§3 圆周运动 一、描述圆周运动的物理量： 1.线速度： （1）大小：v=s/t（s为时间t内走的圆弧的长度） （2）方向：沿圆的切线方向，不断地变化 （3）物理意义：描述质点沿圆周运动的速度 2.角速度： （1）大小：?=Φ/t（Φ为半径在时间t内转过圆心的角度） （2）物理意义：描述质点绕圆心旋转的速度 3.周期T、频率f： 作圆周运动的物体转完一圈所需的时间叫周期；单位时间内它绕圆心转的圈数叫频率。即周期的倒数。 4.v、ω、T、f的关系 注：ω、T、f，一个量确定了，另两个量也就确定了，而且v还与r有关。 5.向心加速度a Ⅰ 大小：a=v2/r=?2r=4?2f2r=4?2r/T2 Ⅱ 方向：始终指向圆心，时刻在变化 Ⅲ 物理意义：描述线速度方向变化的快慢。 二、匀速圆周运动 1.特点：匀速圆周运动是线速度不变的运动，因而它的角速度、周期和频率都是恒定的，物体受到的合外力提供的是向心力。 2.质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小恒定，其方向始终垂直于速度方向。 课堂练习： 1.对于作匀速圆周运动的物体，下列哪个物理量是恒定的（ ） A.速度 B.加速度 C.角速度 D.在相同时间内的位移 C 2.匀速圆周运动的特点是（ ） A.速度不变，加速度不变 B.速度不变，加速度变化 C.速度变化，加速度不变 D.速度和加速度的大小不变，但方向不断变化 D 3.下列关于物体A、B作匀速圆周运动的说法，正确的是（ ） A.如果它们的线速度相等，它们的角速度也必然相等。B.如果它们的角速度相等，它们的线速度也必然相等。C.如果它们的周期相等，它们的角速度也必然相等。D.如果它们的周期相等，它们的线速度也必然相等。C. 例题讲解 【例1】如图所示的装置中，三个轮子的半径分别为r、2r、4r。 点b到圆心的距离为r。求图中a、b、c、d点的线速度之比、角速度之比、加速度之比：abcd。【例2】如图所示，为自行车灯供电的小型发电机，其上端有一个半径为r0=1.0cm的小摩擦轮，小轮与自行车车轮边缘接触。
当车轮转动时，摩擦力带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径为R1=35cm，小齿轮的半径为R2=4.0cm，大齿轮的半径为R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1与摩擦小轮的转速n2的比值。（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动） 大齿轮 小齿轮 车轮 小发电机 摩擦小轮 链条 【例三】汽车在一条宽阔的道路上匀速行驶，司机突然发现前方有一堵墙，把路彻底堵住了。为了避免与墙相撞，司机是应该急刹车还是立即转弯？试定量分析并说明原因。 【例四】如图4-3-1所示，一个小球用一条细绳通过桌子上一个光滑的小孔与物体B、C相连。 小球在光滑水平桌面上能做匀速圆周运动。若将B、C之间的细绳剪断，当A球重新达到稳定状态时，则A球的（ ） A.运动半径变大 B.速度变大 C.角速度变大 D.周期变大 【例5】如图所示，一圆柱形房屋天花板中央悬挂一根长度为l的细绳，绳子下端悬挂一个质量为m的小球。已知绳子能承受的最大拉力为2mg。小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大直至绳子断掉时，小球刚好以速度v2= 落到墙角。求（1）绳子断掉瞬间小球的速度v1；（2）圆柱形房屋的高度H与半径R。 III. 牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题） 1.向心力 （1）大小： （2）方向： 始终指向圆心，且随时变化 注：“向心力”是一种作用力。
