1、自然界中常见物自然界中常见物体绕某中心运动体绕某中心运动的情况的情况.这种情这种情况下况下,仅仅用动仅仅用动量来描述物体的量来描述物体的运动是不够的运动是不够的,有必要引入另一有必要引入另一个数学量个数学量角角动量来描述物体动量来描述物体的转动的转动.本章内容：本章内容：5-1-1质点的角动量质点的角动量5-1角动量与角动量守恒定理角动量与角动量守恒定理5-1-2质点系的角动量质点系的角动量5-1-3角动量守恒定理角动量守恒定理本节内容：本节内容：质点：惯性运动质点：惯性运动动量是守恒量；动量是守恒量；匀速圆周运动匀速圆周运动动能是守恒量；动能是守恒
2、量；椭圆运动椭圆运动守恒量？守恒量？1.第一定理：行星在一个平面内做椭圆运动，太第一定理：行星在一个平面内做椭圆运动，太阳坐落焦点位置。阳坐落焦点位置。6-1-1质点的质点的方向：L垂直于r和p平面zyxzyxpppkjikjiL纵向速率纵向速率LL在某方向(如z轴)的投影为对该轴的角动量:xyzypxpL)(prkLkItmrtxytyxmLZdd)dddd(2可见,Lz完全由r和p在垂直于z轴的平面内的份量确定I=mr2称为质点对z轴的转动力矩.当质点m绕z轴作直径r的圆周运动,x
3、=rcos,y=rsin,即得:例例质点直线运动对某定点的角动量：质点直线运动对某定点的角动量：大小：大小：方向：方向：思索思索:哪些情况下哪些情况下L=0？Omrdv等于零吗等于零吗？5-1-2质点系的质点系的LLrpiiiii各各Li对同一参考点而言对同一参考点而言当质点系中任一质点均绕z轴以同一角速率作圆周运动,质点系对z轴的角动量为各质点对z轴的角动量Liz=miri2之和LmrIzii2Imrii2质点系对z轴的转动力矩转动力矩Om1m2H1r2rtd
4、pd2tdpd12211rrOHtptpdddd21由两个互相作用质点组成的孤立体系的动量守恒。由两个互相作用质点组成的孤立体系的动量守恒。这么该体系的角动量是不是也是一个守恒量呢？这么该体系的角动量是不是也是一个守恒量呢？12由动量守恒定理由动量守恒定理2dd2dd21OHtpOHtptd)prd(tdpdrtdpdOHtdpd21212sin2rvptprtrptprtprddddddd)d(5-1-3Om1m2H1r2
5、rtpdd1tpdd212tprtprd)d(d)d(2211注意到叉积的方向注意到叉积的方向,,所以：所以：)(dd)(dd2211prtprt0)(dd2211prprt经常矢矢量量2211prpr由两个互相作用的质点构成的孤立体系由两个互相作用的质点构成的孤立体系,,不仅动不仅动量之外量之外,,角动量也是一个守恒量角动量也是一个守恒量..孤立体系对任意一点的弱冠动量保持恒定孤立体系对任意一点的弱冠动量保持恒定,,即即时常矢矢量量iLL互相作用过程中互相作用过程中,,角动量等量地
6、从一个质点转移到角动量等量地从一个质点转移到另一个质点另一个质点这就是这就是角动量守恒定理角动量守恒定理..它与动量守恒定理一样它与动量守恒定理一样,,也是数学学中最基本的普适原理之一也是数学学中最基本的普适原理之一..之后将说之后将说明明,,从现代数学的高度来看从现代数学的高度来看,,角动量守恒定理是空角动量守恒定理是空间各向同性间各向同性((旋转对称性旋转对称性))的直接结论的直接结论..2121LLLL)(1122LLLL5-2-1扭力扭力5-2扭力扭力质点的角动量定律质点的角动量定律5-2-2质点的角动量定律质点的角动量定律5-2-3
7、质点在有心力作用下的运动质点在有心力作用下的运动本节内容：本节内容：方向用左手螺旋法规定方向用左手螺旋法规定FrMrFFrMZXYO定义为力定义为力f对对O点的点的转矩。转矩。有心力对力心的扭矩恒为零有心力对力心的扭矩恒为零一中的表达式：对学校的表达式：对OO点的扭矩点的扭矩MMMrFo对对ZZ轴的扭矩轴的扭矩MkMzBdtAddtBdABAdtd)(*微分公式微分公式dtLdM质点的角动量定律质点的角动量定律)(vmrdtddtLd考虑：考虑：dtpdrvmrdtd)(
8、vFFr注意：（注意：（1）用于惯性系）用于惯性系（2）相对于同一点相对于同一点ML,122121LLtt点的冲量矩内对为质点在OtdtMtt21ILz对于绕对于绕z轴做圆周运动的质点轴做圆周运动的质点)(IdtddtdLMzz5.4;5.6;5.8;5.95-3-1质点系的角动量定律质点系的角动量定律5-3质点系的角动量定律及应用质点系的角动量定律及应用5-3-2质点系角动量守恒的条件质点系角动量守恒的条件5-3-3质情系中的角动量定律质情系中的角动量定律本节内容：本节内容：证明：一对作
