强化基础培育卓越专项训练3
物体动力学
时长：2小时 满分：150分
1、在一倾斜角为a的斜坡上，有两点A、B在同一水平线上，两点间的距离为/，如下图所示。一汽车从A点出发，要求不偏离直线AB行驶到B点。车轮与斜坡间的动摩擦系数为μ>tana。设汽车的质量均匀分布在车轮之间，每个车轮都是驱动轮。汽车完成此要求所需的最短时间为（）。
2、如图所示，有一小车在倾斜角为α的斜面上向下运动，车上悬挂有一小球，当悬挂线与铅垂方向的夹角分别为图中α、β（β>a）值时，小车所受加速度的比值为（ ）。
A.sinαsinβ/cos(β-α)
B. sinα/cos(β-α) sinβ
C. sinβcos(β-α)/ sinα
D. sinαcos(β-α)/sinβ
3、根据高中学到的知识，自由落体的小球会落在正下方的位置。但实际上，在赤道上空200米处无初速度下落的小球，会落在正下方位置以东约6厘米处。这一现象可以这样解释：除了重力之外，由于地球自转，小球在下落过程中还受到一个向东的水平“力”，这个“力”与垂直速度的大小成正比。现在把小球从赤道地面垂直抛出，考虑对称性，在上升过程中受到的“力”是向西水平的，所以小球（ ）
A.到达最高点时，水平加速度和速度都为零。
B.到达最高点时，水平加速度和速度不为零。
C. 落点在投掷点的东侧
D. 落点在投掷点西侧
4、在无风环境下，有人从高处抛出一个静止的篮球，篮球垂直下落；若先将篮球绕球心横轴以一定的角速度旋转（如图所示）后抛出，篮球在向下下落过程中，会偏离垂直方向，呈曲线运动。其原因是旋转的篮球在运动过程中，除受到重力外，还受到空气施加的阻力f1和偏转力f2。这两个力与篮球的速度v的关系大致为：f1=k1v2，方向与篮球运动方向相反；f2=k2v，方向与篮球运动方向垂直。下列说法中正确的是（ ）。
A.k1和k2是常数，与篮球的角速度无关。
B.篮球能回到原来的高度，并且角速度与出手时相同。
C. 如果人站得足够高，篮球可能会在落地前向上移动。
D.如果投掷条件正确，篮球可能会在空中继续水平移动一段时间。
5、如图所示，一质量为M的轨道架停放在一粗糙的水平面上，中间有一垂直的圆形轨道，内壁光滑，半径为R。一质量为m的小球在垂直轨道内作圆周运动。当小球运动到最高点A时，轨道所受的压强恰好为mg。在整个过程中，M始终处于静止状态。小球可看作一个点质量。下列说法中，哪一个是正确的？（ ）。
A、当球通过最高点A时，球处于完全失重状态。
B、当球通过最高点A时，地面受到的压强M最小，取最小值F1=Mg-mg
C.当球通过最低点C时，地面受到的压强M最大，最大值为F2=Mg+6mg
D、当小球经过点D（相当于圆心）时，地面对M的摩擦力最大，且方向向左。
6.如图所示，滑轮系统。物体1、2分别有向下的加速度a1、a2，物体3有向上的加速度a3。a1、a2、a3之间的关系为（ ）。
A.a1+a2=a3 B.a1+a2=2a3
C.a1-a2=2a3 D.a1=a2-a3
2. 多项选择题（6 分 x 4 = 24 分）：
7、发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆形轨道1，然后点火使卫星沿椭圆轨道2运行，随后再次点火将卫星送入同步轨道3。如图所示，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。当卫星分别在轨道1、2、3上正常运动时，下列说法正确的是（ ）。
A.卫星在轨道 3 上的速度大于在轨道 1 上的速度。
B. 轨道 3 上的卫星角速度小于轨道 1 上的卫星角速度。
C.卫星通过轨道1上Q点时的加速度大于通过轨道2上Q点时的加速度。
D.卫星通过轨道2上P点时的加速度等于它通过轨道3上P点时的加速度。