任何力，或若干个力的合力，或某一力的某个分力，只要它的作用是使物体做圆周运动，都可以看作向心力。“向心力”不一定是物体所受的合外力。对做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，它始终指向圆心。对做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受的合外力在径向的一个分力，合外力的另一个分力是沿圆周切线方向的，它改变了速度的大小。2、处理方法：一般来说，当做圆周运动的物体所受的合力不指向圆心时，可以沿径向和切线方向正交分解，沿径向的分力是向心力，它只改变速度的方向，不改变速度的大小； 沿切线方向的分力为切向力，它只改变速度的大小而不改变速度的方向。相应的向心加速度描述的是速度方向改变的快慢，切向加速度描述的是速度大小改变的快慢。物体做圆周运动的向心力与向心加速度的关系也遵循牛顿第二运动定律：Fn=man。写方程时，根据物体受力分析，把外界提供给物体的合外力写在等式左边，把物体所需的向心力写在等式右边（可以采用多种形式）。如果沿径向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体就做向心运动，半径减小；如果沿径向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体就做离心运动，半径增大。
3.处理圆周运动动力学问题的一般步骤： （1）确定研究对象，进行受力分析； （2）建立坐标系，通常以质点所在位置作为坐标系原点，一条轴与半径重合； （3）利用牛顿第二定律和平衡条件，建立方程，并求解。 4.下列关于向心力的说法中，正确的是（） A.物体因做圆周运动，产生向心力。 B.做圆周运动的物体，除受到其他力的作用外，还受到向心力的作用。 C.向心力不改变做圆周运动物体的速度大小。 D.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒定的。 C 课堂练习 4、几种特殊情况 （1）圆锥摆θ 【例五】一小球在半径为R的光滑半球内，在水平面内做匀速圆周运动。试分析图中θ（球与半球心连线与垂直方向的夹角）与线速度v与周期T的关系（球的半径比R小得多）。 圆锥摆是典型的匀速圆周运动，运动轨迹在水平面内。其特点是物体受到的重力与弹力的合力作为向心力，向心力的方向是水平的，也可以说弹力的水平分力提供了向心力（弹力的垂直分力与重力是互相平衡的力）。本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内匀速圆周飞行等水平面内匀速圆周运动问题。 共同点是向心力都是由重力与弹力的合力提供的，向心力的方向都是水平的。 （2）垂直平面内圆周运动最高点处受力的特点及分类 此类题型的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速度是不断变化的，在最高点处物体的速度最小，在最低点处速度最大。
在物体的最低点，向心力向上，而重力向下，所以弹力一定向上，且大于重力；在最高点，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向不能确定，需要讨论三种情况。 ① 弹力只能向下，如绳子拉着球或内轨。此时； ② 弹力只能向上，如汽车过桥。此时； ③ 弹力既可以向上又可以向下，如管子在里面旋转（或杆连接球，环绕过珠子）。此时速度v可以取任意值。 注意：此时物体所受的弹力一定向下；此时物体所受的弹力一定向上；此时物体所受的弹力恰好为零。 课堂练习 1、杂技演员表演水流星节目时，盛满水的杯子在垂直平面内做圆周运动。 当杯子升到最高点的时候，里面的水不会流出来。 这是因为（ ） A.水处于失重状态，不受重力影响 B.水受到平衡力的作用，合力为0 C.水受到的合力提供了向心力，使水做圆周运动 D.杯子比较特殊，杯底对水有吸引力 C * * 第四章 曲线运动万有引力定律 教学大纲要求 知识网络 单元块 1.运动的合成与分解I 2.曲线运动质点的速度是沿轨道切线方向运动，必有加速度I 3.