9、用力、反斥力对定点（定轴）的证明：一对斥力、反斥力对定点（定轴）的合扭矩等于零。合扭矩等于零。111frM222frM21ff0)(2212frfrro2r1rr2f1fiiiPrLiiiiiiPtrPrttLddddddFFiiPPiiojrjfifirji)(内内外外ijijiiifFr因为一对斥力、反斥力的合扭矩等于零。因为一对斥力、反斥力的合扭矩等于零。iFiirtL外外
10、ddtLMdd外外质点系对某定点的角动量对时间的变化率质点系对某定点的角动量对时间的变化率,,等等于作用于该质点系上所有外力对该点的扭矩于作用于该质点系上所有外力对该点的扭矩的矢量和的矢量和,,称为称为质点系的角动量定律。质点系的角动量定律。tLMdd外外质点系对某定点的角动量对时间的变化率,等于作用于质点系的外扭矩的矢量和(1)内扭矩的矢量和恒为零.内扭力不改变总扭矩,但改变角动量在质点间的分配(2)外力的矢量和为零时,外扭矩的矢量和可不为零质心(3)L与M是对同一参考点同一时刻而言的iiiiittitt0
11、2121dd外外外外质点系角动量定律的积分方式。质点系角动量定律的积分方式。是外扭矩的矢量和对时间的累积是外扭矩的矢量和对时间的累积,,称为称为角冲量或冲量矩角冲量或冲量矩..21dMttt外外质点系质点系((对质点也一样对质点也一样))角动量的变化是扭矩的矢角动量的变化是扭矩的矢量和对时间累积作用的结果量和对时间累积作用的结果..解解:取Oxz座标系,转动为z轴方向,棒上元段dx所受磨擦力:对O点扭力均沿z轴的负方向:当直棒旋转的角速率为时,它的角动量为由角动量定律Mz=dLz/dt可得可见棒作匀减角速率转动.xlmgmgFd
12、ddxxlm202041d2d2llzmglxxlmgMM22020221212d2llmldxlmxmxLLzlgt3dd例例质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转,棒与桌面间的磨擦系数为,求磨擦转矩和棒的角速率的变化率.即：即：尽管似乎,但对某轴外扭力为零但对某轴外扭力为零,则弱冠则弱冠动量不守恒动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的但对这轴的角动量是守恒的.0iM3..由份量式：由份量式：0常量常量月球会掉到太阳起来吗?星体为何成扁盘状?1.孤立系。孤立系。为
13、什么星体是扁状，盘型结构？18世纪哲学家提出星云说，觉得太阳系是由气云组世纪哲学家提出星云说，觉得太阳系是由气云组成的。气云原先很大，由自身引力而收缩，最后聚成的。气云原先很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。并且万有引力集成一个个行星、卫星及太阳本身。并且万有引力为何不能把所有的天体吸引在一起而是产生一个为何不能把所有的天体吸引在一起而是产生一个扁平的盘状？康德觉得不仅引力还有作用力，把向心扁平的盘状？康德觉得不仅引力还有作用力，把向心加速的天体散射到个方向。加速的天体散射到个方向。19世纪物理家拉普拉斯世纪物理家拉普拉斯建立了康德的星云说，建立了康德的
14、星云说，强调旋转盘状结构的动因是强调旋转盘状结构的动因是角动量守恒。角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动量定的初始角动量J，当，当r变小的时，变小的时，在垂直在垂直J的横方的横方向速率要减小，而平行向速率要减小角动量定理的实际应用，而平行J方向没有这个问题方向没有这个问题，所以角动量定理的实际应用，所以天体就产生了朝同一个方向旋转的盘状结构。天体就产生了朝同一个方向旋转的盘状结构。例例:质量为质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平
15、面光滑，开始小球作圆周运动（下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)雪雪后向上拉绳，使小球的运动轨迹为后向上拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周的圆周求：求：v2=？v1r1r2FOv2解：解：作用在小球的力始作用在小球的力始终通过终通过O点（有点（有心力）由质点角心力）由质点角动量守恒：动量守恒：2211)()(12112vrrvv2.有心力场有心力场,,对力心角动量守恒对力心角动量守恒..3.其实即使,,但对某轴外扭力为零但对某轴外扭力为零,,则弱冠动量不则弱冠动量不守恒守恒,,但对这轴的角动量是守恒的但
