初步知识 电势能
1.单根导体的电容
导体的电容等于电荷除以导体的电势（平衡时导体是等势的）。
begin{}C = frac{Q}{V}~.end{}
证明任何导体的势能都和电荷量成正比，根据，当导体上的电荷密度分布$rho( {{r}} )$乘以常数$$时平行板，空间中任一点的电势也将乘以$$。所以对于一定形状的导体，它的电容是一定的。
例 1：导电球的电容
若定义无穷远点为零电位点，根据高斯定律，一个半径为$R$，带电量为$Q$的导电球，其电势为$V = Q/(4pi R)$，因此它的电容为
begin{}C = frac{Q}{V} = 4pi R~.end{}
2. 两个导体之间的电容
如果两个导体带有等量的相反电荷 $pm Q$，且电位差为 $V$，则两个导体之间的电容也定义为
begin{}C = frac{Q}{V}~.end{}
现在我们来证明两个导体之间的电容只取决于它们的形状、相对位置以及空间中电介质的分布，与电荷量无关。这需要证明电位差始终与电荷 $Q$ 成正比。如果我们假设两个导体表面的表面电荷密度 $sigma$ 始终与 $Q$ 成正比（见证明），那么库仑定律表明空间中任何一点的场强也与 $Q$ 成正比。电位差
begin{}V = int_+^- {{E}} (r) cdot ,{d}{ {{l}} } ~.end{}
（公式中的“$pm$”代表导体表面某点带电量为$pm Q$，积分路径可任意选择）与场强成正比，也就是与$Q$成正比。证明完毕。
注意，除非另有说明，时分百科中电流和电压的方向都是按照被动符号()来规定的，即先规定一个正方向，电流按这个方向延伸就是正，反之就是负。电位按正方向减小就是正，反之就是负。正方向的电流以正电压流入带正电的电容器极板。
示例 2 平行板电容器
图 1：平行板电容器，板间间距为 $d$
电容器最常见、最基本的模型是平行板电容器。我们假设空间中有均匀的电介质，其介电常数为$$。两块面积为$S$的方形导体板平行放置，间距为$d$。电荷为$pm Q$。若忽略边缘效应（即假设只在两块板之间的矩形空间内存在均匀电场），根据高斯定律，两块板之间的电场为$E = {sigma}/{} = Q/(S)$，电位差为$V = Ed = Qd/(S)$，因此电容等于
begin{}C = frac{Q}{V} = frac Sd~.end{}
可以看出，在同样的电介质中，平行板电容器的电容与极板面积成正比，与距离成反比，比例系数为$$。这也是$$又称为介电常数的原因。当没有电介质时，$= $，所以$$称为真空中的介电常数。
例3：同心球壳电容器
如果有两个同心球壳导体，半径分别为 $r$ 和 $R$（$r < R$），电荷分别为 $+Q$ 和 $-Q$，求两个球壳之间的电容。
根据高斯定律，两个球壳间的电场只与小球壳的电荷有关，因此两个球壳间的电位差为
begin{}V = frac{Q}{4pi} left(frac 1r - frac 1R right) ~,end{}
所以电容是
begin{}C = frac QV = frac{4pi rR}{R - r}~.end{}
当$rto R$时，球壳面积为$S = 4pi R^2$，两极板距离为$d = R - r$，则上式中的电容趋向于平行板电容器的电容。
通过比较我们可以发现，两根足够靠近的导体所得到的电容比单根导体所得到的电容要大得多，这也是为什么电路中的电容器有两个极点的原因。
3.电压与电流的关系
如果电容器两端的电压随时间变化为 $V(t)$，那么我们如何计算流过电容器的电流？如果我们也使用无源符号约定（参见），让 $Q$ 和 $V$ 具有相同的符号，则 $I = {d}{Q}/{d}{t} $，并取 $Q = CV$ 的时间导数，得到
begin{}I = C frac{{d}{V}}{{d}{t}} ~.end{}
练习 1
证明在交流电路中，流过电容器的电流的相位比电压的相位提前$pi/2$。
4. 电容器的能量
为了改变电容的电荷$Q$，我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体。为了不影响电荷和电场的分布，从$Q = 0$开始平行板，我们每次只移动很小的电荷$Delta Q$，从$-Q$到$+Q$。移动过程中，外力需要克服电场力做功$VDelta Q$，而$V$是$Q$的函数。在第$i$次移动之前，电荷为$pm Q_i$。根据定积分的思想，
begin{}W = int V(Q) ,{d}{Q} = int frac{Q}{C} ,{d}{Q} = frac{Q^2}{C} = CV^2~,end{}
可以看出，电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比。注意，电容器的能量本质上是导体表面连续电荷分布的势能，因此计算上述公式的另一种方法是直接使用
begin{}W = [QV_+ + (-Q)V_-] = QV = frac{Q^2}{C} = CV^2 ~.end{}
这里的$Q$不一定要求大于零。$pm$符号只是用来区分两种导体的符号，并不代表正电荷或负电荷。
当我们讨论电路时，我们习惯说电流“流过电容器”，但实际上在电容器内部没有电荷从一个电极移动到另一电极。
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