水平抛物运动II 4.匀速圆周运动、线速度与角速度、周期、圆周运动的向心加速度a=/RII 5.万有引力定律及其应用、人造卫星的运动（限于圆形轨道）II 6.宇宙速度一 考试要求 一、知道所列知识的内容与意义，并能识别并直接运用到有关问题中。 二、理解所列知识的确切含义和与其他知识的联系；能进行叙述和解释，并能将其应用于实际问题的分析、综合、推理和判断。 考试要求 曲线运动条件： F 总速度与初速度v0不在同一直线上 特例方向：沿切线方向 水平抛射运动 匀速圆周运动条件：只受到重力作用，初速度为水平 研究方法：运动的合成与分解定律：水平方向的匀速直线运动； 垂直方向的自由落体运动 条件：f 总与初速度v0垂直 特点：v、a大小不变，但方向时刻变化 描述：v，ω，T，a，n，f 万有引力定律 天体运动 地球卫星 知识网络 运动的组成与分解 水平抛射运动 圆周运动 万有引力定律及其应用 单元块§1 运动的组成与分解 一、曲线运动 1.曲线运动的条件： 作用在质点上的合外力（或加速度）的方向与其速度方向不在同一直线上。
v xy y x x 与v在一条直线上一列火车做匀变速直线运动驶来，改变速度的大小， y垂直于v，改变v的方向。 习题 1.物体在力F1，F2，F3，……，Fn的合力作用下，做匀速直线运动。若突然撤去F2，物体（ ） A.可能做曲线运动 B.可能继续做直线运动 C.必须沿F2方向做直线运动 D.必须沿F2的反方向做匀速减速直线运动 AB 2.曲线运动的特点： 曲线运动的速度和方向都必须改变，所以是变速运动 3.曲线运动的类型： （ ）当物体所受的合外力为恒定力（大小不变，方向不变）时，物体作匀速变速曲线运动，如水平抛物运动。 （２）如果物体所受的合力大小恒定，且始终垂直于它的速度方向，物体就做匀速圆周运动（变加速度曲线运动） 习题２、下列关于曲线运动的描述，哪些是正确的？（） A.曲线运动可以是匀速运动 B.曲线运动一定是变速运动 C.曲线运动可以是匀速变速运动 D.曲线运动的加速度可以为0ABC 二、运动的合成与分解 1.由已知分运动求合成运动，叫运动的合成 本质：位移、速度、加速度的合成与分解都遵循平行四边形法则 2.由已知运动求分运动，叫运动的分解。解题时，要按实际的“效应”分解，即正交分解。 3.合成运动与分运动的特点：（1）等时性：合成运动所需的时间等于各相应分运动所需的时间。（2）独立性：一个物体可以同时参加几种不同的分运动，各分运动独立进行，互不影响。4.物体的运动状态由初速度状态（v0）和受力条件（）决定。这是处理复杂运动的力与运动的观点。（1）存在中间参考物体的问题：例如人在扶梯上行走，人相对于地面的运动可转化为两个子运动：人相对于梯子的运动和梯子相对于地面的运动。
练习3：电梯以加速度a垂直上升运动，电梯天花板上一个螺母突然松动，从天花板上掉下来，此时螺母相对地面的加速度为（）Ag-aB.g+aC.aD.gD （2）匀加速曲线运动问题：可由初速度（v0）和受力条件建立直角坐标系，把复杂运动转化为坐标轴上的简单运动来解决问题。 5.运动的性质与轨迹 （1）物体运动的性质是由加速度决定的（加速度为零时，物体静止或做匀速运动；加速度恒定时，物体做匀速加速运动；加速度变化时，物体做变加速度运动）。 （2）物体运动的轨迹（直线或曲线）是由物体的速度和加速度方向的关系决定的（速度与加速度在同一直线上，物体做直线运动；速度与加速度成一定角度，物体做曲线运动） 两条互为角度的直线运动的合成运动是直线运动还是曲线运动？ ★由它们的合成速度与合成加速度是否共线决定 v1 v a1a ov2a2 如图所示，常见的有： （1）a=0：匀速直线运动或静止。 （2）a为常数：性质为匀速加速运动，分为： （1）v与a方向相同，匀速加速直线运动； （2）v与a方向相反，匀速减速直线运动； ③v与a成一定角度，匀速加速曲线运动（轨迹在v与a之间，与速度v方向相切，方向逐渐接近a方向，但不可能达到）。
