易程教育资源网 四川2016年中考数学考点专项复习 学习案例6：求最短路径问题 求最短路径问题 最短路径问题在四川省中考中经常出现，这类问题一般和两点之间的最短垂直线段、最短线段紧密相关。 类型一 利用“最短垂直线段”求最短路径问题 如图所示，AB为河流，需敷设管道将河水引至两个水点C、D。敷设管线有两种方案。 方案一：分别过C、D向AB作垂直线，垂直线的脚分别为E、F，沿CE、DF敷设管线； 方案二：连接CD与AB相交于P点，沿PC、PD敷设管线。 问：这两种敷设管线方案哪种更省材料，为什么？ 【思考提示】方案一管线长度为CE+DF，方案二管线长度为PC+PD，可用最短垂直线段来比较大小。 【解答】按方案一敷设管线更省材料。原因为：∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，故根据“最短垂直线段”可知DF＜DP，CE＜CP，故CE＋DF＜CP＋DP，所以沿CE、DF敷设管线更省材料。 此题容易被错误地用两点间最短线段来解答。作答时需要准确识别图形，找出图形对应的知识点。 1.（2015·保定首届样板）如图所示，点A坐标为（-1，0），点B坐标为（a，a）。 当线段AB最短时，点B的坐标为（）A.（0，0）B.（22，-22）C.（-22，-22）D.（-12，-12）2.（2015·杭州模式）在直角坐标系中，点P落在直线x-2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A。
352B． 35C． 655D． 103． （2013·内江） 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13,0），直线 y=kx-3k+4 与⊙O 交于点 B、C，则弦 BC 的最小长度为。 4． （2015·碑林区期中考试） 如图所示，平原上有 A、B、C、D 四个村落，为解决当地缺水问题，政府计划投资修建一座水库。（1）在不考虑其他因素的条件下，请画图确定水库点 H 的位置，使得它到四个村落的距离和最小；（2）如果打算将河水引入水库 H，怎样开挖渠道最短，并说明依据。 第二类：用“两点间最短线段”解最短路问题（2015乐陵模拟） （1）如图1所示，直线同一侧有两点A、B。求直线MN上的一个点C，使得它到A、B的距离和最小；（保留画线，不写方法） （2）知识扩展：如图2所示，点P在∠AOB内。试分别在OA和OB上寻找两个点E、F，使得△PEF的周长最短；（保留画线，不写方法） （3）解题： ①如图3所示，在五边形ABCDE中，分别在BC和DE上寻找一个点M和一个点N，使得△AMN的周长最小； （保留画线，不写方法）②设∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，则∠AMN＋∠ANM的度数为。【思路】（1）据两点间最短线段，作与A关于直线MN对称的点E，连BE与直线MN相交于C，则问题可解；（2）作与P关于OA、OB对称的点D，连CD与OA、OB相交于E、F，此时△PEF的周长取最小值；（3）①取与点A关于BC对称的点P，与点DE对称的点Q。 连PQ与BC交于M点，连DE与N点，PQ的长度即为△AMN的最小周长； ②根据三角形内角和等于180°的事实，求∠P+∠Q，再根据三角形外角与内角和的知识，运用整体思路解题。 【答案】(1)作与A关于直线MN对称的点E，连BE与直线MN交于C，连AC与BC，此时C点满足要求。 图1 图2 图3 （2）如图所示画出图形。 （3）①如图所示画出图形。 ②∵∠BAE=125°，∴∠P+∠Q=180°-125°=55°。
∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°。 “两点（直线同一侧）一线式” 求直线上一点到两点的最短和时，利用轴对称的知识，使一点对称于直线网校头条，把对称点和另一点、直线连接起来，就可以得到所要的点； “一点二线式” 求三角形的最短周长，使一点对称于两条直线，把两对称点连接起来，两条直线分别有两个交点，把所给的点按顺序和两个交点连接起来，就可以得到三角形； “二点二线型” 求四边形的最短周长，可用“一点二线型”类比。 1． （2015·内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE为等边三角形，点E在正方形ABCD内部，对角线AC上有点P在平面直角坐标系xoy中 以原点o为圆心，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A. 3B. 23C. 26D. 62.（2015·遵义）如图所示，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别为BC、DC上的点，当△AEF周长最小时，∠EAF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°3.（2015·攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上一点，则BE+DE的最小值为。 4.（2015·鄂州）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别为射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝6。当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为。 5.（2015·梁山）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2,0），∠DOB＝60°，点P为对角线OC上的动点，E（0,－1），当EP＋BP最短时，点P的坐标为。 6.（2015·广元改编）如图所示，已知抛物线y＝－1m（x＋2）（x－m）（m＞0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，且A点在B点左边。（1）若抛物线过点G（2,2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上求一点H，使得AH+CH最小，求点H的坐标。 7.（2015年成都改编）如图，一次函数y=-x+4的图形与反函数y=3x（k为常数，且k≠0）的图形交于点A、B。在x轴上求一点P，使得PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标。 8.如图，已知点A为半圆上的三等分点，B为AN︵的中点，P为直径MN上的动点，⊙O的半径为1。请问：当P在MN上时，AP+BP的值最小？并给出AP+BP的最小值。 9.（2015·达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴正半轴上，OC在x轴正半轴上，∠AOC的角平分线与AB交于点D，E为BC的中点。已知A(0,4)，C(5,0)，二次函数y=45x2+bx+c的图形是过A、C点的抛物线。（1）求二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴和y轴上的动点。按顺序连接D、E、F、G，组成四边形DEFG。求四边形DEFG的周长的最小值；（3）抛物线上是否存在一点P，使得△ODP的面积为12？ 若是，求点P的坐标；若不是，解释原因。参考答案类型1 利用“最短垂直线段”求最短路径问题1. D2.