16、对这轴的角动量是守恒的..0iM在质心中常常用到在质心中常常用到例例题题直径为直径为r的轻滑轮的中心轴的轻滑轮的中心轴O水水平地固定在高处平地固定在高处,其上穿过一条轻绳其上穿过一条轻绳,质质量相同量相同的三人的三人A、B以不同的爬绳速度以不同的爬绳速度vA、vB从同一高度同时向下爬从同一高度同时向下爬,试问谁试问谁先抵达先抵达O处？处？对滑轮的轴的外扭力为零对滑轮的轴的外扭力为零,,则对该轴系统弱冠动量是则对该轴系统弱冠动量是守恒的守恒的..可见可见,不论不论A、B对绳的速度对绳的速度vA、vB如怎样何,两人对两人对OO的速度相同的速度相同,解解:对
17、象对象:滑轮滑轮+绳绳+A+B,0BABAvv则则受外力受外力:mAg=mBg=mg,N,对对z轴的合力为轴的合力为0.对对z轴轴,系统角动量守恒系统角动量守恒,A,B对对OO点速度点速度vA,vB,初始时刻系统角动量为零初始时刻系统角动量为零,则则:z轴正向轴正向:OO点向外点向外.故将故将同时同时抵达抵达OO点点.总结：总结：4.4.角动量守恒定理只适用于惯性系。角动量守恒定理只适用于惯性系。2.2.守港股过程中任意时刻。守港股过程中任意时刻。3.3.角动量守恒定理是独立于牛顿定理的自然界角动量守恒定理是独立于牛顿定理的自然界中
18、更普适的定理之一。中更普适的定理之一。1.1.角动量守恒条件：合外扭力为零。外力为零，角动量守恒条件：合外扭力为零。外力为零，扭力不一定为零，反之也然。扭力不一定为零，反之也然。CCCC)()(mmmmmmCC1.角动量固有轨道iiii)(mMCC2.角动量定律tMttMttdd)(dddd)(ddddCCCC固有固有LVRLVRLiiiiCii外)(外外外iitdd固有外LM方式上与惯性系一样
19、仅受重力作用的物体,对刚体的角动量不变(抛体),跳水:缩-快,展-慢对称性对称性-物体的状态在一定的变换下具有的不变性物体的状态在一定的变换下具有的不变性。艺术中的对称性艺术中的对称性5-4对称性与守恒定理对称性与守恒定理文学中的对称性文学中的对称性广州自来水来自海上广州自来水来自海上南山长生松生长山南南山长生松生长山南数学学中的对称性化学学中的对称性*状态的对称性状态的对称性*规律的对称性规律的对称性客上天然居，竟然天上客客上天然居，竟然天上客(乾隆下联)人过大佛殿，寺佛大过人人过大报恩寺，寺佛大过人(纪晓岚上联)僧游云隐寺，寺隐云游僧僧游云隐寺，寺隐云游僧
20、(张琏上联)研究数学规律的对称性的意义研究数学规律的对称性的意义：在探求未知的数学规律的时侯在探求未知的数学规律的时侯,可以以普可以以普遍的对称性作为指引；遍的对称性作为指引；数学规律的对称性数学规律的对称性-化学规律在一定变换数学规律在一定变换下的不变性。下的不变性。即某种化学状态或过程在一定的变换下即某种化学状态或过程在一定的变换下(例例如转动、平移等等如转动、平移等等)，它所服从的数学规律不，它所服从的数学规律不变。变。空间平移不变性空间平移不变性动量守恒动量守恒空间转动不变性空间转动不变性角动量守恒角动量守恒时间平移不变性时间平移不变性能量守恒能量守恒空间反演不
21、变性空间反演不变性宇称守恒宇称守恒整体规范不变性整体规范不变性电荷守恒电荷守恒数学规律的每一种对称性数学规律的每一种对称性(即不变性即不变性)一般都一般都相应于一种守恒定理。相应于一种守恒定理。空间反演不变性空间反演不变性空间反演空间反演:-，(,）（,）空间反演实质上和存盘变换等价。空间反演实质上和存盘变换等价。存盘变换把右手弄成手指，存盘变换把右手弄成手指，左左右对称。右对称。左右对称的两个状态或两种过程都服从同左右对称的两个状态或两种过程都服从同样的化学规律。样的化学规律。它们在自然界中都同样还能存在或发生。它们在自然界中都同样还能存在或发生。虽然在存盘变换下
22、，化学过程的状态变虽然在存盘变换下，化学过程的状态变化了，但它们服从的数学规律却没有变，化了，但它们服从的数学规律却没有变，这就是数学规律的空间反演不变性。这就是数学规律的空间反演不变性。f=ma-f=-ma1.1.互相作用受守恒定理的约束互相作用受守恒定理的约束;;2.2.守恒定理是对称性的反映守恒定理是对称性的反映;;(1).(1).平移对称性平移对称性--动量守恒定理动量守恒定理;;)()()(r,rr,rr,rpppEEpEOO)()()(1222rrr,rr,r11pppEEExppppxFxxExxxExxExxExF212212121211.)()()1()(.)(ii021FF常矢量21pp(2).(2).旋转对称性旋转对称性((各向同性各向同性)-)-角动量守恒定理角动量守恒定理;;(3).(3).时间均匀对称性时间均匀对称性--能量守恒定理能量守恒定理;;E..定律定律::假如运动规律在某一不显著依赖于时间的变换下具有不变性,必存在与之对应的守恒定理作业：作业：5.115.11；5.145.14；5.155.15