8、如图所示，在匀速上升的电梯上固定一光滑斜面，两质量相等的物体A、B用轻弹簧连接，B的上端用一根与斜面平行的细导线绑在斜面上的固定装置上，斜面的倾斜角为θ=30°。当细导线突然剪断时，物体A、B相对于地面的瞬时加速度分别记为aA、aB；当电梯突然处于完全失重状态时，物体A、B相对于地面的瞬时加速度分别记为aA′、aB′。则（ ）。
9、如图（a）所示，水平地面上放有一块质量为m1的长木板，木板左端放有一质量为m2的木块。木块上作用有水平向右的拉力F，F与时间t的关系如图（b）所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小。木板的加速度a1与时间t的关系如图（c）所示。已知木板与地面之间的动摩擦系数为μ1，木块与木板之间的动摩擦系数为μ2。设最大静摩擦力等于对应的滑动摩擦力，重力加速度为g，则（ ）。
答:F1=m1m1g
B.F2=m2(m1+m2)(m2-μ1)g/m1
C.μ2>(m1+m2)μ1/m2
D.在0-t2时间段内，物块和木板的加速度相等
10、如图所示，一个半径为R的半球形容器固定在水平转盘上，转盘绕容器中心O的竖直轴线以恒定角速度ω旋转。不同质量的小块A、B随容器旋转，相对于容器壁保持静止。A、B与中心O的连线与竖直方向的夹角分别为α、β，且α>β。则（ ）。
A. A 和 B 上的摩擦力可能同时为零
B.若B不受摩擦力，则A会沿容器壁向上受到摩擦力。
C.若A不受摩擦力，则B会沿容器壁向上受到摩擦力。
D.如果ω增加，A和B上的摩擦力可能会增加。
11.（8分）【瞬时问题】一根长度为3L的轻杆上固定着两个质量分别为m1和m2的重物。两重物视为点质量，它们之间的距离与到杆两端的距离相等。两根垂直的轻绳分别系在杆两端，使杆水平平衡，如下图所示。试计算剪断右绳时，左绳所受的拉力T。
12.（8分）【天体题】据欧洲航天局介绍，银河系中有一颗类地行星，半径为，其表面覆盖着10公里深的海水，现发现水面与水底的重力是相等的，这颗行星上的水密度与地球相同。试计算这颗行星的重力加速度值。
13.（8分）【连体物体】如图所示，两木楔A、B的质量m均为8.0kg。B被一块垂直的板挡住，A可在地面上自由滑动。物体C的质量M为384kg。压在A、B身上的接触面与平面的夹角为45度。已知水平推力F=2920N，可忽略一切摩擦力。试求：
（1）A、C 的加速度是多少？
（2）B对C施加的力的大小和方向是多少？
14.（8分）【两类题型】梯杆AB长L，A端未挂在墙上，沿垂直墙面以匀速v0向下运动，B端作水平运动。此时有一名质量为m的士兵在距B端L/4处紧紧抓住梯杆，如图中P点所示。试计算当AB梯杆滑到与垂线成角度θ时，作用在士兵身上的力F。
15.（10分）【连接体】如图所示，两块木块A、B并排放置在水平桌面上，质量分别为mA、mB。已知木块A、B接触面垂直于纸面并与水平方桌面成夹角θ，木块A、B接触面光滑。开始时，木块A、B均静止，现在有水平推力F作用在木块A上，为使木块A、B不发生相对滑动，一起向右加速运动，求下列问题的解决方案：
（1）若两木块与水平桌面的接触面光滑，推力F的最大值是多少？
（2）若两木块接触面与水平桌面之间的动摩擦系数μ相等，且等于静摩擦系数μ，则μ应满足什么条件？
（3）当µ满足条件（2）时，推力F的最大值是多少？（已知重力加速度g）
16.（10分）【圆周运动】图中为“S”形单向蜿蜒山路示意图。曲线1、曲线2可看作同一水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，曲线中心线半径分别为r1=12m、r2=27m。曲线1、曲线2两圆弧与一条直路相切。一辆质量为m=的汽车在通过曲线时作匀速圆周运动。路面对轮胎的最大径向静摩擦力为汽车重量的1.2倍。要求汽车在行驶过程中不打滑。（=0.6，g=10/s2）
（1）设一汽车沿曲线中心和直路中心线（图中虚线所示）匀速行驶，求通过弯曲山路的最大速度v；