C3.24 提示：由于直线y=kx-3k+4必定过点D（3，4），所以当BC过点D且BC⊥OD时最短。由于点D的坐标为（3，4），所以OD=5。由于OB=OA=13，根据勾股定理，BD=12。所以BC的最小长度为24.4。（1）由于两点间的线段最短，连AD与BC交于H，则H即为水库所在地，它到四个村子的距离和最小。（2）过H作HG⊥EF，垂线脚为G。则根据最短垂线段，沿HG的运河最短。类型2 利用“两点间最短线段”解最短路径问题1.B2. D3.7 提示：作B关于AC的对称点B′，连接AD、AB′、BB′、B′D，与AC相交于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D。由两点间最短线段可知，B′D为BE＋ED的最小值。因B、B′关于AC对称，AC与BB′互相垂直平分。故四边形ABCB′为平行四边形。因三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，故AD⊥BC。故AD＝3、BD＝CD＝1、BB′＝2AD＝23。在G处作B′G⊥BC的延长线，故B′G＝AD＝3。在Rt△B′BG中，BG＝BB′2－B′G2＝（23）2－（3）2＝3。 因此DG＝BG－BD＝3－1＝2。在Rt△B′DG中，B′D＝DG2－B′G2＝22＋（3）2＝7。
所以BE+ED的最小值为7.4。363-545.（23-3, 2-3）6.（1）抛物线过点G（2, 2）时-1m（2+2）（2-m）=2，即m=4。（2）因m=4，y=-14（x+2）（x-4）。取y=0，则-14（x+2）（x-4）=0，得x1=-2，x2=4。∴A（-2, 0），B（4, 0）。∴抛物线的对称轴是直线x=-2+42=1。取x=0，则y=2，∴C（0, 2）。 因点B与点A关于对称轴对称，故联结BC，BC与对称轴的交点即为所求点H。∵B（4，0），C（0，2），∴线段BC所在的位置y＝－12x＋2。当x＝1，y＝32时，∴H（1，32）。7.合并y＝－x＋4，y＝3x，可得x＝1，y＝3，或x＝3，y＝1。∴A（1，3），B（3，1）。关于x轴对称点B′的坐标为（3，－1）。联结AB′并与x轴相交于点P′，联结BP′。令直线AB′为y＝kx＋b，可得k＋b＝3，3k＋b＝－1。 得k＝－2，b＝5。∴y＝－2x＋5。令y＝0，得x＝52。∴P′（52,0）。即满足条件的P点坐标为（52,0）。8.作A关于MN的对称点A′。根据圆的对称性，A′必在圆上。连BA′与MN交于P点。连PA，则PA+PB最小。此时PA+PB=PA′+PB=A′B。
连通OA、OA'、OB。∵AN︵＝13MN︵，∴∠AON＝∠A'ON＝60°。∵AB︵＝BN︵，∴∠BON＝12∠AON＝30°。∴∠A'OB＝90°。∴A'B＝OA'2＋OB2＝12＋12＝2，即AP＋BP的最小值为2。9.（1）将A（0,4）与C（5,0）代入二次函数y＝45x2＋b x＋c，可得20＋5b＋c＝0，c＝4，由此可得b＝－245，c＝4。所以二次函数表达式为y＝45x2－245x＋4。 （2）延伸EC至E′，使E′C＝EC，延伸DA至D′，使D′A＝DA，连通D′E′，与x轴交于F，与y轴交于G，连通DG、EF、DE、GD＝GD′，EF＝E′F，（DG＋GF＋E F＋ED）最小值＝D′E′＋DE，由点E的坐标为（5，2），D（4，4），得D′（－4，4），E′（5，－2）。根据勾股定理，DE＝22＋12＝5，D′E′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，所以（DG＋GF＋EF＋ED）最小值＝D′E′＋DE＝313＋5，即四边形DEFG的周长最小值为313+5。 （3）如下图所示：OD=AO2+AD2=42。∵S△ODP=12。∴点P到OD的距离=2S△OPDOD=2×1242=32。过点O作OF⊥OD，取OF=32，过点F作直线FG∥OD，与y轴交于点G，与抛物线交于点P1、P2。在Rt△OGF中，OG=OF2+FG2=（32）2+（32）2=6。
∴直线GF的解析表达式为y＝x－6。将y＝x－6代入y＝45x2－245x＋4可得：x－6＝45x2－245x＋4。解得x1＝29＋418，x2＝29－418。将x1、x2的值代入y＝x－6可得：y1＝－19＋418在平面直角坐标系xoy中 以原点o为圆心，y2＝－19－418。∴点P1（29－418，－19－418），P2（29＋418，－19＋418）。如下图所示：过点O作OF⊥OD，取OF＝32，过点F作直线FG，与y轴交于点G，与抛物线交于P3、P4。 在Rt△GFO中，OG＝OF2＋GF2＝6。∴直线FG的解析表达式为y＝x＋6。将y＝x＋6代入y＝45x2－245x＋4，可得：x＋6＝45x2－245x＋4。解得x1＝29－10018，x2＝29－10018。y1＝x1＋6＝77－10018，y2＝x2＋6＝77－10018，∴P3（29－10018，77－10018），P4（29＋10018，77＋10018）。 综上所述，P点的坐标为（29－418，－19－418）或（29＋418，－19＋418）或（29－10018，77－10018）或（29＋10018，77＋10018）。宜城教育资源网
