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预备知识一阶线性微分等式什么是利用大气压强，理想二氧化碳分压定理，积分多项式
图1：按照以及分压定理得到的大气浮力随高度变化图，假定大气中没有水蒸汽且气温恒定（来自维基百科）
现实中观测到大气湿度随高度的降低而会发生变化，因而不能将大气简单地视为处于平衡态的热力学系统，这其中涉及到非平衡态的热力学机制。下边我们将建立两个较好的理论模型：等温大气模型和干绝热大气模型。湿绝热大气模型就能更好地解释大气气温随高度变化的一些现象（比如一座高山的顺风面和背风面可能存在温差），这在气象学中是很重要的一个理论：湿绝热多项式。
1.等温大气模型
以下介绍一个理想模型。假定大气是理想二氧化碳，密度随高度变化为$rho(z)$。所以高度$z$处浮力为
begin{}P(z)=int_{z}^inftyrho(z')g,{d}{z'}~.end{}
其中因为大气长度远大于月球直径，我们取$g$为常数。依据理想二氧化碳状态多项式什么是利用大气压强，
begin{}PV=nRT~.end{}
先假定大气只是由一种分子构成，摩尔质量为$mu$，即$m=nmu$，代入有
begin{}P=frac{m}{muV}RT=frac{R}{mu}rhoT~,end{}
其中$P,T,rho$都是高度的函数。代入得关于$rho(z)$的积分多项式
begin{}frac{R}{mu}rho(z)T(z)=int_{z}^inftyrho(z')g,{d}{z'}~.end{}
一般来说海拔越高的地方温度越低，假如$T(z)$是已知的，就可以解出$rho(z)$。多项式两侧对$z$导数，整理得
begin{}rho'(z)+frac{1}{T(z)}left[T'(z)+frac{mug}{R}right]rho(z)=0~.end{}
这是一个一阶线性微分多项式，可以直接用公式求解。把解出的$rho(z)$代入即可求出对应的浮力$P(z)$。
作为一种简单情况，假定气温不随高度变化（实际上，空气的热导率很小，考虑成绝热过程能得到愈发精确的结果），这么多项式变为常系数的
begin{}rho'(z)+frac{mug}{RT}rho(z)=0~,end{}
容易解得
begin{}rho(z)=rho_0expleft(-frac{mug}{RT}zright)~,end{}
或则
begin{}P(z)=P_0expleft(-frac{mug}{RT}zright)~,end{}
其中$rho_0,P_0$是某个高度$z_0$处的大气密度和气压。这说明恒温条件下气压随海拔下降呈指数增长，且气温越低增长越快。
当大气中有多种二氧化碳时，可以对每种氨气分别求解，把$P_0$替换为改二氧化碳在$z_0$处的分压。总密度就是每种二氧化碳的密度之和。大气中的水蒸汽同样也可能随着高度变化。
2.干绝热大气模型
假定大气是理想二氧化碳，其热导率很小，所以大气的对流过程可以近似考虑成绝热过程（实验表明随着高度的降低大气湿度骤降，这说明不宜用等温大气模型），即
begin{}begin{}&begin{cases}&PV_m^gamma=C\&V_m=frac{RT}{P},P=frac{rhoRT}{mu}end{cases}\&\rho^{1-gamma}T=C'\&(1-gamma)T,{d}{rho}+rho,{d}{T}=0~,end{}end{}
这么变为
begin{}frac{gamma}{gamma-1}T'(z)=-frac{mug}{R}~.end{}
积分得
begin{}begin{}T&=T_0-int_{z_0}frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{R},{d}{z}\&T_0left[1-frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{RT_0}zright]~,\P&=P_0left[1-frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{RT_0}zright]^{gamma/(gamma-1)}~.end{}end{}
室温$T$总是$>0$的，且大气的绝热指数$gamma>1$，这意味着气温随高度的降低而减低。可以借助二氧化碳潜热量公式约去$gamma$，积分得：
begin{}T=T_0-int_{z_0}frac{mug}{c_{p,m}},{d}{z}~,end{}
$mu,c_{p,m}$可近似看成常数。大气的摩尔质量为$29rm{gcdotmol^{-1}}$，摩尔定压潜热约为$29rm{Jcdotmol^{-1}K^{-1}}$，因而估算得
begin{}begin{}&T=T_0-frac{mug}{c_{p,m}}z~,\&TT_0-zcdot10rm{K/km}~.end{}end{}
即每升高三千米，气温增加约$10$摄氏度。该数值称为干绝热递减率。
参考相关页面以及另一个页面。
但是可以验证，当$gamma$趋近于$1$时，下边的多项式就变为等温模型的大气浮力公式。