（2）一辆车从A点进入弯道1一质点在xoy平面内运动的轨迹如图所示，从B点离开，两者直径相同。有经验的驾驶员会利用道路宽度，以最短时间匀速安全通过弯道。假设道路宽度d=12m。求最短时间（A、B点均在赛道中心线上，计算时将车辆视为质点，结果四舍五入到两位显著数字）
17.（10 分）两个小球 A 和 B贝语网校，质量均为 m，半径均为 R，垂直放置在一堵垂直墙上。如果球、墙和地面之间的摩擦力可以忽略不计，则双球装置很容易从墙上滑落。假设球 A 和 B 只在同一垂直平面上沿墙和地面滑动，则：
（1）球 A 在什么时候开始脱离墙壁？
（2）此时球A、B的速度分别为多少？
18.（10分）如图所示，一个质量为m的圆环上固定有一根细杆，圆环上方放置两个质量为m的小环，大环与小环之间无摩擦，若两个小环同时由静止状态开始下滑，则；
（1）证明当m大于一定值时，大环会趋于上升；
（2）解释当m取不同值时，大环的运动趋势。
19.（15分）【抛物运动】2022年2月，我国在北京成功举办了国际冬奥会，自由式滑雪空中技巧项目的惊险难度令人惊叹，中国选手齐广普在本次比赛中凭借精彩表现夺得冠军。我们从物理角度回顾一下他的运动过程：设齐广普从左侧高坡滑下，经过半径R=10m的圆形滑道最低点A，滑上平台B，斜向上飞行，在空中完成规定动作后落于坡面BE的D点。设齐广普起跳后离台最大高度h=12.8m，圆弧AB对应的圆心角θ=530，坡面BDE的倾斜角α=370，忽略一切阻力。为研究问题方便，不妨将齐广普看作一个m=60kg的质点，则问：
（1）齐光普对A点的压力是多少？
（2）齐光普的降落点D在哪里？
（3）齐光普在落地点D处的速度与坡度所成的夹角β为多少？
20.（15分） 如下图所示，某军车所受重力为G，其重心到前轮和后轮的距离分别为l1和l2，重心距地面的高度为h。 （设该车后轮采用制动，即只在后轮与路面之间产生滑动摩擦） 求：
（1）当加速度a1为多少时，前轮与后轮的压力才相等？
（2）当加速度a2为多少时，前轮对地面的压力达到零？
（3）汽车以加速度a3制动时，前轮和后轮上的压力分别为多少？
（4）设后轮与路面的摩擦系数为m，则汽车制动时的加速度a4 是多少？
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参考答案及解答
1.单项选择题：
1.A 2.D3.D 4.C 5.D 6.B
2. 多项选择题：
7.BD 8.ACD 9.BCD 10.BD
3.非多项选择题：
11、分析：剪断右绳，设m1、m2对杆施加的垂直力分别为F1、F2，以m1为转轴，轻杆受力平衡得F2=T…①方向垂直向上。
若以m2为转轴，光杆所受力矩平衡为F1=2T…②方向垂直向下。
然后，对于 m1 和 m2，我们可以利用牛顿第二定律得到
m1g-2T=m1a1…③m2g+T=m2a2…④且a2=2a1…⑤
合并后的解为：T=m1m2g/(m1+4m2)。
12.分析如图所示，R表示行星的半径（包括水层），M表示行星的质量，h表示行星表面海洋的深度，r表示海洋中任意一点A到行星中心0的距离，R0表示行星内层除表面海洋外的半径。则R>r>Ro，且R0+h=R。ρ表示水的密度，该行星表面海洋中水的总质量为：
m = 4ρπ(R3-R03)/3= 4ρπ(3R2h-3Rh² +h³)/3 … ①
由于R>>h，公式①中h的高阶项可以省略，可近似写为：m=4πρR2h…②
根据牛顿第二定律，对于行星上的物体 m'，FN=m'an 且 N=m'g，因此 F=m'g+m'an，
由于 an 近似为 0，代入 F = GMm'/R2，我们得到均匀球体表面重力加速度的公式：g = GM/R2。因此，该行星表面海洋底部和表面的重力加速度为
GM = g 表 R2，G (Mm) = g 基 R02
根据题目，我们有 g table = g base，可以得到
M=mR2/(2Rh-h2)…③
由于R>>h，可近似认为2Rh-h2≈2Rh，则公式③可写为：
M=mR/2h… ④
由公式④和公式②可得该行星表面的重力加速度：g = GM/R2 = 2πGρR
