。,rvrv而第19页/共30页例：光滑的水平面上用一弹性绳（k）系一小球(m)。开始时角动量定理怎么用，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂直的初速率V0,试求当弹性绳转过90度且伸长了L时，小球的速率大小与方向。+L习题训练第20页/共30页解由机械能守恒有：怎么求角度？因为质点在有心力作用下运动，故角动量守恒。有：)(/cos)(v+L第21页/共30
12、页例2一质量的登月飞船,在离地球表面高度处绕地球作圆周运动.飞船采用如下登月方法:当飞船坐落点A时,它向两侧短时间喷气,使飞船与地球相切地抵达点B,且OA与OB垂直.飞船所喷气体相对飞船的速率为.已知地球直径;在飞船登月过程中,地球的重力加速度视为常量.试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?...1g第22页/共30页解设飞船在点A的速率,地球质量mM,由万有引力和牛顿定理)(v2M
13、RmGg...1g已知求所需消耗燃料的质量.m第23页/共30页得)()()()(得当飞船在A点以相对速率u向外喷气的短时间里,飞船的质量降低了m而为,并获得速率的增量,使飞船的速率变为,其值为vAvm质量在A点和B点只受有心力作用,角动量守恒第24页/共30页飞船在A点喷吐二氧化碳后,在抵达地球的过程中,机械能守恒21)(22
14、即于是)(而vmum)(RA第25页/共30页例3质量很小宽度为l的均匀细杆,可绕开其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只虫子以速度垂直落在距点O为l/4处,并背离点O向细杆的端点A爬行.设虫子与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速率转动,虫子应以多大速度向细杆端点爬行?0v220)4(v解虫子与细杆
15、的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒系统角动量守恒第26页/共30页l0712v由角动量定律)()121(即考虑到t)(g第27页/共30页例4一杂技艺人M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的艺人N弹了上去.设跷板是匀质的,厚度为l,质量为,跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动,艺人的质量均为m.假设艺人M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问艺人N可弹起多高?ll/解碰撞前M落在A点的速率21M)2(ghv碰撞后的顿时,M、N具有相同的线速率2lum第28页/共30页把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒21M)(2ghv2lu)6()2(解得艺人N以u起跳,达到的高度)63(82ll/第29页/共30页