）CUa 变化：性质为变加速度运动。和简谐运动一样，加速度的大小和方向都随时间而变化。 练习4：关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（） A.两段直线运动的合成运动必定是直线运动 B.两段匀速直线运动的合成运动必定是直线运动 C.两段匀速加速直线运动的合成运动必定是直线运动 D.两段初速度为0的匀速加速直线运动的合成运动必定是直线运动 BD 练习5：关于两段初速度为0，且互成一定角度的匀速加速直线运动的合成运动，下列说法正确的是（） A.必定是直线运动 B.必定是抛物线运动 C.可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D.以上说法都不正确 C 6.过河问题如右图所示。 设v1表示水速，v2表示船速，则： ①渡河时间仅由v2垂直于岸边的分量v⊥决定，即t=d/v⊥，与v1无关。 所以当v2⊥岸边时，渡河时间最短，最短时间为t=d/v2，也与v1无关。 ②渡河距离由实际运动轨迹方向决定，当v1＜v2时，最短距离为d；当v1＞v2时，最短距离为v1 d/v2（如右图）。 v2 v1 v1 v2 v 练习6： 河流宽300m，水流速为3m/s，船在静水中的速度为5m/s。 思考： （1）最短时间渡河需要多长时间？ 能到达对岸的什么位置？（2）要用最短的距离渡河，船头应该指向哪里？要花多长时间才能渡河？ 7.关节运动问题是指物体拉动绳索（杆）或绳索（杆）拉动物体的问题。
由于高中学习的绳子是不可伸长，而杆是不可伸长可压缩的，即绳子或杆的长度不会改变，所以解题原理为：把物体实际速度分解为垂直于绳（杆）方向和平行于绳（杆）方向两个分速度，按照沿绳（杆）方向分速度大小相等来求解。 练习7：如图所示，汽车A以速度v1拉着汽车B前行，汽车B的速度为v2。汽车A和汽车B都在水平面上运动。 求v1：v2 A Bα v1 §2 水平抛射运动规律及应用 一、水平抛射运动 1、水平抛出的物体仅在重力作用下的运动。 2、水平抛射运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线的一部分。 二、 水平抛射运动的研究方法 水平抛射运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和垂直方向的自由落体运动。 三、水平抛射运动规律 1.速度：水平、垂直分速度分别为vx=v0,vy=gt，则它在A点的合成速度为： 速度方向（与水平方向的夹角） 2.位移：水平位移与垂直位移分别为x=v0t，y=（1/2）gt２，故合成位移 位移方向（s与x轴的夹角） 思考：由速度和位移方向可知tan?=2tanα。请将速度v方向反方向延伸，与x轴交于B，你能得出什么结论？ 四、结论总结 1.运动时间：水平和垂直方向的两个子运动都是独立且等时的，因此运动时间即运动时间仅由高度h决定。 2、其射程为：由v0和t共同决定。 3、在△t时间内速度的变化量相等，即△v=g△t，且△v的方向为竖直向下，由此可见一列火车做匀变速直线运动驶来，水平抛射运动为匀加速直线运动。 3、将物体以速度v0水平抛出，当其竖直位移等于水平位移时，下列说法正确的是（） A.竖直分速度等于水平分速度 B.瞬时速度的大小为 C.运动时间为2v0/g D.运动的位移为五。 课堂练习： 1.关于水平抛射运动，下列说法正确的是（） A.水平抛射运动的轨迹为曲线，故水平抛射运动为变速运动。 B.水平抛射运动为匀变速曲线运动。 C.水平抛射运动的水平射程s仅由初速度v0决定。 v0越大，s越大。 D.水平抛射运动的落地时刻t由初速度v0决定，v0越大，t越大。 AB 2.物体做水平抛射运动，每秒的速度增量总是（ ） A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同 A BCD 4.一架飞机做匀速水平飞行，每隔1s从飞机上释放出一个铁球，一共释放4个球，如果不考虑空气阻力，这4个球（ ） A.