将G = 6.67×10-11 N·m²/kg ρ = 1./m²、R = 6.4 x106m代入公式⑤，可得
g 米 = 2.7m/s2。
解决这个问题的关键在于应用如下结论：对于一个均匀的球壳，其内部的物体不存在万有引力；对于球壳外部的物体，球壳的质量可以看作集中在球心。
13.分析：设A、B对C的弹力分别为NA、NB，A、C的加速度分别为aA、aC，其中aC的两个分量为acx、acy。
根据各物体受力分析，依据牛顿定律，可分别得出A，C。
A）F-=maA…①
B)-=MaCX…②
+–Mg=MaCy…③
由于AB的倾斜角为450，且关于C的质心对称，B静止不动，根据A、C之间的水平位移关系可知
aA=2aCy，aCx=aCy…④
将数值m = 8.0kg，M = 384kg，F = 2920 N代入方程组并求解：
（1）.aA=5m/s2，aC=√(aCy2 + aCy2)=3.54 m/s2。
（2）.NB=2916N，方向垂直于斜面B，指向上方。
14.
15.分析：（1）为了使物块A、B能一起向右加速而不发生相对滑动，它们必定有一个共同的加速度a，故总的值为F=（mA+mB）a…①
设A、B之间的弹力为N，则物块A所受的垂直力为
Ncosθ≤mAg…②
对于水平方向的B块，Nsinθ=mBa…③
结合①②③，可求得F≤θ/mB。
即，Fm = mA(mA+mB)gtanθ/mB
（2）设块体A、B的共同加速度为a，两块体间弹力的大小为N，对A、B进行临界状态分析，得出在A的垂直方向上Ncosθ≤mAg……④
对于水平方向的B，Nsinθ - μN0 = mBa >0 …⑤
在垂直于B方向上，N0=mBg+Ncosθ=0...⑥
结合④⑤⑥，可解出μAtanθ/(mA+mB)。
（3）当A即将离开水平面时，推力最大。根据牛顿第二运动定律，
对于 A Ncosθ=mAg …⑦
对于 BNsinθ - μ(mBg + Ncosθ ) = mBa…⑧
对于整个AB，Fm-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a…⑨
由⑦⑧⑨可解：Fm=mA(mA+mB)g(tanθ-μ)/mB。
16.分析：（1）根据力的分析和牛顿第二运动定律，曲线1、2处的动力学方程为：
曲线 1：kmg = mv12/r1 => v1 = √kgr1 = 12m/s
第二个转弯：kmg = mv22/r2 => v2 = √kgr2 = 18 m /s
比较v1与v2的大小，通过蜿蜒山路的最大速度为v1==12米/秒。
（2）最短路线应为过A、B点并与道路内侧相切的一条圆弧，如图所示；
设其半径为R，则R2=r12+[R-(r1-d/2)]2，解得R=15m
新的轨道方程 kmg = mvm2/R => vm =√kgR=6√5m/s = 13.4 m/s，
又由于几何关系 sinθ = r1/R = 0.8，可得 θ = 530，
因此，最短线路长度为 S = 2Rθ·π/1800 = 27.7 m。代入 tm = S/Vm
解答为：tm=S/Vm≈2.1s。
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18、解析：本题类似于一个光滑的块体从静止状态从一个半球的顶端滑落下来的问题。当光滑的块体从某一位置即将离开半球时，相当于小环从这个位置对大环施加一个向上的力。设小环和大环中心连线与铅垂线的夹角为Ѳ，则它与大环之间的弹力为N，如下图所示。
对于小环，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，我们有
mgR(1-cosѲ)=mv2/2 …①
mgcosѲ-N=mv2/R…②
由①②可得N=mg(3cosѲ-2)…③
知道 cosѲѲ-4mcosѲ+M=0
解得cosѲ=1/3±√(1-3M/2m)…④由此式可知，当m≥3M/2时Ѳ有解，即大环有上升趋势。证明完毕。相应有上升趋势的大环起始位置为：Ѳ=[1/3±√(1-3M/2m)].…⑤
（2）讨论：①当m=3M/2时，小环只在一个位置，由⑤可知，当Ѳ=/3=70°时，小环有向上的趋势。
②当m>3M/2时，小环位置在一个范围内，大环有上升趋势，例如m=2M时，可解公式⑤为Ѳ1=/2=60º，Ѳ2=/6=80.40，即当小环滑动到Ѳ在60º与80.40之间时，大环有上升趋势。
③当m>>M时。由公式⑤亦可求解Ѳ1=/3=48.2°，Ѳ2==900，即当Ѳ在48.2°~90°范围内时，环有上升趋势。
19.答：（1）设运动员在B点起跳速度为v0，由斜上抛的知识可知
θ=2gh=> v0 =20 m/s。根据机械能守恒定律，
vA2= v02 +2gR(1-cosθ) => vA = √480米/秒=4√30米/秒
运动员在A点，根据牛顿定律，NA-mg=mvA2/R=>NA =3480 N。
（2）以B点为原点，建立xoy坐标系。
轨迹方程为：y = 4x/3 - 5x2/144 …①
斜坡轨迹方程为：y = - 3x/4 … ②
结合①②，解算出着陆点坐标：
xD= 60 米；yD= -45 米。
（3）设运动员在D点的速度为vD，根据机械能守恒定律，
vD2= v02 +2g(-y) => vD= √1300米/秒=36.0米/秒
由于水平速度 v0x=v0cosθ=12 m/s 保持不变，
所以 vD 的方向为 cosΦ=v0x/vD≈ 1/3 =>Φ=/3，
=>所需β=Φ-α=/3-α。 （注：tanβ=2/3）
后记：针对问题（2）中的落点坐标（xD，yD）和问题（3）中的角度β，也可以分解讨论B点的初运动。将B点沿斜坡BE方向和垂直于斜坡的方向分解初运动，则运动员沿BE方向做初速度为0的匀加速运动：a1=gsinα=6 m/s2，v1=a1t，s1=a1t2/2；沿垂直于斜坡的方向做垂直抛掷类运动：a2=gcosα=8 m/s2，v2=v0 - a2t，s2=v0t-a2t2/2；运动员空中运动时间T=2t=2v0/a2=5s，=>v1=a1T=30m/s，v2=v0-a2T=-20m/s，s1=a1T2/2=75m；因此，要求tanβ=-v2/v1=2/3；xD=s1cosα=60m，yD=-s1sinα=-45m。另外，该运动也可看作匀速v0与自由落体运动的合成，可利用矢量Δ的知识求解。
20、分析：（1）以汽车为参考系，可以简化问题，但对于非惯性系，必须引入一个惯性力，其大小为f0=Ga1/g，方向与加速度相反。则汽车所受的力如图A所示，
取两轮中点为旋转轴，SM=0，得G[(l1+l2)/2-l1]= Ga1h/g …①
解 a1 =g(l2-l1)/2h。
注：此结果说明，只有当l2>l1时，汽车加速时，前轮与后轮对地面的压力才能一致。
（2）此时惯性力f0=Ga2/g，方向仍为水平向后。以后轮为轴，SM rear=0，得N1(l1+l2)+fh = Gl2。令N1==0一质点在xoy平面内运动的轨迹如图所示，解得此时a3=gl2/h。
注：研究结果表明，汽车重心越高，前轮越容易离地，这不仅是卡车重心不能太高的原因，也是赛车重心做得很低的原因之一。
（3）此时惯性力水平向前，汽车受力如图B所示，以后轮为轴，SM rear = 0，得
N1(l1+l2)=Gl2+f0h …② 将f0=Ga3/g代入②可得
N1=G（gl2+ a3 h）/g(l1+l2)…③
对于汽车，SFy=0，所以N1+N2=G，…… ④将③代入④，可得
N2 =G（gl1-a3h）/g(l1+l2),…⑤
（4）设汽车的加速度为a4，此时惯性力f0=Ga4/g，方向仍为水平向前。则根据牛顿运动定律，可得
mN2=ma4=G a4/g…⑥
结合⑤⑥，可解=> a4=mgl1/(mh+l1+l2 )。
注意：如果本题选择地面作为参考系，那么只能选择质心处的旋转轴，这样显得比较牵强。
……超过……