它们在空中任何时候总是排列成抛物线，并且它们的落地点是等距的。 B.它们在空中任何时候总是排列成抛物线，并且它们的落地点是不等距的C.它们在空中任何时候总是排列在平面正下方的垂直直线上，且它们的落点间距相等。 D.它们在空中任何时候总是排列在平面正下方的垂直直线上，且它们的落点间距不相等。 C 六、例题说明 【例一】一水平运动的物体，在落地前的最后1秒内，其速度方向与垂直方向由60°变为45°，请问该物体被抛出时，其速度和高度各为多少？ 【例二】在研究水平投射物体运动的实验中，用一张印有小方块的纸来记录其运动轨迹，小方块的边长为L=1.25cm。 设小球在水平抛射运动时的位置分别为a、b、c、d如图4-2-3所示，那么小球在水平抛射运动时初速度的计算公式为v0=（用l，g表示），其值为。 （取g=9.8m/s2） 0.70m/s 分析 从图中可以看出，a、b、c、d水平位移间隔相等，即各位置之间的时间间隔相等，设为t，设初速度为v0，则v0=2l/t。考虑物体从a到b，再从b到c的垂直运动，有： 联立以上三个式子，可得： 因此，将数据代入解中可得v0=0.70m/st 另一种求法： 水平抛射物体在垂直方向做自由落体运动，在任意两个连续相等时刻t内，其位移差相等。 ∴【例3】某宇航员站在某行星表面某一高度，水平抛出一个小球。经过时间t，球落至行星表面，测得抛出点与落地点的距离为L。若抛出时的初速度增大至2倍，则抛出点与落地点的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，行星半径为R，万有引力常数为G。求行星的质量M。【例4】一架飞机以恒定速度水平飞行，距离地面高度为H。飞行过程中，投放一枚炸弹，经过时间t，飞机落地后，飞行员听到炸弹爆炸声。设炸弹落地后立即爆炸，爆炸向四面八方的速度为v0，忽略空气阻力，求飞机的速度v。 分析与解答 【解析】本题场景是水平抛射运动定律与万有引力定律在探测星球质量中的综合应用。地球上球体水平抛射运动定律可以应用于其他星球上的水平抛射运动，但是加速度不同。在水平抛射运动中，虽然从同一高度抛出的物体初速度不同，但是物体落到地面所需的时间是一样的。由万有引力定律我们可以知道哪些因素与加速度有关。加速度是连接水平抛射运动与万有引力的桥梁。设抛点高度为h，第一次水平抛的水平范围为x，则x2+h2=L2。 由水平抛射运动定律我们知道，当初速度增大到2倍时，它的水平射程也增大到2x，于是可得（2x）2+h2= 由上面两个式子可得h= 设行星上的重力加速度为g留学之路，由水平抛射运动定律得h=1/2gt2 由万有引力和牛顿第二定律可得GMm/R2=mg，式中m为小球的质量。 联立以上各式可得 【解析】这是一道抛物线运动与声学结合的题目，要把抛物线运动与声音的传播结合起来，需要把握时间t。 抛物线运动的时间：t1= 所以声音的传播时间为t2=t- t1=t- 声音的传播距离为 炸弹落地后，由几何知识可知飞机的飞行距离为xs 【例五】一小物体以初速度v0从斜面上A点水平抛出，然后落在斜面上B点，已知斜面的倾角为θ，可忽略空气阻力。求此运动过程中距离斜面最远的距离s。 【例六】给定网高H、半场长度L、扣球点高度h，以及扣球点到网的水平距离s，求：水平扣球速度v的取值范围。
【例7】一小球从倾斜角θ=30°的斜面顶端向下坡方向水平抛出，其初动能为E=6J。小球落到斜面上时的动能为E/。 七、曲线运动的一般研究方法 研究曲线运动的一般方法是正交分解法。把复杂的曲线运动分解成两个互相垂直方向的直线运动。通常以初速度或合外力方向为坐标轴进行分解。 七、曲线运动的一般研究方法 研究曲线运动的一般方法是正交分解法。把复杂的曲线运动分解成两个互相垂直方向的直线运动。通常以初速度或合外力方向为坐标轴进行分解。 [示例8]如图所示，在垂直平面的Xoy坐标系统中，垂直的向上是沿平面的X轴的均匀的电场。小球的Et et e e e e v降低到X轴时的位置n。